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专题三 函 数 、 基 本 初 等 函 数 的 图 象 与 性 质 函数、基本初等函数 的图象与性质主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题 3 1.高 考 对 函 数 的 三 要 素 ， 函 数 的 表 示 方 法 等 内 容 的 考 查以 基 础 知 识 为 主 ， 难 度 中 等 偏 下 .2.函 数 图 象 和 性 质 是 历 年 高 考 的 重 要 内 容 ， 也 是 热 点 内容 ， 对 图 象 的 考 查 主 要 有 两 个 方 面 ： 一 是 识 图 ， 二 是 用图 ， 即 利 用 函 数 的 图 象 ， 通 过 数 形 结 合 的 思 想 解 决 问 题 ；对 函 数 性 质 的 考 查 ， 则 主 要 是 将 单 调 性 、 奇 偶 性 、 周 期性 等 综 合 一 起 考 查 ， 既 有 具 体 函 数 也 有 抽 象 函 数 常 以选 择 、 填 空 题 的 形 式 出 现 ， 且 常 与 新 定 义 问 题 相 结 合 ，难 度 较 大 考情解读 主干知识梳理1.函数的三要素定义域、值域及对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数.2.函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则. (2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质.偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性.(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质.若函数在其定义域上满足f(ax)f(x)(a不等于0)，则其一个周期T|a|. 3.函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图.作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换. 4.指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)的图象和性质，分0a1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质.(2)幂函数yx的图象和性质，分幂指数0，0，则x的取值范围是_. 思维启迪 利 用 数 形 结 合 ， 通 过 函 数 的 性 质 解 不 等 式 ；解析f(x)是 偶 函 数 ，图 象 关 于 y轴 对 称 .又 f(2) 0， 且 f(x)在 0， )单 调 递 减 ， 则 f(x)的 大 致 图 象 如 图 所 示 ，由 f(x 1)0， 得 2x 12， 即 1x3.答案(1,3) 思维启迪 利 用 f(x)的 性 质 和 x0， 时 的 解 析 式 探 求 f(3)和 f( )的 值 .解析根 据 对 任 意 tR都 有 f(t) f(1 t)可 得 f( t) f(1 t)，即 f(t 1) f(t)， 进 而 得 到 f(t 2) f(t 1) f(t) f(t)，得 函 数 y f(x)的 一 个 周 期 为 2， 函 数 的 性 质 主 要 是 函 数 的 奇 偶 性 、 单 调 性 和 周 期性 以 及 函 数 图 象 的 对 称 性 ， 在 解 题 中 根 据 问 题 的条 件 通 过 变 换 函 数 的 解 析 式 或 者 已 知 的 函 数 关 系 ，推 证 函 数 的 性 质 ， 根 据 函 数 的 性 质 解 决 问 题 .思维升华 变式训练1(1)(2013重庆)已知函数f(x)ax3bsin x4(a，bR)，f(lg(log210)5，则f(lg(lg 2)等于()A.5 B.1 C.3 D.4解析lg(log210) lg lg(lg 2)，由 f(lg(log 210) 5，得 alg(lg 2)3 bsin(lg(lg 2) 4 5 1，则 f(lg(lg 2) a(lg(lg 2)3 bsin(lg(lg 2) 4 1 4 3.C (2)已知函数f(x)x3x，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0恒成立，则x的取值范围为_.解析易 知 f(x)为 增 函 数 .又 f(x)为 奇 函 数 ， 由 f(mx 2) f(x)0知 ，f(mx 2)f( x).mx 2 x， 即 mx x 20，令 g(m) mx x 2， 由 m 2,2知 g(m)x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab B.cbaC.acb D.bac 思维启迪 考 虑 函 数 f(x)的 单 调 性 . 解析由 于 函 数 f(x)的 图 象 向 左 平 移 1个 单 位 后 得 到 的 图 象关 于 y轴 对 称 ，故 函 数 y f(x)的 图 象 本 身 关 于 直 线 x 1对 称 ，当 x2x11时 ， f(x2) f(x1)(x2 x1)ac.选 D.答案D (1)作 图 ： 常 用 描 点 法 和 图 象 变 换 法 .图 象 变 换 法 常用 的 有 平 移 变 换 、 伸 缩 变 换 和 对 称 变 换 .尤 其 注 意 y f(x)与 y f( x)、 y f(x)、 y f( x)、 yf(|x|)、 y |f(x)|及 y af(x) b的 相 互 关 系 .(2)识 图 ： 从 图 象 与 轴 的 交 点 及 左 、 右 、 上 、 下 分 布范 围 、 变 化 趋 势 、 对 称 性 等 方 面 找 准 解 析 式 与 图 象的 对 应 关 系 .思维升华 (3)用 图 ： 图 象 形 象 地 显 示 了 函 数 的 性 质 ,因 此 ,函数 性 质 的 确 定 与 应 用 及 一 些 方 程 、 不 等 式 的 求解 常 与 图 象 数 形 结 合 研 究 .思维升华 变式训练2 (1)函数f(x)1log2x与g(x)21x在同一直角坐标系中的图象大致是() 解析f(x) 1 log2x的 图 象 过 定 点 (1,1)， g(x) 21 x的 图 象 过 定 点 (0,2).f(x) 1 log2x的 图 象 由 y log2x的 图 象 向 上 平 移 一 个单 位 而 得 到 ， 且 f(x) 1 log2x为 单 调 增 函 数 ，g(x) 21 x 2 ( )x的 图 象 由 y ( )x的 图 象 伸 缩 变 换得 到 ， 且 g(x) 21 x为 单 调 减 函 数 . A中 ， f(x)的 图 象 单 调 递 增 ， 但 过 点 (1,0)， 不 满 足 ；B中 ， g(x)的 图 象 单 调 递 减 ， 但 过 点 (0,1)， 不 满 足 ；D中 ， 两 个 函 数 都 是 单 调 增 函 数 ， 也 不 满 足 .选 C.答案C (2)(2013课标全国)已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A.(，0 B.(，1 C.2,1 D.2,0解析函 数 y |f(x)|的 图 象 如 图 . 当 a 0时 ， |f(x)|ax显 然 成 立 . 当 a0时 ， 只 需 在 x0时 ，ln(x 1)ax成 立 . 比 较 对 数 函 数 与 一 次 函 数 y ax的 增 长 速 度 .显 然 不 存 在 a0使 ln(x 1)ax在 x0上 恒 成 立 . 当 a0时 ， 只 需 在 xf(a)，则实数a的取值范围是()A.(1,0)(0,1)B.(，1)(1，)C.(1,0)(1，) D.(，1)(0,1) 思维启迪 可 利 用 函 数 图 象 或 分类 讨 论 确 定 a的 范 围 ； 解析方 法 一 由 题 意 作 出 y f(x)的 图 象 如 图 .显 然 当 a1或 1af( a).故 选 C. 方 法 二 对 a分 类 讨 论 ：当 a0时 ， log2alog a， 即 log2a0，a1.当 alog2( a)， 即 log2( a)0， 1a0，则下面结论正确的是()A. B.0C.2 思维启迪 构 造 函 数 f(x) xsin x,利 用 f(x)的 单 调 性 .解析设 f(x) xsin x， x ， ，y xcos x sin x cos x(x tan x)，当 x ， 0时 ， y0，f(x)为 增 函 数 ，且 函 数 f(x)为 偶 函 数 ， 又 sin sin 0，sin sin ，|，22.答案D (1)指 数 函 数 、 对 数 函 数 、 幂 函 数 和 三 角 函 数 是中 学 阶 段 所 学 的 基 本 初 等 函 数 ， 是 高 考 的 必 考内 容 之 一 ， 重 点 考 查 图 象 、 性 质 及 其 应 用 ， 同时 考 查 分 类 讨 论 、 等 价 转 化 等 数 学 思 想 方 法 及其 运 算 能 力 .(2)比 较 数 式 大 小 问 题 ， 往 往 利 用 函 数 图 象 或 者函 数 的 单 调 性 .思维升华 所 以 0 1.所 以 y ax， y bx， y ( )x在 (， )上 都 是递 减 函 数 ，从 而 abaa， ( )aaa，故 abaaba，答 案 选 B.答案B 解析当 x0时 ， g(x) f(x) 2x 为 单 调 增 函 数 ，所 以 g(x)g(0) 0；当 xg(0) 0，所 以 函 数 g(x)的 最 小 值 是 0.0 1.判 断 函 数 单 调 性 的 常 用 方 法(1)能 画 出 图 象 的 一 般 用 数 形 结 合 法 去 观 察 .(2)由 基 本 初 等 函 数 通 过 加 、 减 运 算 或 复 合 而 成 的函 数 ， 常 转 化 为 基 本 初 等 函 数 单 调 性 的 判 断 问 题 .(3)对 于 解 析 式 较 复 杂 的 一 般 用 导 数 法 .(4)对 于 抽 象 函 数 一 般 用 定 义 法 . 本讲规律总结 2.函 数 奇 偶 性 的 应 用函 数 的 奇 偶 性 反 映 了 函 数 图 象 的 对 称 性 ， 是 函 数 的整 体 特 性 .利 用 函 数 的 奇 偶 性 可 以 把 研 究 整 个 函 数 具 有 的 性 质问 题 转 化 到 只 研 究 部 分 (一 半 )区 间 上 ， 是 简 化 问 题 的一 种 途 径 .尤 其 注 意 偶 函 数 f(x)的 性 质 ： f(|x|) f(x). 3.函 数 图 象 的 对 称 性(1)若 函 数 y f(x)满 足 f(a x) f(a x)， 即 f(x)f(2a x)， 则 f(x)的 图 象 关 于 直 线 x a对 称 .提 醒 ：函 数 y f(a x)与 y f(a x)的 图 象 对 称 轴 为 x 0，并 非 直 线 x a.(2)若 f(x)满 足 f(a x) f(b x)， 则 函 数 f(x)的 图 象关 于 直 线 x 对 称 . (3)若 函 数 y f(x)满 足 f(x) 2b f(2a x)， 则 该 函 数 图 象关 于 点 (a， b)成 中 心 对 称 .4.二 次 函 数 、 一 元 二 次 方 程 和 一 元 二 次 不 等 式 是 一 个 有机 的 整 体 ， 要 深 刻 理 解 它 们 之 间 的 相 互 关 系 ， 能 用 函 数与 方 程 、 分 类 讨 论 、 数 形 结 合 思 想 来 研 究 与“三 个 二 次”有 关 的 问 题 ， 高 考 对“三 个 二 次”知 识 的 考 查 往 往 渗 透在 其 他 知 识 之 中 ， 并 且 大 都 出 现 在 解 答 题 中 . 5.指 数 函 数 、 对 数 函 数 的 图 象 和 性 质 受 底 数 a的 影响 ， 解 决 与 指 、 对 数 函 数 特 别 是 与 单 调 性 有 关 的 问题 时 ， 首 先 要 看 底 数 a的 范 围 .比 较 两 个 对 数 的 大 小 或 解 对 数 不 等 式 或 解 对 数 方 程时 ， 一 般 是 构 造 同 底 的 对 数 函 数 ， 若 底 数 不 同 ， 可运 用 换 底 公 式 化 为 同 底 的 对 数 ， 三 数 比 较 大 小 时 ，注 意 与 0比 较 或 与 1比 较 . 6.解 决 与 本 讲 有 关 的 问 题 应 注 意 函 数 与 方 程 、 数 形结 合 、 分 类 讨 论 、 化 归 与 转 化 等 思 想 的 运 用 . 真题感悟 押题精练真题与押题 真题感悟 真题感悟解析f(x)是 以 4为 周 期 的 奇 函 数 ，当 0 x1时 ， f(x) x(1 x)，当 10，且a1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是() 真题感悟解析由 题 意 得 y logax(a0， 且 a1)的 图 象 过 (3,1)点 ，可 解 得 a 3.选 项 A中 ， y 3 x ( )x， 显 然 图 象 错 误 ；选 项 B中 ， y x3， 由 幂 函 数 图 象 可 知 正 确 ；选 项 C中 ， y ( x)3 x3， 显 然 与 所 画 图 象 不 符 ；选 项 D中 ， y log 3( x)的 图 象 与 y log3x的 图 象 关 于 y轴 对 称 ， 显 然 不 符 ， 故 选 B.答案B 押题精练 押题精练解析据 已 知 关 系 式 可 得作 出 其 图 象 然 后 将 其 向 左 平 移 1个 单 位 即 得 函 数 yf(x 1)的 图 象 .答案A 押题精练 押题精练解析f(x) |log x|， 若 mn， 有 f(m) f(n)，mn 1，0m1，m 3n m 在 m(0,1)上 单 调 递 减 ，当 m 1时 ， m 3n 4，m 3n4.答案D 押题精练3.已知f(x)2x1，g(x)1x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当|f(x)|g(x)时，h(x)g(x)，则h(x)()A.有最小值1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值1，无最大值D.有最大值1，无最小值 押题精练解析由 题 意 得 ， 利 用 平 移 变 化 的 知识 画 出 函 数 |f(x)|， g(x)的 图 象 如 图 ，故 h(x)有 最 小 值 1， 无 最 大 值 .答案C
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