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第一章三角形的证明第一节 等腰三角形（一）模块一 预习反馈（P2P6）一知识点1、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。（论证）2、全等三角形的对应边相等,对应角相等。3、等腰三角形性质定理： （等边对等角）。（论证）4、推论（三线合一）： 。（论证）5、等边三角形性质定理： 。（论证）论证要求（画图、写出已知、求证、证明过程）模块二 基础训练1.如图，已知D =C，A =B，且AE = BF。求证：AD = BC。2如图，在ABC中，AB = AC，ADACBAC = 100。求1、3、B的度数。3如图，在ABC中，D为AC上一点，并且AB = AD，DB = DC，若C = 29，求A。模块三 能力提升1 填空：（1）如图，在ABC中，AB = AC，点D在AC上，且BD = BC = AD。请找出所有的等腰三角形 。（2）等腰三角形的顶角为50，则它的底角为 。（3）等腰三角形的一个角为40，则另两个角为 。（4）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60。2 如图，在ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，且DEAB，DFAC。求证：1 =2。 模块四：课下练习能力提升1.ABC中，ABAC，A50，P是ABC 内一点，且PBCACP，求BPC的度数 _2 已知：如图，在ABC中，ABAC，BD，CE是ABC的角平分线. 求证：BDCE.AEDBC123如图，A、B、F、D在同一直线上，AB=DF， AE=BC，且AEBC.ABFD EC 求证：AEFBCD， EFCD. 中考在线1、 已知：如图，ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE, DGCE,G是垂足， 求证：（1）G是CE中点; （2）B=2BCE.2.C是线段AB的中点，CD平分ACE，CE平分BCD，CDCE (1)求证：ACDBCE； (2)若D50，求B的度数第一节 等腰三角形（二）模块一 预习反馈（P5例1P9）一知识点1、等腰三角形两个底角的平分线相等；2、等腰三角形腰上的高相等；3、等腰三角形腰上的中线相等；4、推理论证：等腰三角形腰上的中线相等；（以上定理画图、写出已知、求证、证明过程）5等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60。6、两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）7、反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。模块二 基础训练1. 在如图的等腰三角形ABC中，(1)如果ABD=ABC，ACE=ACB呢?由此，你能得到一个什么结论?(2)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗?如果AD=AC，AE=AB呢?由此你得到什么结论?2想想出反证法证明问题的一般步骤。把下列命题用反证法证明时的第一步写出来。a) 三角形中必有一个内角不少于60度；b) 一个三角形中不能有两个角是钝角；c) 垂直于同一条直线的两条直线平行。3、如图，中，BDAC于D，CEAB于E，BD = CE。求证：是等腰三角形。模块三 能力提升1、如图，在ABC中，AB = AC，DEBC，求证：ADE是等腰三角形。2、如图，E是ABC内的一点，AB = AC，连接AE、BE、CE，且BE = CE，延长AE，交BC边于点D。求证：ADBC。 模块四：课下练习1、 在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50，则 B等于_度2、 如图，已知ABC20，BDDEEFFG，求CGF和AFG的度数分别是_3、 如图，在ABC中，B、C的平分线交于E，过E作DFBC交AB于D，交AC于F若BDCF8，则线段DF的长（ ）. A9 B7 C8 D64.在ABC中，ABC123，CDAB于D，ABa，则DB等于（ ）.A. B. C. D.5.如图，在ABC中，A=20，D在AB上，AD=DC，ACDBCD=23，求：ABC的度数. 中考在线1、 如图，ABC中，AB=AC，E在CA的延长线上，且EDBC于D，求证：AE=AF 2.如图，ABC的内角ABC的平分线与外角ACG的平分线交于点D，过D点作BC的平行线交AB于E，交AC于F，那么EF与BE，CF之间存在怎样的关系.第一节 等腰三角形（三）模块一 预习反馈（P10P11）一知识点1、等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质。2、等边三角形的判定1） 三个角都相等的三角形是等边三角形 。2） 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。（证明）3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（证明）模块二 基础训练1、 已知：如图，ABC是等边三角形，DEBC，交AB、AC于D、E。求证：ADE 是等边三角形。2、如图，ABC是等边三角形，BD = CE，1 =2。求证：ADE是等边三角形。3、如图，在Rt中，B = 30，BD = AD，BD = 12，求DC的长。模块三 能力提升1、 填空：（1）如图1，BC = AC，若 ，则ABC是等边三角形。（2）如图2，AB = AC，BCAD，BD = 4，若AB = ，则ABC是等边三角形。（3）如图3，在Rt中，B = 30，AC = 6cm，则AB = ；若AB = 7，则AC = 。图1 图2 图32、如右图，已知ABC和BDE都是等边三角形，求证：AE=CD。模块四：课下练习1、填空：（1）如图1，AB = AC，AD是ABC的一条中线，AB = 5，若BD = ，则ABC是等边三角形。（2）如图2，BAC120，ABAC，AB14，则AD = 。 图1 图22、已知：中，AB = 40，求DB的长。BACD3、在四边形ABCD中，A=60，B=D=90，BC=2，CD=3，求：AB的长中考在线已知:在ABC中,ACB 900,A=300,CDAB于D. 求证:BD=AB/4第二节 直角三角形（一）模块一 预习反馈（P14P16）一知识点1、直角三角形的两个锐角互余。（性质）2、有两个角互余的三角形是直角三角形。（判定）3、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。（性质）4、如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（判定）5、在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。6、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。模块二 基础训练1、如图，BADA于A，AD = 12，DC = 9，CA = 15，求证：BADC。2、若直角三角形的三条边长分别是6，8，a，则a =_。3、已知：如图，ABC中，CDAB于D，AC=4，BC=3，DB=。（1）求DC的长；（2）求AD的长；（3）求AB的长；（4）求证：ABC是直角三角形.模块三 能力提升1、 填空：（1）直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为 ；直角三角形的斜边为13，其中一条直角边为5，则另一条直角边为 。（2）如果一个三角形的三边分别是6、10、8，则这个三角形是 三角形。2、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。1）等边对等角；2）对顶角相等；3）平行四边形的两组对边相等；4）正方形的四条边都相等；3、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，ACB90，AC80米，BC60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？图5模块四：课下练习1、 找出下列定理有哪些存在逆定理，并判断每对命题的真假。（1）矩形是平行四边形 。 （2）内错角相等，两直线平行。（3）如果，则 。（4）全等三角形对应角相等。（5）对顶角相等（6）如果ab=0,那么a=0,b=0； 2、如图，ABBC，DCBC，E是BC上一点，BAE=DEC=60，AB=3，CE=4，则AD等于 。3 、如图所示的一块地，ADC=90，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。第二节 直角三角形（二）模块一 预习反馈（P18P20）一知识点斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（“斜边、直角边”或“HL”）（证明）模块二 基础训练1、在RtABC中，C = 90，且DEAB，CD = ED，求证：AD是BAC的角平分线。2、如图，ACB = ADB = 90，AC = AD，E是AB上的一点。求证：CE = DE。3、在ABCABC中，CD，CD分别分别是高，并且ACAC，CD=CDACB=ACB求证：ABCABC模块三 能力提升1、填空：.如下图，RtABC和RtDEF，C=F=90。（1）若A=D，BC=EF，则RtABCRtDEF的依据是_.（2）若A=D，AC=DF，则RtABCRtDEF的依据是_.（3）若A=D，AB=DE，则RtABCRtDEF的依据是_.（4）若AC=DF，AB=DE，则RtABCRtDEF的依据是_.（5）若AC=DF，CB=FE，则RtABCRtDEF的依据是_.2、如下图，CDAD，CBAB，AB=AD，求证：CD=CB。模块四：课下练习1.已知x、y为正数，且，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角 形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）. A.5 B.25 C.7 D.152.折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠AD边与对角线BD重合，得折痕DG，如图，若AB=2，BC=1，求AG的长.中考在线1.如图，在RtDBC中，C=900，A=300，BD是ABC的平分线，AD=20。求BC的长.ABDC2.已知：如图，在RtABC中，C90，AC点D为BC边上一点，且BD 2AD，ADC60，求ABC的周长（结果保留根号）. 3.如图，在平面直角坐标系中，RtOAB的直角边OA在x轴的正半轴上，点B在第一象限，将OAB绕点O按逆时针方向旋转到OAB，使点B的对应点B落在y轴的正半轴上，已知OB=2，BOA=300。 （1）求点B与点A的坐标；xyABOAB （2）求经过点B与点B的直线所对应的一次函数解析式,并判断断点A是否在直线BB上.第三节 线段的垂直平分线（一）模块一 预习反馈（P22P23）一、知识点1、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。（性质）2、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。（判定）论证要求（画图、写出已知、求证、证明过程）模块二 基础训练1、如图，在ABC中，C = 90，DE是AB的垂直平分线。1）则BD = ；2）若B = 40，则BAC = ，DAB = ，DAC = ，CDA = ；3）若AC= 4， BC = 5，则DA + DC = ，ACD的周长为 。2、如图，DE为ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E， AC = 5，BC = 8，求AEC的周长。3、在ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线交AC于D，ABC和DBC的周长分别是60cm和38cm，求AB、BC。模块三 能力提升1、如图，已知AB = AC = 14cm，AB的垂直平分线交AC于D。1）若DBC的周长为24cm，则BC = cm；2）若BC = 8cm，则BCD的周长是 cm。2、已知在ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE = 3cm，ABD的周长是13cm，求ABC的周长。模块四：课下练习1、如图，ABC中，AB = AC，A = 40，DE为AB的中垂线，则1 = ，C = ，3 = ，2 = ；若ABC的周长为16cm，BC = 4cm，则AC = ，BCE的周长为 。2、如图，在ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC= 5cm，BC= 4cm，AE = 2cm，求CDB的周长。3、如图，在ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，ABC的周长为12cm， ABD的周长为9cm，求AC的长度。第三节 线段的垂直平分线（二）模块一 预习反馈一知识点1、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。2、尺规作图：已知直线外一点作直线的垂线。证明1模块二 基础训练1、用尺规作线段的垂直平分线。2、已知直线和上一点P，利用尺规作的垂线，使它经过点P。3、已知：线段、，求作：ABC，使AB = AC，且BC = ，高AD = 作法：模块三 能力提升1、ABC的三条边的垂直平分线相交于点P，若PA = 10，则PB = ，PC = 。2、已知：线段=4cm、=6cm求作：ABC，使AB = AC，且BC = ，高AD = 作法：模块四：课下练习1、 如果的边的垂直平分线经过顶点，与相交于点，且， 则中必有一个内角的度数为（ ）.A. B. C. D.2、如图，中，边上的垂直平分线交于，交于，分E 为两部分若，则（）. A. B. C. D. 9. ABC中，AB=AC，BAC=100，两腰AB、AC的垂直平分线交于点P，则（ ）. A.点P在ABC 内 B.点P在ABC 底边上 C.点P在ABC 外 D.点P的位置与ABC 的边长有关中考在线1、 如图，在ABC中，AB=AC=3cm，AB的垂直平分线交AC于点N，BCN的周长是5cm，则BC的长等于 cm1、 如图，在ABC中，AB=AC，DE是AB边的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E， BEC的周长是14cm，BC=5cm，则AB的长是（ ）. A.14cm B.9cm C.19cm D.12cm2、 如图，在ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相 交于点M，N，作直线MN，交BC于点D,连接AD若ADC的周长为10，AB=7，则 ABC的周长为（ ）. A.7 B.14 C.17 D.203、 如图，在四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连接AE、BE，BEAE，延长 AE交BC的延长线于点F 求证：（1）FC=AD； （2）AB=BC+AD第四节 角平分线（一）模块一 预习反馈（P28P29）一知识点1、角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（性质）2、在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。（判定）论证要求（画图、写出已知、求证、证明过程）模块二 基础训练1、如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且1 =2。求证：OB = OC。2、如图，AB = AC，DE为ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E。求证：BE + EC = AB。3、如图，在ABC中，AC = BC，C = 90，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E。（1）已知CD = 4cm，求AC的长；（2）求证：AB = AC + CD。模块三 能力提升1、如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且OB = OC。求证：1 =2。2、如右图，已知BEAC于E，CFAB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD。求证：AD平分BAC。模块四：课下练习1、如图，E是线段AC上的一点，ABEB于B，ADED于D，且1 =2，CB = CD。求证：3 =4。2、如图，在ABC中，BEAC，ADBC，AD、BE相交于点P，AE = BD。求证：P在ACB的角平分线上。3、如图，E为AB边上的一点，DAAB于A，CBAB于B，1 =C，DE = EC。求证：DA + CB = AB。 第四节 角平分线（二）模块一 预习反馈（P30P31）一知识点1、三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 论证要求（画图、写出已知、求证、证明过程）模块二 基础训练1、用尺规作图法作下列各个角的平分线。2、如图，求作一点P，使PC = PD，并且点P到AOB两边的距离相等。3、（1）利用角平分线的性质，找到ABC内部距三边距离相等的点。（2）在右图ABC所在平面中，找到距三边所在直线距离相等的点。模块三 能力提升1、填空：（1）如图1，点P为ABC三条角平分线交点，PDAB，PEBC，PFAC，则PD_PE_PF.（2）如图2，P是AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是_.（3）如图3，CD为RtABC斜边上的高，BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FGAB，垂足为G，则CF_FG，1+3=_度，2+4=_度，3_4，CE_CF. 图1 图2 图32、已知：如图在ABC中，C=90，AD平分BAC，交BC于D，若BC=32，且BDCD=97，求：D到AB边的距离.模块四：课下练习能力提升1、如图，RtABC中，C=90，BD是角平分线，DEAB，垂足为E，BC=6，CD=3，AE=4，则ABCDEDE=_，AD=_，ABC的周长是_2.如图，ABC中，C=90，BD平分ABC交AC于D，DE是AB的垂直平分线，DE=BD，且BCDEADE=1.5cm，则AC等于（ ）.A 3cmB7.5cm C6cm D4.5cm3已知，RtABC中，C=90，AD平分BAC交BC于D，若BC=32，且BDCD=97，则D到AB的距离为（ ）. A.18 B.16 C.14 D.12中考在线1如图，已知在ABC中，C=90，AD平分BAC，交BC于D，若BC=32，且BDCD=97，求：D到AB边的距离.2、 如图，已知BEAC于E，CFAB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD. 求证：AD平分BAC.3.如图，B=C=90，M是BC的中点，DM平分ADC，求证：AM平分DAB.第一章 回顾与思考【学习目标】1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力。【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合【学习重难点】重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固难点：本章知识的综合性应用。【学习过程】模块一 预习反馈一预习要求1请同学们阅读教材1页39的内容，并选做教材41页的复习题。2预习过程中请注意：不懂的地方要用红笔标记符号；完成你力所能及的习题；数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。二知识点1、等腰三角形的性质：（边） ；（角） ；“三线合一”的内容 。2、等边三角形的性质：（边） ；（角） 。3、判定等腰三角形的方法有：（边） ；（角） 。4、判定等边三角形的方法有：（边） ；（角） 。5、线段垂直平分线的性质定理： 。逆定理： 。三角形的垂直平分线性质： 。6、角的性质定理： 。逆定理： 。三角形的角平分线性质： 。7、三角形全等的判定方法有： 。8、30锐角的直角三角形的性质： 。9、方法总结：（1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性质；5）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。（2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。（3）证明垂直的方法：1）证邻补角相等；2）证和已知直角三角形全等；3）利用等腰三角形的三线合一性质；4）勾股定理的逆定理。（4）等腰三角形的证明：主要利用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。模块二 基础训练2、 已知：如图，D是ABC的BC边上的中点，DEAC，DFAB，垂足分别是E、F，且DE=DF。 求证：ABC是等腰三角形。2、如图，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点E，已知BCE的周长为8，ACBC=2. 求AB与BC的长.模块三 能力提升1、已知，等腰三角形的一边长为，另一边长为，则此等腰三角形的周长是 2、等腰三角形的底角为15,腰上的高为16,那么腰长为_ _3、等腰三角形的一个角是80度，则它的另两个角是 4、如图1，在ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，BCE的周长等于50，则BC的长为 。5、如图2，在ABC中，C=90，A的平分线交BC于E，DEAB于D，BC=8，AC=6，AB=10，则BDE的周长为_。6、.如图3，在ABC中，ACB=90,BE平分ABC，DEAB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于 。 图2 图37、 命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,其逆命题是_.它是一个_命题。8、如图，AC平分BAD，CEAB，CFAF，E、F是垂足，且BC = CD。求证：（1）BCEDCF； （2）DF = EB。9、已知，在ABC中，AD垂直平分BC，且CA = CE，点B、D、C、E在同一条直线上。求证： AB + DB = DE24
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