五年高考之函数的概念与性质

第二章 函数与基本初等函数I第一节 函数的概念与性质第一部分 五年高考荟萃高考题.（全国卷理）函数的定义域为，若与都是奇函数,则( ） A.是偶函数 B.是奇函数 C D.是奇函数答案 D解析 与都是奇函数，,函数有关点,及点对称，函数是周期的周期函数.，即是奇函数。故选D2.(浙江理）对于正实数,记为满足下述条件的函数构成的集合:且,有下列结论中对的的是（ )A.若，,则B.若，,且,则C.若,则 .若，,且，则答案 C 解析 对于,即有，令，有,不妨设,，即有,因此有,因此有3.(浙江文）若函数,则下列结论对的的是（ ）A.,在上是增函数 B.，在上是减函数,是偶函数.，是奇函数答案 C 【命题意图】此题重要考察了全称量词与存在量词的概念和基本知识，通过对量词的考察结合函数的性质进行了交汇设问.解析 对于时有是一种偶函数1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O (山东卷理)函数的图像大体为( ).答案 A解析函数故意义，需使,其定义域为，排除C,D,又由于,因此当时函数为减函数，故选A 【命题立意】:本题考察了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形，再在定义域内对其进行考察其他的性质5（山东卷理)定义在R上的函数（x）满足f(x) ，则f()的值为( ）A.- B 0 C1 D 2答案 解析 由已知得,，,，,因此函数f()的值以6为周期反复性浮现,因此f(） f（5）1,故选【命题立意】:本题考察归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.（山东卷文)函数的图像大体为( ). 1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 答案 A.解析 函数故意义,需使，其定义域为,排除C,，又由于,因此当时函数为减函数,故选A 【命题立意】:本题考察了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其他的性质7. （山东卷文）定义在R上的函数f（x)满足(x）= ，则f(3)的值为（ )A.1 B. - C.1 . 2答案 B解析 由已知得,故选. 【命题立意】:本题考核对数函数的运算以及推理过程.8.(山东卷文)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0，2上是增函数,则（ ). A. B C. D.答案 D解析 由于满足,因此,因此函数是以8为周期的周期函数,则,又由于在R上是奇函数, ,得，,而由得,又由于在区间0,上是增函数，因此,因此,即，故选. 【命题立意】:本题综合考察了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题. 9（全国卷文)函数y=()的反函数是( ）(A)（0) (B)()(B）（x0） (D）（x0） 答案 解析 本题考察反函数概念及求法,由原函数0可知AC错,原函数y可知D错.1.（全国卷文）函数y=的图像( ）() 有关原点对称 （）有关主线对称(C） 有关轴对称 （D)有关直线对称答案 A解析 本题考核对数函数及对称知识，由于定义域为(-,2)有关原点对称，又f(-x)=-f(x），故函数为奇函数,图像有关原点对称，选A。1.(全国卷文）设则( ）（） （) (C) （D)答案 B解析 本题考核对数函数的增减性,由le0,知a,又c=lge, 作商比较知cb,选B。12.(广东卷理）若函数是函数的反函数,其图像通过点，则( ）A B. C. D 答案 解析 ,代入,解得，因此，选B.1.(广东卷理)已知甲、乙两车由同一起点同步出发，并沿同一路线(假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示)那么对于图中给定的，下列判断中一定对的的是（ ） 在时刻,甲车在乙车前面 B. 时刻后，甲车在乙车背面C. 在时刻,两车的位置相似D.时刻后，乙车在甲车前面答案 解析 由图像可知,曲线比在0、0与轴所围成图形面积大,则在、时刻，甲车均在乙车前面，选A. 14.(安徽卷理）设x,x下面的不等式在内恒成立的是（ )A. B. C .答案 A 解析 由已知，一方面令 ,排除B，D。然后结合已知条件排除C,得到A【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过度析解析式的特点,考察了分析问题和解决问题的能力。(湖北卷理)设为非零实数，函数( )A、 B、C、 、答案 D解析 由原函数是，从中解得即原函数的反函数是,故选择D4.(湖北卷理)设球的半径为时间t的函数。若球的体积以均匀速度c增长,则球的表面积的增长速度与球半径 （ ）A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C C成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为C 答案 解析 由题意可知球的体积为,则，由此可，而球的表面积为，因此，即,故选2.（四川卷文)已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数均有 ，则的值是( ) A. . D答案 A解析 若0，则有，取，则有: （是偶函数,则）由此得于是26（福建卷理）函数的图象有关直线对称。据此可推测，对任意的非零实数,，,m,，p，有关x的方程的解集都不也许是( )A C D答案 D解析 本题用特例法解决简洁迅速，对方程中分别赋值求出代入求出检查即得27(辽宁卷文）已知偶函数在区间单调增长,则满足的x 取值范畴是（ )(A)（,) B.,） .（,) D.，）答案 A解析 由于f（x)是偶函数,故f()=f(|x|) 得f(|2x1|）(),再根据f()的单调性 得|2-| 解得0(）,故函数单调递增, 显然符合题意；而函数,有y-0(0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知因此-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 【命题立意】：本题综合考察了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题. 14(四川卷文）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足:对所有及任意实数均有,则称为平面上的线性变换。既有下列命题:设是平面上的线性变换，则 若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换; 对,则是平面上的线性变换； 设是平面上的线性变换，,则对任意实数均有。其中的真命题是 (写出所有真命题的编号)答案 解析 ：令,则故是真命题 同理,：令，则故是真命题 :,则有 是线性变换，故是真命题 :由，则有 是单位向量，0，故是假命题【备考提示】本小题重要考察函数,相应及高等数学线性变换的有关知识,试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力,具有选拔性质。.(广东卷文）（本小题满分14分）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在=1处获得最小值m1(m)设函数(1)若曲线上的点到点Q（，2)的距离的最小值为,求的值(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点.解 (1）设,则； 又的图像与直线平行 又在取极小值， , ， ； , 设 则 ; (2)由, 得 当时，方程有一解,函数有一零点； 当时，方程有二解,若, 函数有两个零点；若， ，函数有两个零点; 当时，方程有一解, ,函数有一零点 9.（浙江理）（本题满分14分)已知函数,其中. （I)设函数.若在区间上不单调,求的取值范畴; （II）设函数 与否存在，对任意给定的非零实数,存在惟一的非零实数（)，使得成立?若存在，求的值；若不存在，请阐明理由解(I)因,，因在区间上不单调,因此在上有实数解,且无重根，由得 ，令有,记则在上单调递减，在上单调递增,因此有, 于是,得,而当时有在 上有两个相等的实根,故舍去,因此； （II)当时有；当时有，由于当时不合题意,因此,下面讨论的情形,记A，B()当时,在上单调递增,因此要使成立，只能且,因此有,（)当时,在上单调递减，因此要使成立,只能且,因此,综合（)()；当时A=B,则，虽然得成立，由于在上单调递增,因此的值是唯一的；同理，即存在唯一的非零实数,要使成立,因此满足题意. .(江苏卷)(本小题满分1分） 设为实数，函数. (1)若,求的取值范畴; ()求的最小值;（3)设函数,直接写出(不需给出演算环节)不等式的解集.解 本小题重要考察函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基本知识,考察灵活运用数形结合、分类讨论的思想措施进行摸索、分析与解决问题的综合能力。满分1分(1）若,则（2)当时, 当时， 综上（3)时，得,当时，；当时,0,得：讨论得:当时，解集为;当时，解集为；当时,解集为.50.(上海卷理)已知函数的反函数。定义:若对给定的实数,函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”。（1） 判断函数与否满足“1和性质”,并阐明理由； （2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；（3） 设函数对任何,满足“积性质”。求的体现式。解（1)函数的反函数是 而其反函数为 故函数不满足“和性质”（2)设函数满足“2和性质”,.6分而得反函数8分由“2和性质”定义可知=对恒成立即所求一次函数为1分 （）设,且点在图像上，则在函数图象上, 故,可得, .分 令，则。,即。 .14分综上所述，此时,其反函数就是，而，故与互为反函数 。 高考题一、选择题（山东文科卷)设函数则的值为（ ）A.BC.答案 A2（07天津）在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数,则函数( ）A.在区间上是增函数,区间上是增函数.在区间上是增函数,区间上是减函数.在区间上是减函数,区间上是增函数D在区间上是减函数,区间上是减函数答案 B3 (07福建)已知函数为上的减函数，则满足的实数的取值范畴是 ( )A. B. C. 答案 4(0重庆)已知定义域为的函数在区间上为减函数,且函数为偶函数，则( ）A. B. C. . 答案 D5.(07安徽）图中的图象所示的函数的解析式为( ).(0) B. (0x)C.(02)D.(0x2)答案 B（上海13)若函数,则该函数在上是（ )A.单调递减;无最小值 B.单调递减；有最小值C单调递增；无最大值 D单调递增；有最大值答案 A二、填空题7.(上海春季)设函数是奇函数. 若则 答案 8.(上海）函数的定义域是 答案 9(安徽卷）函数对于任意实数满足条件，若则_。答案 -解析 。10(上海春）已知函数是定义在上的偶函数. 当时,则当时, .答案 -4三、解答题1.(广东） 已知a是实数,函数,如果函数在区间上有零点,求a的取值范畴.解析 若 ， ,显然在上没有零点, 因此. 令 ，解得 当 时, 恰有一种零点在上; 当，即时，在上也恰有一种零点. 当在上有两个零点时，则 或解得或综上所求实数的取值范畴是或.第二部分 三年联考汇编联考题一、选择题1. （北京市东城区3月高中示范校高三质量检测文理)函数的定义域是,若对于任意的正数,函数都是其定义域上的增函数，则函数的图象也许是（ ) 答案.(龙岩一中）函数的定义域是（ ）A. B C D. 答案 3.(湘潭市一中12月考)已知定义在R上的函数满足,且，, （ )A. B.CD.答案 A4（广东三校一模)定义在上的函数是奇函数又是觉得周期的周期函数,则等于（ )A.1 B.0 C.1 .4答案 B.(安徽省合肥市高三上学期第一次教学质量检测）函数在上单调，则的取值范畴是 （ )A BC. D答案 6（黄山市高中毕业班第一次质量检测）对于函数定义域中任意有如下结论:；; ； 。上述结论中对的结论的序号是 ( ) B. . D答案 B7.（福州市一般高中高中毕业班质量检查）已知函数两函数的图像的交点个数为( )1B2C3D4答案 B8.（福州市一般高中高中毕业班质量检查)已知,则不等式的解集是（ ） （2，)B.C D.答案 9.（江门市高考模拟考试)设函数的定义域为，的定义域为,则( )A B. D.答案 （深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科）)设,又记则( )AB.D.答案 D1.（银川一中高三年级第一次模拟考试)设函数是奇函数，并且在R上为增函数,若时，f(msin）+f（1m）0恒成立，则实数的取值范畴是( )A（0,)B.(-，0)C D(-，1）答案 D二、填空题12(龙岩市一般高中毕业班单科质量检查）已知函数为上的奇函数,当时,若,则实数 .答案 13.(银川一中高三年级第一次模拟考试)给出定义：若(其中为整数），则叫做离实数近来的整数,记作,即. 在此基本上给出下列有关函数的四个命题:函数的定义域是R,值域是0，;函数的图像有关直线对称;函数是周期函数,最小正周期是1; 函数在上是增函数; 则其中真命题是_ .答案 1(安徽省示范高中皖北协作区高三联考）已知函数,则不等式的解集为 答案 1.(北京市石景山区4月高三一模理)函数,则，若,则实数的取值范畴是 答案 1. (北京市西城区4月高三一模抽样测试文）设a为常数，若函数为偶函数，则=_;=_.答案 2,8 17.（丹阳高档中学一模)若函数在上是增函数,则的取值范畴是_。答案 三、解答题18.(银川一中高三年级第一次模拟考试)设函数。（1)画出函数y=(x）的图像；(2）若不等式,（a0,a、bR)恒成立，求实数的范畴。112xy解：(1) (2)由|b|+|a-b|f()得又由于则有2f(x)解不等式 2|-1|-|得 联考题一、选择题.(陕西长安二中高三第一学期第二次月考)定义在上的偶函数满足，且在1,0上单调递增，设， ,则大小关系是( )A. B. C. . 答案 D.(陕西长安二中高三第一学期第二次月考）函数是 ( )A奇函数 B.偶函数 .既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数答案 D(陕西长安二中高三第一学期第二次月考)设f()是定义在R上的函数，且在（-，+)上是增函数,又()=f(x)-f(-x）,那么F()一定是( ）A.奇函数，且在(-，+)上是增函数 B.奇函数，且在(-，+）上是减函数C.偶函数,且在(-，+）上是增函数.偶函数,且在(，)上是减函数答案 A4(广东省六校第二次联考)如图所示是某池塘中浮萍的面积与时间(月)的关系:,有如下论述：这个指数函数的底数为；第5个月时, 浮萍面积就会超过3;浮萍从4蔓延到12需要通过1.5个月;浮萍每月增长的面积都相等；若浮萍蔓延到，, 6所通过的时间分别是, 则.其中对的的是( ) A B.C. D. 答案 D5.(岳阳市一中高三数学能力题训练）映射:AB，如果满足集合B中的任意一个元素在中均有原象，则称为“满射”。已知集合A中有4个元素，集合中有3个元素，那么从A到B的不同满射的个数为( ）.24 B. C.36 .72答案 C二、填空题6.（岳阳市一中高三数学能力题训练)若对于任意a-1,1，函数(x) = x (a4) 4-a的值恒不小于零, 则x的取值范畴是 答案 （7.(江苏省南京师范大学附属中学）已知函数，给出如下三个条件：(1) 存在,使得；() 成立；（） 在区间上是增函数.若同步满足条件 和 （填入两个条件的编号)，则的一种也许的解析式为 .答案 满足条件（1）(2)时,等；满足条件(）（3)时,等;满足条件（2)(3)时,等三、解答题.(安徽省六校)已知函数，在上有定义，对任意的有 且(1)求证:为奇函数（2)若， 求的值解（）对，令x=u则有f(-)=f(v-)=f（v)(u)-（v)f(）=f(u-v)=-f()g（v)-g()f(v)=-(x)4分(2)f(2)=f1-（-1)=f(1）g(-）-g(1)f(1）=(1)(1)g(1)f(1)=()(1)+g()f(2)f（）0g（-）+（1)=8分第二节 基本初等函数I第一部分 五年高考荟萃高考题.(广东卷文)若函数是函数的反函数,且,则( )A . C. D2答案 A解析 函数的反函数是,又,即，因此，故,选A.2.(北京文)为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有点 ( ) 向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度 向左平移个单位长度,再向下平移1个单位长度 .向右平移3个单位长度，再向下平移个单位长度答案 .解析 本题重要考察函数图象的平移变换. 属于基本知识、基本运算的考察.3.（天津卷文）设，则（ )A ab acb C b D bac答案 B 解析 由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到，而，因此选。【考点定位】本试题考察了对数函数和指数函数的性质运用，考察了基本的运算能4.（四川卷文)函数的反函数是 A B. C. D 答案 C解析 由，又因原函数的值域是,其反函数是5(全国卷理)设,则 A. C D. 答案 解析 .（湖南卷文）的值为A B. C. D. 答案 D解析 由,易知D对的. 7（湖南卷文)设函数在内有定义,对于给定的正数,定义函数 取函数。当=时,函数的单调递增区间为（ )A B. C D. 答案 解析 函数,作图易知，故在上是单调递增的,选C. 8.（福建卷理）下列函数中，满足“对任意,(0,),当时,均有的是.= .答案 A解析 依题意可得函数应在上单调递减,故由选项可得A对的。. (辽宁卷文）已知函数满足:x4，则;当x4时，则A B. C. .答案 A解析 log3(3log2)1.（四川卷文）函数的反函数是 A. B. . D.答案 C解析 由，又因原函数的值域是,其反函数是11.（陕西卷文)设曲线在点(1，1)处的切线与轴的交点的横坐标为,则的值为A. C. D.答案 B解析 对,令得在点（1,1)处的切线的斜率，在点（1,1)处的切线方程为，不妨设,则, 故选B.12.（全国卷文)已知函数的反函数为,则（)0 (B）1 （C） (D)4答案 C解析 由题令得,即,又，因此,故选择。13.（湖南卷理)若a，,则 ( )Aa,b0 .a1，b0 C. 00且1）有两个零点,则实数a的取值范畴是 .答案 解析 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a0且1)有两个零点，就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一种交点,不符合,当时，由于函数的图象过点（0,1),而直线所过的点一定在点(，1)的上方，因此一定有两个交点.因此实数的取值范畴是【命题立意】:本题考察了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考察，根据其底数的不同取值范畴而分别画出函数的图象进行解答8.（重庆卷文）记的反函数为，则方程的解 答案 2解法1 由，得，即，于是由，解得解法2由于,因此高考题一、选择题1.(山东文科卷)已知函数的图象如图所示,则满足的关系是（ ）OyxAB.CD答案 A解析 本小题重要考核对的运用对数函数的图象来比较大小。由图易得取特殊点 .2. (0山东)设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为（ )A1,3 B.-1,1 C.1,3 -,1,3 答案 3.（安徽卷）函数的反函数是（ )A B. C D答案 解析 由得：x+1=l，即x=-1+l,所觉得所求，故选D。4(湖北卷）设,则的定义域为( ）A. D.答案 B解析 f（x)的定义域是(2,2),故应有22且-2解得4x-1或1x故选B。5.（0天津)设均为正数,且,则（ ） B. . D. 答案 A 二、填空题6.（山东文科卷)已知，则的值等于 答案 解析 本小题重要考核对数函数问题。 7.(07山东)函数的图象恒过定点A,若点A在直线上,其中,则的最小值为 . 答案 88（辽宁卷)设则_答案 .解析 本题考察了分段函数的体现式、指对数的运算.9.(重庆卷）设，函数有最大值,则不等式的解集为 .解析 设，函数有最大值,有最小值， 0a, 则不等式的解为，解得2g(2）g(1) 分因此，当1时，方程无解;当3la1时，方程有一种解,当2-2lna-l3时,方程有两个解；当a=2l2时，方程有一种解;当a2-2l2时,方程无解. 13分字上所述,a时,方程无解;或a=2-2ln2时,方程有唯一解;时,方程有两个不等的解.14分 联考题一、选择题1.（高考数学各校月考试题)若lga+lb=0（其中a1,b),则函数f(x）=x与g()=b的图象（ )A.有关直线yx对称 B有关x轴对称C有关y轴对称D有关原点对称答案 C 解析 取满足可