等比数列前n项和说.ppt

等比数列的前 n项和 （第一课时） 等比数列的前 项和 （第一课时） 长沙市六中 钟辅君 等比数列的前 n项和 等比数列的前 项和 一、教材分析 二、目标分析 三、过程分析 四、教法分析 五、评价分析 一 、 教材分析 一 、 教材分析 1从在教材中的地位与作用来看 等比数列的前 n项和 是数列这一章中的一个重 要内容 ， 它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用 ， 如储蓄 、 分期付款的有关计算等等 ， 而且公式推导过 程中所渗透的类比 、 化归 、 分类讨论 、 整体变换和方 程等思想方法 ， 都是学生今后学习和工作中必备的数 学素养 一 、 教材分析 一 、 教材分析 2从学生的认知角度来看 学生很容易把本节内容与等差数列前 n项和从公式的 形成 、 特点等方面进行类比 ， 这是认知的 有利因素 认知 的 不利因素 有：本节公式的推导与等差数列前 n项和公式 的推导有着本质的不同 ， 这对学生的思维定势是一个突破 ， 另外 ， 对于 q=1这一特殊情况 ， 学生往往容易忽视 ， 尤其 是在后面使用的过程中容易出错 一 、 教材分析 一 、 教材分析 3学情分析 教学对象是刚进入高中的学生 ， 虽然具有一定 的分析问题和解决问题的能力 ， 逻辑思维能力也初 步形成 ， 但由于年龄的原因 ， 思维尽管活跃 、 敏捷 ， 却缺乏冷静 、 深刻 ， 因而片面 、 不够严谨 一 、 教材分析 一 、 教材分析 4重点、难点分析 本节课的 重点是公式的推导 、 公式的特点和公式的 运用；难点是公式的推导方法及公式应用中 q与 1的关系 这样确定重点，既能夯实“双基”，又凸现了掌握 知识的三个层次：识记、理解和运用而公式推导用到 了多种重要的数学思想方法，所以既是重点又是难点 二 、 目标分析 二 、 目标分析 1 知识与技能目标 理解并掌握等比数列前 n项和公式的推导过程、 公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之 有关的问题 分析：这一目标体现了基础知识的落实、基 本技能的形成，这是数学教学的首要环节，也正 符合课程标准的要求 二 、 目标分析 二 、 目标分析 2 过程与方法目标 通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透 特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培 养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆 向思维的能力 分析：因为数学教学的最终目的是通过思想方 法的渗透以及思维品质的锻炼，从而让学生在能力 上得到发展 二 、 目标分析 二 、 目标分析 3 情感、态度与价值观 通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的 思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的 辩证唯物主义观点 三 、 过程分析 三 、 过程分析 创设情境， 提出问题 师生互动， 探究问题 类比联想， 解决问题 讨论交流， 延伸拓展 变式训练， 深化认识 例题讲解， 形成技能 总结归纳， 加深理解 课后作业， 分层练习 故事结束， 首尾呼应 1 创设情境 ， 提出问题 引入：印度国际象棋发明者的故事 （西 萨） 设计意图： 设计这个情境目的是在引入课题的同时 激发学生的兴趣，调动学习的积极性故事 内容紧扣本节课的主题与重点 2 3 6 31 + 2 + 2 + 2 + + 2 = 设问：同学们，你们知道西萨要的 是多少小麦吗？ 引导学生写出麦粒总数为 在实际教学中 ， 由于受课堂时间限制 ， 教师舍不得花 时间让学生去做所谓的 “ 无用功 ” ， 急急忙忙地抛出 “ 错 位相减法 ” ， 这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相 加 ， 这是合乎逻辑顺理成章的事 ， 教师为什么不相加而马 上相减呢 ？ 在整个教学关键处学生难以转过弯来 ， 因而在 教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围 ， 突破学生 学习的障碍 同时 ， 形成繁难的情境激起了学生的求知欲 ， 引导学生急于寻求解决问题的新方法 ， 为后面的教学埋下 伏笔 . 设计意图： 2师生互动，探究问题 探讨 : 发明者要求的麦粒总数是： S64=1+2+22+263 上式有何特点？ 如果式两边同乘以 2得 2S64=2+22+23+263+264 比较、两式，有什么关系？ 留出时间让学生充分地比较 ， 等比数列 前 n项和的公式推导关键是变 “ 加 ” 为 “ 减 ” ， 在教师看来这是 “ 天经地义 ” 的 ， 但在学生看来却是 “ 不可思议 ” 的 ， 因此教 学中应着力在这儿做文章 ， 从而抓住培养学 生的辩证思维能力的良好契机 设计意图： S64=1+2+22+23+263 2S64= 2+22+23+263+264 错位相减法 反思： 纵观全过程， 式两边为什么要乘以 2 ？ 两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以 消去相同的项，得到 6464s = 2 - 1 学生 经过繁难的计算之苦后 ， 突然发现上述 解法 ， 会惊呼：真是太简洁了 ！ 让学生在探索过 程中 ， 充分感受到成功的情感体验 ， 从而增强学 习数学的兴趣和学好数学的信心 设计意图： 3类比联想，解决问题 问题： 在教师的指导下，让学生从 特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生 自己探究公式，从而体验到学习的成功和愉快 设计意图： nna a q s 1设 等 比 数 列 , 首 项 为 , 公 比 为 ， 如 何 求 前 n 和 ？ 112111 nn qaqaqaas nnn qaqaqaqaqs 111211 探讨 1： 探讨 2： 结合等比数列的通项公式 , 如何 把 用 表示出来？（引导学生得出 公式的另一形式） 1na a q、 、 n -1n1a = a q ns 对不对 ？ =1时 =？ (这里引导学生对 进行分 类讨论 ， 得出公式 ， 同时为后面的例题教学打下 基础 ） n11 nn 1 1 n a - a q ( 1 - q ) s = a - a q s = 1 - q 由 得 nsq q 设计意图： 通过反问精讲 ， 一方面使学生加深对知识 的认识 ， 完善知识结构 ， 另一方面使学生由简 单地模仿和接受 ， 变为对知识的主动认识 ， 从 而进一步提高分析 、 类比和综合的能力 这一 环节非常重要 ， 尽管用时比较少 ， 仅仅几句话 ， 然而却有画龙点睛的作用 4讨论交流，延伸拓展 思路 1： s a a q a q a q a q a a a 2 n - 1 n 1 1 1 1 1 1 2 n - 1 = + + + + = + ( + + ) 2 3 4 n 1 2 3 n - 1 a a a a= = = = = q a a a a 思路 2： 设计意图： 以疑导思 ， 激发学生的探索欲望 ， 营造一个让 学生主动观察 、 思考 、 讨论的氛围 以上两种方法 都可以化归到 , 这其实就是关于 的 一个递推式 ， 递推数列有非常重要的研究价值 ， 是 研究性学习和课外拓展的极佳资源 ， 它源于课本 ， 又高于课本 ， 对学生的思维发展有促进作用 . 1n1n qsas ns 5变式训练，深化认识 1 1 1 1 例 1 : 求 等 比 数 列 , , , , 前 8 项 和 .2 4 8 1 6 631 1 1 11 、 等 比 数 列 , , , , 前 多 少 项 的 和 是 ? 2 4 8 1 6 64 1 1 1 12 、 等 比 数 列 , , , , 求 第 5 项 到 第 10 项 的 和 .2 4 8 1 6 1 1 1 13 、 等 比 数 列 , , , , 求 前 2n 项 中 所 有 偶 数 项 的 和 .2 4 8 1 6 设计意图： 采用变式教学题组 ， 深化学生对公式的认 识和理解 ， 通过 直接套用公式 变式运用公 式 研究公式特点 这三个层次的问题解决 ， 促进学生新的数学认知结构的形成 通过以上 形式 ， 让全体学生都参与教学 ， 培养学生的参 与意识和竞争意识 6例题讲解，形成技能 解题时 ， 以学生分析 为主 ， 教师适时给予点拨 ， 该题有意培养 学生对含有参数的问题进行分类讨论的数 学思想 设计意图： 2 3 1 .n+ a + a + a + + a 例 2 ： 求 和 1 7总结归纳，加深理解 提出问题 ， 引导学生回顾公式及其推导方法 ， 鼓励 学生积极回答 ， 然后老师再从知识点及数学思想方法两 方面总结 以此培养学生的口头表达 能力 ， 归纳概括能力 设计意图： 8故事结束，首尾呼应 把引入课题时的悬念给予释疑 ， 有助于学生克服认知疲劳 ， 促进积极思维 设计意图： 64 6 4 1 9 64 1 - 2 = = 2 - 1 1. 84 10 1 - 2 7000 S （ 粒 ） 约 亿 吨 9课后作业，分层练习 出选作题的目的是注意分层教学和 因材施教 ， 为学有余力的学生提供思考的空间 必做： P129练习 1、 2、 3、 4 选作： 设计意图： 232 3 .n x + x + x + + nx 思 考 题 ( 1) : 求 和 （ 2）“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三 百八十一，请问尖头几盏灯？” 这个问题的答案是 多少？ 四 、 教法分析 四 、 教法分析 对公式的教学 ， 要使学生掌握与理解公式的来龙去 脉 ， 掌握公式的推导方法 ， 理解公式的成立条件 ， 充分 体现公式之间的联系 在教学中 ， 我采用 “ 问题 探究 ” 的教学模式 ， 把整个课堂分为 呈现问题 、 探索规 律 、 总结规律 、 应用规律四个阶段 利用多媒体辅助教学 ， 直观地反映了教学内容 ， 使 学生思维活动得以充分展开 ， 从而优化了教学过程 ， 大 大提高了课堂教学效率 五 、 评价分析 五 、 评价分析 本节课通过三种推导方法的研究 ， 使学生从不同 的思维角度掌握了等比数列前 n项和公式 错位相减： 变加为减 ， 等价转化； 递推思想： 纵横联系 ， 揭示本 质； 等比定理： 回归定义 ， 自然朴实 学生从中深刻 地领会到推导过程中所蕴含的数学思想 ， 培养了学生 思维的深刻性 、 敏锐性 、 广阔性 、 批判性 同时通过 精讲一题 ， 发散一串的变式教学 ， 使学生既巩固了知 识 ， 又形成了技能 在此基础上 ， 通过民主和谐的课 堂氛围 ， 培养了学生 自主学习 、 合作交流 的学习习惯 ， 也培养了学生 勇于探索 、 不断创新 的思维品质 敬请指导 敬请指导