正弦电路的电压电流及相量表

2、正弦量的三要素； 重点： 第 16讲 正弦电路的电压电流及相量表示 3、正弦量的相位差； 1、正弦量的瞬时值及正弦曲线； 4、正弦量的相量表示。 8.1 正弦稳态交流电路的基本概念 一、正弦量的瞬时值 一个周期内，正弦量在不同瞬间具有不同的值， 将此称为正弦量的瞬时值，一般用小写字母如 i（ tK ）、 u（ tK）或 i、 u来表示 tK时刻正弦电流、电压的瞬时值 。 表示正弦量的瞬时值随时间变化规律的数学式叫 做正弦量的瞬时值表达式，也叫解析式 .用 i（ t）， u （ t）或 i、 u表示。 解析式： 正弦电压解析式 u（ t） = Umsin（ t + u ） 正弦电流解析式 i（ t） = Imsin（ t + i ） 正弦波形： 表示正弦量的瞬时值随时间变化规律的图像叫正 弦量的波形。 正弦电压 的波形 强调说明： 同一交流量，如果参考方向选择相反，那么瞬时 值和解析式都相差一个负号，波形相对横轴（时间轴） 相反。因此画交流量的波形和确定解析式时，必须先 选定参考方向。 二、正弦量的三要素 一个正弦量是由 振幅 、 角频率 和 初相 来确定的， 称为正弦量的三要素。它们分别反映了正弦量的大小、 变化的快慢及初始值三方面的特征。 振幅： 正弦量瞬时值中的最大值叫振幅，也叫峰值，振 幅用来反映正弦量的幅度大小。有时提及的峰 -峰值 是指电压正负变化的最大范围，即等于 2Um。 振幅总是取绝对值，即正值。 角频率 角频率 是正弦量在每秒钟内变化的电角度，单 位是弧度 /秒（ rad/s）。 fT 22 与周期 T及频率 f的关系如下： 知识扩充 : 1、 周期 是交流电完成一个循环所需要的时间，用字母 T表示， 电位为秒（ s）。 频率 是单位时间内交流电循环的次数，用 f表 示。频率与周期互为倒数关系。单位为 1/秒，又称赫兹（ Hz）， 工程实际中常用的单位还有 kHz、 MHz及 GHz等。 2、 我国和世界上大多数国家，电力工业的标准频率即所谓的 “ 工频 ” 是 f = 50 Hz，其周期为 0.02 s，少数国家（如美国、 日本）的工频为 60 Hz。在其他技术领域中也用到各种不同的 频率，如声音信号的频率为 20 20 000 Hz，广播中频段载波 频率为 535 1 605Hz，电视用的频率以 MHz计，高频炉的频率 为 200 300 kHz，目前无线电波中频率最高的是激光，其频率 可达 106 MHz（即 1GHz）以上。 相位和初相 相位： （ t + ）是随时间变化的电角度，它决定了正 弦量每一瞬间的状态，称为正弦量的相位角或相位， 单位是弧度（ rad）或度（ o）。 初相： 初相是正弦量在 t=0 时刻的相位，用表示，我们 规定 | | 。初相反映了正弦量在 t=0 时的状态。 问题？如何根据正弦波形确定初相？ 由波形可以看出在一个周期内正弦量的瞬时值两 次为零。现规定：靠近计时起点最近的，并且由负值 向正值变化所经过的那个零值叫做正弦量的零值，简 称 正弦零值 。正弦量初相的绝对值就是正弦零值到计 时起点（坐标原点）之间的电角度。初相的正负这样 判断：看正弦零值与计时起点的位置，若正弦零值在 计时起点之左，则初相为正；若在右边，则为负值； 若正弦零值与计时起点重合，则初相为零。 初相 0的情况 初相 0的情况 初相 =0的情况 注意 ： 初相的大小和正负与计时起点（即 t = 0 时刻） 的选择有关，选择不同，初相则不同，正弦量的初始 值也随之不同。 三、相位差 定义： 两个 同频率 正弦量的相位之差，称为相位差，用 表示。同样规定 | 。 表达式： 设有两个同频率正弦电流： i1（ t） = I1msin（ t + 1） i2（ t） = I2msin（ t + 2） 它们的相位差为： =（ t + 1） -（ t + 2） = 1-2 两个同频率正弦量的相位之差等于它们的初相之差。 相位差不随时间变化，与计时起点也没有关系。通常用 相位差 的量值来反映两同频率正弦量在时间上的“超 前”和“滞后”关系。 问题： 如何用相位差描述两同频率正弦 量的相位关系 ？ （ 1）若 = 1-2 0，表明 i1（ t）超前 i2（ t）； 超前的角度为 ； （ 2）若 = 1 - 2 0，表明 i1（ t）滞后 i2 （ t），滞后的角度为 |。 几个特例： （ 1） =1-2=0，称电流 i1（ t）与 i2（ t） 同相 ； （ 2） =1-2= /2 ，称电流 i1（ t）与 i2（ t） 正交 ； （ 3） =1-2= ，称电流 i1（ t）与 i2（ t） 反相 。 电流 i1（ t） 超前 i2（ t） 电流 i1（ t） 滞后 i2（ t） 【 例 16-1】 已知正弦电压、电流的解析式为 u（ t） = 311sin（ 70 t -180o ） V i1（ t） = 5 sin（ 70 t - 45o ） A i2（ t） = 10 sin（ 70 t + 60o ） A 试求： 电压 u（ t）与电流 i1（ t）和 i2（ t）的 相位差并确定其超前滞后关系。 解： 电压 u（ t）与电流 i1（ t）的相位差为 =（ -180o） -（ - 45o ） = -135o 0 所以 u（ t）滞后 i1（ t） 135o 。 电压 u（ t）与电流 i2（ t）的相位差为 = -180o - 60o = -240o 由于规定 | ，所以 u（ t）与 i2（ t）的相位 差应为 = -240o+360o = 120o 0，因此 u（ t）超前 i2（ t） 120o 。 说明： 同频率正弦量的相位差不随时间变化，即与计时起点的选 择无关。在同一电路中有多个同频率正弦量时，彼此间有一定 的相位差。为了分析方便起见，通常将计时起点选得使其中一 个正弦量的初相为零，这个被选初相为零的正弦量称为 参考正 弦量 。其它正弦量的初相就等于它们与参考正弦量的相位差。 同一电路中的正弦量必须以同一瞬间为计时起点才能比较相位 差，因此一个电路中只能选一个正弦量为参考正弦量。这与在 电路中只能选一点为电位参考点是同一道理。 四、正弦量的有效值 有效值的提出： 正弦量的有效值是根据它的 热效应 确定的。以正 弦电压 u（ t）为例，它加在电阻 R两端，如果在一个 周期 T内产生的热量与一个直流电压 U加在同一电阻上 产生的热量相同，则定义该直流电压值为正弦电压 u （ t）的有效值。用大写字母 “ U”表示。 有效值的定义式： T ttuTU 0 2 d)(1 正弦量的有效值： m m 0 2 7 0 70 2 d)(1 UUttuTU T m m 0 2 7 0 70 2 d)(1I IItti T T 表明： 振幅为 1 V的正弦电压（或振幅为 1 A的正弦电 流），在电路中转换能量方面的实际效果与 0.707 V 的直流电压（或 0.707 A的直流电流）的效果相当。 有效值的用途： 常用的交流仪表所指示的数字均为有效值。交流 电机和交流电器铭牌上标的电压或电流也都是有效值。 当交流电压表测量出电网电压的读数值（有效值）为 220V时，用峰值电压表测出的读数值应为 Um = 311 V。 交流电路中使用电容器、二极管或交流电器设备 时，电容器的耐压、二极管的反向击穿电压、交流设 备的绝缘耐压等级等，都要根据交流电压的最大值来 考虑。 8.2 正弦量的相量表示 一、相量表示法的提出 前面学过的解析式（三角函数表示法）和正弦量 的波形图（正弦曲线表示法）都不便于分析计算正弦 电路。为了解决这个问题，引入了正弦量的第三种表 示方法 相量表示法。 二、相量表示法采用的形式 相量表示法，实际上采用的是 复数 表示形式。 三、相量表示方法 模等于正弦量的有效值（或振幅），幅角等于 正弦量的初相的复数，称为该正弦量的相量。相量 用该正弦量的符号上加一圆点 “ ”来表示，说明它 是时间的函数，以便与一般复数相区别。 振幅相量 相量的模为正弦量的振幅，称振幅相量，以 、 等表示。其振幅相量表达式为 m I m U mjmm e III mjmm e UUU 有效值相量 相量的模为正弦量的有效值，称有效值相量， 以 、 等表示。其有效值相量表达式为 I U III je UUU je 四、相量分析法 同频率的正弦量的相量能相互运算，后面关于正 弦电路的分析都是采用的相量分析法。所谓 相量分析 法 ，就是将电路中的电 22压、电流先表示成相量形式， 然后用相量形式进行运算的方法。由前面分析可知， 相量分析法实际上利用了复数的四则运算。 五、相量图 和复数一样，正弦量的相量也可以用复平面上一 条带方向的线段（复矢量）来表示。我们把画在同一 复平面上表示正弦量相量的图称为 相量图 。只有同频 率的正弦量，其相量图才能画在同一复平面上。 【 例 16-2】 写出下列各正弦量的相量形式，并画出相量图。 u1（ t） = 10sin（ 100t + 60 o ） V u2（ t） = -6sin（ 100t + 135 o ） V u3（ t） = 5cos（ 100t + 60 o ） V 解： V6007.760210 01 U u2（ t） = -6sin（ 100t + 135 o ） = 6sin（ 100t + 135 o 180o） = 6sin（ 100t - 45o ） V 所以可得 V452444526 o2 U 先将 u2（ t）的解析式整理如下： 将 u3（ t）的解析式整理如下： u3（ t） = 5cos（ 100t + 60 o） = 5sin（ 100t + 60 o + 90o） = 5sin（ 100t + 150 o ） V 所以得到 V1 5 05331 2 025 o3 U 其相量图如 右图所示。 本讲小结 1、正弦交流电的大小和方向随时间不断变化， 即存在瞬时值，反映瞬时值随时间变化规律的式子叫 做正弦电的瞬时值表达式，也称解析式。正弦量有三 个要素，振幅、角频率和初相。 2、两个同频率正弦量的相位之差称相位差，通常 用相位差来描述两同频率正弦量的位置关系。 3、为便于正弦电路的计算，引入正弦量的相量表 示法。相量表示法实际上是用一个复数去表示该正弦 量，但复数本身并不等于正弦量。相量图是将同频率 正弦量画在同一复平面内的图形。 本讲作业 1、复习本讲内容； 2、预习下一讲内容 正弦电路的相量分析法； 3、书面作业：习题 8-1， 8-2， 8-4， 8-5。