正弦级数和余弦级数

1 奇函数和偶函数的傅里叶级数 4.9 正弦级数和余弦级数 设 )( xf 是周期为 2 的函数，在 , 上可积， （ 1 ） 为奇函数若 )( xf ， ),2,1,0(0 na n则 ),2,1(ds i n)(2 0 nxnxxfb n )( xf nxb n n s i n 1 ， 是 正弦级数 . （ 2 ） 为偶函数若 )( xf ， ),2,1,0(dc o s)(2 0 nxnxxfa n 则 ),2,1(0 nb n )( xf nxa a n n c o s2 1 0 ，是 余弦级数 . 例 1. 已 知 电压 )( tu 与 时间 t 的 关系 为 2s i n)( ttu , 将 )( tu 展开成 傅里叶级数 . 0 )21s i n ()21 s i n (1 dttntn u to 22 3 4 1 解 ： )( tu 满足狄氏条件， ),()( Ctu ( 如图 ) ， )( tu 的傅里叶级数处处收敛于 )( tu . )( tu 是周期为 2 的偶函数， ).,2,1(0 nb n 而 00 c o s2s i n2c o s)(2 n t d ttn t d ttua n 2 1 1 2 1 1 1 2 1 ) 2 1 c o s ( 2 1 ) 2 1 c o s ( 1 0 nnn tn n tn ),2 ,1 ,0( )14( 4 2 nn 2 函数展开成正弦级数或余弦级数 设 )( xf 在 ,0 上满足收敛定理的条件， )c o s 14 12c o s 15 1 c o s 3 1 2 1(4)( 2 ntntttu 故 )( t 1 将 )( xf 在 ,0 上展开成正弦级数 则 )( xF 是 ),( 上的奇函数，称为 )( xf 的 奇式延拓 . 将 )( xF 在 ,( 上展开成正弦级数，再将 x 限 制在 ,0( 上，便得 )( xf 的正弦级数展开式，其中 ).0 ,( ),( 0, , 0 ,( 0, ),( )( xxf x xxf xF令 ),2,1,0( 0 na n ).,2,1(ds i n)(2ds i n)(2 00 nxnxxfxnxxFb n 2 将 )( xf 在 ,0 上展开成余弦级数 令 ).0 , , )( , 0 , , )( )( xxf xxf xF 将 )( xF 在 , 上展开成余弦级数，再将 x 限 制在 ,0 上，便得 )( xf 的余弦级数展开式，其中 则 )( xF 是 , 上的偶函数，称为 )( xf 的 偶式延拓 . ),2,1,0(dc o s)(2dc o s)(2 00 nxnxxfxnxxFa n ),2,1(0 nb n 注 ：（ 1 ）具体计算 na 和 nb 时，只用到 nxxf c o s)( 和 nxxf s i n)( 在 ,0 上的积分，故不必写出延拓 函数 )( xF . （ 2 ）若 )( xf 作 奇式延拓 ，则其 傅里叶级数在 0 x 和 x 处 ， 都收敛到 0 ；若 )( xf 作 偶式延拓 ，则其 傅里叶级数在 0 x 处收敛到 ) 00 ( f ， 在 x 处 收敛到 )0( f . 例 2 将函数 1)( xxf （ x0 ）分别展开成正弦 级 数和余弦级数 . 解 ：（ 1 ） 求正弦级数 ， 作奇式延拓将 )( xf ，再作 周期延拓，则 ),2,1 ,0( 0 na n 00 ds i n)1(2ds i n)(2 xnxxxnxxfb n 0 )( c o sd)1(2 nxxn 0 dc os0c os)1(2 xnxnxxn 1)1)(1(2 nn )1()1(12 nnn ). ,6 ,4 ,2( , 2 ), ,5 ,3 ,1( )2(2 n n n n 当 0 x 和 x 时，级数收敛于 0 ，它不代表原来函 数 )( xf 的值 . ).0( 4s i n 4 3s i n)2( 3 12s i n 2 s i n)2( 21 x xxxxx 故 y xo 的图象)( xf y xo 的图象)( xF y xo 的图象)( xS （ 2 ） 求余弦级数 ， 作偶式延拓将 )( xf ，则 ) ,3 ,2 ,1( 0 nb n ， 2d)1(2 00 xxa ， 00 dc o s)1(2dc o s)(2 xnxxxnxxfa n )( s i nd)1(2 0 nxxn 0 ds i n0s i n)1(2 xnxnxxn 0c os2 2 nxn ). ,6 ,4 ,2( 0 ), ,5 ,3 ,1( 4 1)1( 2 2 2 n n n n n .)( 的图象xS y xo .)( 的图象xF y xo ).0( )5c o s 5 13c o s 3 1(c o s4 1 21 22 xxxxx 故 设周期为 上在的函数 , )( 2 llxfl 满足狄氏条件， 令 l xt ，则 tlx ， lxl 变为 t ， )() ()( tFtlfxf ， 则 )( tF 以 2 为周期，在 , 上 )( tF 的傅里叶系数为 4.10 以 2l 为周期的函数的傅里叶级数 ,d)(1d)(10 l l xxflttFa ,dc o s)(1dc o s)(1 l ln xl xnxfltnttFa .ds i n)(1ds i n)(1 l ln xl xnxfltnttFb ),s i nc o s( 2 )( 1 0 ntbntaaxF nn n ).s i nc o s( 2 )( 1 0 l xnb l xnaaxf nn n 从而 若 )( xf 为奇函数，则 )( xf l xn b n n s i n 1 ， 其中 ),2,1(ds i n)( 2 0 nx l xn xf l b l n ； 若 )( xf 为偶函数，则 )( xf l xn a a n n c o s 2 1 0 ， 其中 ),2,1,0(dc o s)( 2 0 nx l xn xf l a l n . 定理 设周期为 l2 的函数 )( xf 在 , ll 上满足狄氏条件， . , 2 )0()0( ,)( , 2 )0()0( ,)( ),( )s i nc o s( 2 )( 1 0 lx lflf xfx xfxf xfxxf l xn b l xn a a xf nn n 的第一类间断点为 的连续点为 的傅里叶级数则 其中 ),2,1,0(dc o s)(1 nxl xnxfla l ln ， ),2,1(ds i n)(1 nxl xnxflb l ln . 对于定义在 , ll 上的函数，可以通过周期 延拓 得到周期为 l2 的傅里叶级数 . 对于定义在 ,0 l 上的 函 数，同样可以通过奇式延拓或偶式 延拓得到周期 为 l2 的正弦级数 或余弦级数 . 例 3 将以 4 为周期的函数 2.0 ,1 ,02 ,0)( x xxf 展开成傅里叶级数 . 202 2 d2s i n21d2s i n)(21 xxnxxnxfb n 202 c o s1 xn , . ) ,6 ,4 ,2( ,0 ) ,5 ,3 ,1( 2 n n n )1(11 nn 解 ：周期为 4 ， 2l . 2 2 d2c o s)(21 xxnxfa n ,1d21d)(21 202 20 xxxfa ,02 s i n1d2c o s21 220 0 xnnxxn 故当 )2,0()0,2( x 时， ) 2 5 s i n 5 1 2 3 s i n 3 1 2 ( s i n 2 2 1 )( xxx xf ； 当 0 x ， 2x 时，级数收敛于 21 . y .)( 的图象xf 22 xo 446 .)( 的图象xS 22 xo 446 y 例 4 设 .1 2 1 ,22 , 2 1 0 , )( xx xx xf )( c o s 2 )( 1 0 xxna a xS n n ， 其中 ),2,1,0(dc o s)(2 1 0 nxxnxfa n ， 求 ).25 ( S ).21( )2 21 ()25()25 ( SSSS 又 21 x 是 )( xf 的第一类间断点， )21()25( SS 解 ： )( xS 是余弦级数，它由 )( xf 先作偶式延拓，再作 周期 延拓展开而产生， 因此 )( xS 是 周期为 2 的 偶 函数 ， .43 )121(21)021()0 21(21 ff )( xf 是偶函数， 例 5 将 )11(2)( xxxf 展开成以 2 为周期的傅里 叶级数，并求 1 2 1 n n 的和 . 解 ：将 )( xf 作 周期延拓 . ),2,1(0 nb n . 101010 dc o s2dc o s4dc o s)2(2 xxnxxxnxxnxa n ds i ns i n2)( s i nd2 101010 xxnxnxnxnxn ,5d)2(2 100 xxa 1)1(2c os2 22122 0 n n xn n ) . .,6 ,4 ,2( 0 ), ,5 ,3 ,1( 4 22 n n n xnnxxf n )12c o s ()12( 14252)( 1 22 )11( x . 8 1 4 3 2 1 2 n n 1 2 1 2 1 2 )2( 1 )12( 11 nnn nnn 又 ,1 4 1 8 1 2 2 n n , 8)12( 1 2 1 2 n n 1 22 )12( 14 2 52 , 0 n n x 得时当 .61 2 1 2 n n 作 业 习 题 4.4（ P77） 3 (4) ; 4 (3) (4); 5 (2) (3).