控制工程基础-第五章

2021年 4月 11日 1时 2分 1 第五章 线性系统的根轨迹法 5.1 根轨迹的基本概念 5.2 根轨迹的绘制规则 5.3 广义根轨迹 5.4 零度根轨迹 5.5 系统性能分析 2021年 4月 11日 1时 2分 2 本章重点 根轨迹的概念、幅值条件、 相角条件 根轨迹的基本绘制规则 等效传递函数的概念 根轨迹的简单应用 2021年 4月 11日 1时 2分 3 一、一个例子 5.1 根轨迹的基本概念 一单位负反馈系统的开环传递函数为： ( 2 )gk kGs ss 试分析该系统的特征方程的根随系统参数 的变化在 S平面 上的分布情况。 g k 例 5-1 系统的闭环特征方程： 2 20 gs s k 特征方程的根是： 1 , 2 11 gsk 设 的变化范围是 0, gk 解 2021年 4月 11日 1时 2分 4 当 时 , 0gk 120 , 2ss 当 时 , 与 为不相等的两个负实根； 01gk 1s 2s 当 时， 为等实根； 1gk 12 1ss 该系统特征方程 的根，随开环系 统参数 k从 0变到 时，在 S平面 上变化的轨迹如 图所示。 1P 2P 0gk0gk 1gk gK gK j S 当 时， 共轭复根。 1gk 1 , 2 11gs j k 性能 2021年 4月 11日 1时 2分 5 二、根轨迹与系统性能 稳定性 当增益 K1由 0 ，根轨迹不会越过虚轴进入 s平面右半 边，因此系统对所有的值都是稳定的。如果系统特征方程的根 都位于 s平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。若根 轨迹穿越虚轴进入右半 s平面 ,根轨迹与虚轴交点处的 K值，就是 临界稳定的开环增益。 稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，所以属 型系统 , 因而根轨迹上的 K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的 稳态误差要求，则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。 动态性能 当 时 , 所有闭环极点均位于实轴上 ,系统为 过 阻尼 系统，其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。 当 时，特征方程的两个相等负实根，系统为 临界阻尼 系统，单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。 当 时，特征方程为一对共轭复根系统为 欠阻尼系统 ， 单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随 值的 增加而加大，但调节时间不会有显著变化。 10 gk 1gk 1gk gK 2021年 4月 11日 1时 2分 6 设系统的开环传递函数为 : gk 为 根轨迹增益 (或 根轨迹的放大系数 ) 三、根轨迹的概念 ()()gk k N sGs Ds 其中 : 1 ( ) ( ),n j j N s s z 1 ( ) ( )n j j D s s p 可得到系统的闭环特征方程式为 : 1 0 1 0kg NsG s k Ds 即： 1 1 ()( ) 1 () () n i i n g j j szNs D s k sp 开环的零点 iz 开环的极点 ip 2021年 4月 11日 1时 2分 7 根轨迹图 是闭环系统特征方程的根 （ 闭环极点 ） 随开环系 统某一参数由 0变化到 时在 S平面上留下的轨迹 。 由此可得到满足系统闭环特征方程的幅值条件和相角条件为： 幅值条件 : 11 11 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) nn ii ii nn g jj jj s z s z k s p s p 相角条件 : 11 ( ) ( ) ( 1 2 ) , 0 , 1 , 2 , 3 . . . . mn ii ij s z s p k k 2021年 4月 11日 1时 2分 8 我们可以把系统的闭环特征方程的根描述成 : 凡是满足幅值条件和相角条件的 s值称为特征方程 的根 即闭环极点。 注： 因为 变化，因此不论什么 s值 ,总有一个 存在 ,使幅值条件得到满足 ,所以 ,实际上只要满足 相角条件的 s值就是闭环极点 ,而由此 s值 ,再由幅值条 件可确定此时系统对应的 值。 gK 0从gK gK 2021年 4月 11日 1时 2分 9 规则一 根轨迹的起点 此时系统的闭环极点与开环极点相同 (重合 )，把 开环极点 称为根轨迹的起点 。 5.2 根轨迹的绘制规则 当 ,必有 由根轨迹的幅 值条件可知： 1 1 1 m j j n g i i sz ksp is ( i 1 , 2 , , n )p 0gk 通常，我们称以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹为 普通根轨迹（或 180 根轨迹 ），简称根轨迹。 2021年 4月 11日 1时 2分 10 规则二 根轨迹的终点 由根轨迹的幅 值条件可知： 结论： 根轨迹起始于开环极点 ，终止于开环 零点 。 ( 0)gk ()gk 1 1 1 m j j n g i i sz ksp 当 时，必有 此时，系统的闭环极点与开环零点相同（重合），我们把 开环零点称为根轨迹的终点 。 ( 1 , 2 , , )js z j m gk 如果开环极点数 n大于开环零点数 m,则有 n-m条根轨迹终止 于 S平面的无穷远处 (无限零点 )，如果开环零点数 m大于开环 极点数 n，则有 m-n 条根轨迹起始于 S平面的无穷远处。 2021年 4月 11日 1时 2分 11 规则三 根轨迹的分支数、连续性和对称性 根轨迹的分支数即根轨迹的条数。根轨迹是描述闭环系统特 征方程的根（即闭环极点） 在 s平面上的分布，那么，根轨迹 的分支数就应等于系统特征方程的阶数。 由 例 5-1 看出，系统开环根轨迹增益 （实变量）与复变量 s有一一对应的关系。 gk 当 由 0到 连续变化时，描述系统特征方程根的复变量 s 在平面上的变化也是连续的，因此 ,根轨迹是 n条 连续 的曲线。 gk 由于实际的物理系统的参数都是实数 ,如果它的特征方程有复 数根的一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是 对称 于实轴 的。 结论： 根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。 根轨 迹是连续且对称于 实轴 的曲线。 2021年 4月 11日 1时 2分 12 规则四 实轴上的根轨迹 实轴上的根轨迹由相角条件可证 :设某段右侧的零 ,极点数分 别为： 则 : 即 右侧开环零 ,极点数的和为奇数时 ,该段为根轨迹 。 ,zpNN 11 ( 1 2 )mn i j z p ij N N k 2021年 4月 11日 1时 2分 13 规则五 渐近线 当开环极点数 n大于开环零点数 m时 , 系统有 n-m条根轨 迹终止于 S平面的无穷远处 ， 这 n-m条根轨迹变化趋向的直线 叫做根轨迹的渐近线 ， 因此渐近线也有 n-m条 , 且它们交于实 轴上的一点 。 渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向的交角 分别为 : 11 nm ij ij PZ nm 21 , 0 , 1 , 2 , , 1k k n m nm 2021年 4月 11日 1时 2分 14 已知系统的开环传递函数 ,试画出该系统根轨迹的渐近线。 2 ( 2 )( 1 ) ( 4 )gk ksGs s s s 例 5-2 1渐近线： 系统有 n=4,m=1,n-m=3 三条渐近线与实轴交点位置为： 1 3 241 解 实轴正方向的交角分别是 0)(k603 1)(k1 8 0 2)(k6035 渐近线如图所示。 -4 -3 -2 -1 0 j 0300 0180 060 060B C A 2021年 4月 11日 1时 2分 15 2021年 4月 11日 1时 2分 16 规则六 根轨迹的分离点、会（汇）合点 根轨迹在 s平面上相遇，表明系统有相同的根。即在分离点 和会合点处必有闭环特征重根 ,令闭环特征方程为 : 12( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0g d nF s k N s D s s s s s 如果令 12 1 12 () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 dn dn dF s ds s s s ds ds s s s s 即可求得 () 0dF s ds 分 离 点 1K 1K 01 K01 K1K 会 合 点 01 K 01 K 2021年 4月 11日 1时 2分 17 故在重根处有 : ( ( ) ( ) ) () ( ) ( ) 0g g d k N s D sd F s k N s D s d s d s 因为： 所以： () ()g Dsk Ns () ( ) ( ) 0 () Ds N s D s Ns 即： 2 ( ) ( ) ( ) ( ) () gdk D s N s D s N s d s N s 分离点 /会合点 : 和 () 0dF sds 0gdkds 以上分析没有考虑 (且为实数 )的约束条件，所以 只有满足 的这些解，才是真正的分离点（或会合 点）。 0gk 0gk 2021年 4月 11日 1时 2分 18 事实上，分离点还可由下式确定 因为 即 其中 即 所以 - 11 11mn ijijs z s p ( ) ( ) ( ) ( ) N s D s N s D s l n ( ) l n ( ) ddN s D s d s d s 12 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m n N s s z s z s z D s s p s p s p 12 12 1 1 1 l n ( ) 1 1 1 l n ( ) m n d Ns ds s z s z s z d Ds ds s p s p s p 11 11mn ijijs z s p ( ) ( ) ( ) ( ) 0D s N s D s N s 2021年 4月 11日 1时 2分 19 的单位负反馈系统的 (180 )根轨迹。 绘制开环系统传函数为 例 5-3 () ( 1 ) ( 2 ) g k kGs s s s 1）此系统无开环零点，有三个开环极点，分别为： 01 p 12 p 23 p2）渐近线： 根据规则可知，系统根轨迹有三条分支，当 分别从 开环极点 出发， 时趋向无穷远处，其渐 近线夹角为： 0gk 1 2 3p p p、 、 gk 解 渐近线与实轴的交点为 0021 60 , 180 nm 0, 1, 2, , n m 1 k k 11 1 nm ij ij PZ nm 2021年 4月 11日 1时 2分 20 由上式可求 上式的根为 求分离点： 分离点必位于 0至 -1之间的线段上， 故 为分离点 d的坐标。 1 0.4 2 3s 1 2 0 .4 2 3 1.5 7 7 s s 23 6 2gdk ssds 3232 gk s s s j S 012 2021年 4月 11日 1时 2分 21 2021年 4月 11日 1时 2分 22 规则七、根轨迹的出射角和入射角 由相角条件可直接得到 11 ( 1 2 )mnij ij k 出射角 : 1 1 , mn iji j j k 入射角： 1 , 1 mn iji i k j Re Im 01 s 1p *2p3p 2p 13 A 1 1z 2 2021年 4月 11日 1时 2分 23 规则八 根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根 （实部为零）。 (1) 用 代入特征方程可得 js ( ) ( ) | 0g s jk N s D s 令此方程中虚部为零，即可求得 根轨迹与虚轴的交点处 的频率为 。用 代入实部方程，即可求出系统开环根 轨迹临界值 。 ck (2) 利用 劳斯表 求取。 将劳斯表中 s2行系数构造的辅助方 程求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯表 中大于 2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。 2021年 4月 11日 1时 2分 24 规则九、根轨迹的走向 当 n-m2 满足时，随着 Kg增加，一些根轨迹分支向左 方移动，则另一些根轨迹分支将向右方移动。 开环传递函数： 特征方程 ： 当满足 n-m2 时，上式 sn-1项将没有同次项可以合并，通 常把 称为极点的 “ 重心 ” 。 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) gm n k s z s zG s H s s p s p 1 11 1 11 () mm mm g i m ii nn nn jj jj k s z s z s p s p 1 11 1 ( ) ( ) nnnn jj jj G s H s s p s p 1 11 mmmm g g i g miik s k z s k z 1 / n i j pn 2021年 4月 11日 1时 2分 25 当 Kg变化时，极点的重心保持 不变。所以，为了平衡 “ 重心 ” 的位置，当一部分根轨迹随着的 增加向左方移动时，另一部分根 轨迹将向右方移动。 例 * 234 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )KG s H s s s p s p s p ReIm01p2p3p4p 2021年 4月 11日 1时 2分 26 规则十、 根轨迹上 kg值的计算 根轨迹上任一点 S1处的 kg可由 幅值条件 来确定。即 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) n g m s p s pk G s H s s z s z 所引向量长度的乘积零点至 所引向量长度的乘积极点至 1111 1111 s)s(H)s(G s)s(H)s(G 2021年 4月 11日 1时 2分 27 绘制根轨迹图的法则 序号 内 容 规 则 1 起点终 点 起始于开环极点（含无限极点），终止于开环零点（含无限零 点）。 2 分支数、 对称性、 连续性 分支数等于开环传递函数的极点数 n（ n m）， 或开环传递函数的零点数 m（ m n）。 对称于实轴且具有连续性。 3 渐近线 n m条渐近线相交于实轴上的同一点： 坐标为： 倾角为： 4 实轴上 的分布 实轴的某一区间内存在根轨迹，则其右边开环传递函数的零点、 极点数之和必为奇数 11 nm ij ij a pz nm 1 8 0 ( 2 1 ) 0 , 1 , 2 , , 1 a k nm k n m 2021年 4月 11日 1时 2分 28 序 号 内容 规 则 5 分离 （会回 合）点 实轴上的分离（会合）点 （必要条件） 6 出射角 入射角 复极点处的出射角： 复零点处的入射角： 7 虚轴交 点 （ 1）满足特征方程 的 值； （ 2）由劳斯阵列求得（及 kg相应的值）； 8 走向 当 时 ， 一些轨迹向右，则另一些将向左。 9 kg计算 根轨迹上任一点处的 kg： 11 ( ) ( ) 00gdkd G s H sd s d s或 11 1 8 0 ( 2 1 ) mna i j ij ja k 11 1 8 0 ( 2 1 ) nmb j i ji ib k 2, gn m k 0)()(1 jHjG j 1 1 1 1 1 ( ) ( )g sk G s H s s 开 环 极 点 至 向 量 长 度 的 乘 积 开 环 零 点 至 向 量 长 度 的 乘 积 2021年 4月 11日 1时 2分 29 系统开环传递函数为 试绘制根轨迹图 解：开环极点： 0、 -3、 -1+j、 -1-j 开环零点： -2， 3个无限零点 (1)渐近线：应有 n-m=4 -1=3条渐近线，渐近线的倾角： 渐近线与实轴的交点： 2 ( 2 )( ) ( ) ( 3 ) ( 2 2 ) gKsG s H s s s s s 1 8 0 ( 2 1 ) 1 8 0 ( 2 1 ) 6 0 , 1 8 0 3 kk nm 1 2 3 4 1() 0 3 ( 1 ) ( 1 ) 2 1 3 p p p p z jj nm (2) 实轴上的根轨迹： 0 -2， - -3 例 5-4 2021年 4月 11日 1时 2分 30 (3)极点 -p3的出射角 ：不难求得极点 -p1、 -p2、 -p4到 -p3的幅 角分别 、 、 ,有限零点 -z1到 p3的幅角为 所以 同理不难求得极点 -p4处的出射角： (4)根轨迹与虚轴的交点： 方法一：由特征方程求： 特征方程 ： 3 13526.6 90 3 1 8 0 ( 2 1 ) ( 1 3 5 2 6 . 6 9 0 ) 4 5 2 6 . 6k 4 26.6 4 3 25 8 6 ( 2 ) 0gs s s s K s 4 2 3( 8 2 ) ( - 5 ( 6 ) ) 0ggK j K js 45 2021年 4月 11日 1时 2分 31 实部方程： 虚部方程： 解得： 方法二：由劳斯阵列求： 列出劳斯阵列 令 s1行为零，即 得 Kg =7，再根据 行 s2得辅助方程： 428 2 0gK 35 ( 6 ) 0gk 1 2 30 1 . 6 1 1 . 6 1 (舍去 ) 7gK 4 3 2 12 0 1 8 2 56 ( 3 4 ) / 5 2 ( 2 0 4 2 2 ) /( 3 4 ) 2 g g gg g g g g sK s K K s K K K sK 234 20 5 g g K sK 1.61 2( 2 0 4 2 2 ) 0ggKK 2021年 4月 11日 1时 2分 32 S 0 j -3 -2 -2 -1+j -1-j 2021年 4月 11日 1时 2分 33 2021年 4月 11日 1时 2分 34 例 5-5 35() ( 3 ) ( 1 ) g k ksGs s s T s ,绘制以 T为参数的根轨迹。 1gk 设某系统的开环传递函数为： 5.3 广义根轨迹 前面介绍的根轨迹绘制法则 ,只适用于以放大系数 为参量 的情况 ,如果变化参数为其它参数情况将如何处理？ gk 解 根据根轨迹的定义 ,根轨迹是闭环极点随某个参量变化在 s 平面上留下的轨迹 ,故根轨迹上的点满足闭环特征方程 ： 35 10 ( 3 ) ( 1 ) s s s T s 2021年 4月 11日 1时 2分 35 是一样的 ,我们 将具有相同闭环特征方程的开环传递函数 称为 相互等效的开环传递函数 （简称为 等效传递函数 ）。 2 2 ( 3 )( ) 65k Ts sGs ss ( 3 5 )() ( 3 ) ( 1 ) g k ksGs s s T s 具有相同的闭环特征方程 ,则随 t从 变化 ,其根轨迹 0 总有一种等效开环传递函数 ,可将变化参数位于放大系数 的位置 .这时就可利用前面的规则了。 gk 2021年 4月 11日 1时 2分 36 解 (4) 为使系统对速度输入的稳态误差为零 ,加怎样的环 节可使系统稳定。 绘制 的根轨迹，确定 : 例 5-6 (3) 在该系统中增加一个怎样的环节 ,可使系统不论 怎样变化都稳定。 gk (1) 为何值系统非振荡稳定 ,振荡稳定 ,不稳定 ? (2) 求使系统具有 时的 值。 gk gk c o s 0 .7 0 7 () ( 1 ) ( 5 )gk kGs s s s (1) 分离点 : 23 1 2 5 0gdk ss ds 72 0 . 4 8 , 3 . 5 23s 舍 渐近线 : ( 2 1 ) 1 , , 23knm 2021年 4月 11日 1时 2分 37 与虚轴交点 : 32( ) 6 ( ) 5 0gj j j k 5 30 gk 分离点处 的值 gk 0 . 4 8( 1 ) ( 5 ) | 1 . 1 2 8gsk s s s 由此可见 : 1 .1 2 8 3 0gk 振荡稳定 无振荡稳定 0 1 .1 2 8gk 临界稳定 30gk 不稳定 30gk (2)在 时 ,极点为 : 代入闭环特征方程 : 解得 :s=-0.45+j0.45, 0.7 07 sj 32 6 5 | 0g s js s s k 2.07gk 2021年 4月 11日 1时 2分 38 (一般 a0,d0为好 ,是最小相 位系统 ) (4)如果使系统速度输入误差为零 , 则系统应是 II型的 ,那么从开环零 ,极 点分布图上可见 :应该附加两个零 点 , 系统才可能完全稳定下来。渐 近线 : 0 , 6ad (3)增加一零点 (s+a)有可能使系统完全稳定 ,此时渐近线 : ( 2 1 ) 1 2 k nm 0 6a 否则 ,在 时 ,根轨迹有可能与纵轴相交。 6a j S 0125 j S 0125 2021年 4月 11日 1时 2分 39 解 开环传递函数为： 绘制根轨迹 , 并证明有一段根轨迹为圆（ a,p为实数 )。 例 5-7 ()() () g k k s aGs s s p 0( ( ) ) 1 8 0 ( )s s p s a 根据相角条件可知： 0( ( ) ( ) ( 1 8 0 ( ) t g j p j t g a j 令 两边取正切变换： sj 1 p a p 2 2 2() a a a p 22 20a a p 圆心 ， 半径 2a a p(- , 0)a 2021年 4月 11日 1时 2分 40 下面验证半径是零点到分离点或汇合点的距离： 分离点：由 ，得 0gdkds 2 20s a s a p 2 1 , 2s a a a p 22 1( ( ) )s a a ap j S 012 21ap例 ： ， 2021年 4月 11日 1时 2分 41 5.4 零度根轨迹 如果系统的开环传递函数的放大系数 为负 , gk 的相角条件 ,此根轨迹称为 根轨迹。 前面讨论的根轨迹均是满足 () 11 12mn jj ij s z s p k 180 设开环传递函数为： 1 1 () () () m gi i k n j j k s z Gs sp 其闭环特征方程为 : 1 1 () 10 () m gi i n j j k s z sp 对应的即是零度 根轨迹。 (0 ) 相角条件为 : 11 2mn jj ij s z s p k 2021年 4月 11日 1时 2分 42 在绘制 根轨迹时，只需在 根轨迹的画法规则中， 与相角条件有关的规则作相应的修改。 0 180 规则三 实轴上的根轨迹 实轴上，若某线段右侧的开环实数零、极点个数之和为 偶 数 ，则此线段为根轨迹的一部分。 规则四 渐近线 渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向的交角 分 别为： 11 nm ij ij PZ nm 2 , 0, 1, 2, , n m 1nmk k 2021年 4月 11日 1时 2分 43 规则六、根轨迹的出射角和入射角 入射角： 由相角条件可直接得到 : 11 2mnij ij k 出射角 : 1 , 1 , mn k i ji j j k 1 , 1 mn k i ji i k j 2021年 4月 11日 1时 2分 44 由修改后的规则三知 ， 实轴上的根轨迹是由 0至 + 线段和由 -1至 -2线段 。 由修改后的规则四知 ， 渐近线与实轴正方向的夹角分 别是 : 0 (k = 0)、 120 (k = 1)、 -120 (k = 2)。 渐近线与实轴的交点为 -1。 已知 正反馈 系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。 )2)(1( )()( sss KsHsG r 例 5-8 解 2021年 4月 11日 1时 2分 45 由规则五求出的极值方程的解有 两个 ， 即 ， ， 由于是正反馈 ， 实轴上的根轨迹改 变了 。 因为 不在实轴根 轨迹上 ， 舍去 。 可见 ， 虽然规则五 没改变 ， 但在确定分离点时应考虑 规则三变化 。 58.12 42.01 2 0 .4 2 s s w j 1 ) 0 ( P K r = r K 0 120 - 120 -1 r K r K 3 ) 0 ( P K r = ) 0 ( 2 = r K P -2 2 a 根轨迹如图所示。可看出，有一 条从起点到终点全部位于 S平面右半 部的根轨迹，这意味着无论 Kr为何 值，系统都存在 S平面右半部的闭环 极点，表明 系统总是不稳定的 。 在 开环传递函数相同的情况下，负反 馈系统的稳定性比正反馈系统好。 2021年 4月 11日 1时 2分 46 5.5 系统性能分析 一、闭环主导极点的概念 在工程实际中，常常用主导极点的概念对系统进行分析，这 样可使系统分析简化。下面研究闭环传递函数的系统。 闭环主导极点 指的是闭环极点中离虚轴最近，而附近有无其 它闭环零、极点或闭环偶极子的实数或共轭复数极点。 闭环偶极子 是一对彼此相近的闭环零点和闭环极点，偶极 点若不十分靠近坐标原点，即可以认为零点和极点的影响彼 此相消。 闭环的极点和零点 对闭环系统的响应都有影响，但它们影 响程度是不一样的，对闭环响应影响最大的是主极点。 2021年 4月 11日 1时 2分 47 二、增加开环零点对根轨迹的影响 从下面的例子中，可看到附加开环零点对根轨迹的影响。 解 已知系统的开环传递函数为： 试用根轨迹法分析系统的稳定性。如果给该系统增加一 个开环零点，试分析附加开环零点对根轨迹的影响。 例 5-9 2() () g k kGs s s a 原系统的根轨迹有两条根轨迹分支完全位于 S平面的 右半部，故该系统无论 为何值都是不稳定的。 gk 2021年 4月 11日 1时 2分 48 当 b a时 ， 根轨迹的渐近线与实轴的交点为 ， 与原系统相比较 ， 虽然根轨迹的形状发生了变化 ， 但仍有两 条根轨迹全部位于 S平面右半部 ， 系统仍然是不稳定的 。 02 ba 如果给原系统增加一个负开环实零点 （ b 0）， 则开环传递函数为 : bz 1 2 ()() () g k k s bGs s s a 当 b a时 ， 根轨迹的渐近线与实轴的交点为 ， 它们与实轴正方向的夹角分别为 90 和 -90 ， 三条根轨迹均 在 S平面左半部 。 这时无论开环根轨迹增益 Kr为何值 ， 系统都 是稳定的 。 02 ba 分析可知， 附加开环零点能使不稳定的系统变为稳定系统， 但附加零点的取值要适当，否则便达不到预期的目的 。 2021年 4月 11日 1时 2分 49 a j 0 原系统的根轨迹 附加零点的根轨迹 S j b 0a S j b 0a 2021年 4月 11日 1时 2分 50 本章小结 根轨迹的有关概念 幅值条件；相角条件；等效传递函数； 根轨迹； 根轨迹 根轨迹的绘制 根轨迹的绘制、 根轨迹的绘制 根轨迹的应用 判定稳定性；确定系统稳定的参数取值 范围；确定系统振荡稳定、非振荡稳定的 参数取值范围；附加零极点对系统的影 响 0180 00 0180 00