极限存在准则、两个重要极限

第一章 函数与极限 极限存在准则 两个重要极限 上页 下页 返回 结束 第七节 极限存在准则 两个重要极限 1.夹逼准则 上页 下页 返回 结束 准则 如果数列 n n y x , 及 n z 满足条件 : , lim , lim ) 2 ( ) 3 , 2 , 1 ( ) 1 ( a z a y n z x y n n n n n n n = = = L 则数列 n x 的极限存在 , 且 a x n n = lim . 上述夹逼准则适用于全部六种函数极限 . 例如 准则 时 , 0( , ) ( ) ( ) ( ) ,xx g x f x h x 00 ( 2) l i m ( ) l i m ( )x x x xg x h x A = 0 lim ( )xx f x A = (1)设当 则 一、极限存在准则 例 1. 求 极 限 2 2 2 1 1 1li m ( ) . 12n n n n n 解 : 2 1 ni 2limn n nn = ,1= ,1= 由夹逼定理得 .1)12111(lim 222 = nnnnn L 上页 下页 返回 结束 (1 )in 2 1 nn 2 1 , 1n 22 11 1n n n 2 n nn 2 ,1 n n 1 lim 11n n 2lim 1n n n = 2 1 lim 11n n 由准则 可得： 0lim c o s 1x x = cos 0= 例 2. 求 极 限 1lim ( 1 2 3 ) .xx x x 解 : 由夹逼定理得 上页 下页 返回 结束 1 ( 1 2 3 )xx x 1 ( 3 3 ) ,x x 即 1( 1 2 3 )xx x 13 3 ,x3 1 (3 )x x 1 lim 3 3 x x 3,= 1 lim ( 1 2 3 ) 3xx x x = 又 2. 单调有界准则 准则 单调有界数列必有极限 . 几何解释 : xM 1x 2x 3x 1nxnx A 数列 单调增加 有上界 例 3.证明数列 证明 : 的极限存在 . 23 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1n nx = 上页 下页 返回 结束 1nx = 2 3 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1nn nx= 1 1 21n ,nx 单 调 增 加 ,nx 即对任意的 n ,有 1nnxx nx0 23 1 1 1 1 2 2 2 2 n = 11 2 11(1 ) 22n 11 2 n= 即对任意的 n ,有 1 01nx 有 界 , nx 由准则 可知 ,此数列极限存在 . 0 s inlim 1 x x x = 上页 下页 返回 结束 第一个重要极限 x xy si n=二、 两个重要极限 解 : 0 ta nlim x x x 0 s inlim x x x= 0 s inlim x x x= 0 1lim c o sx x 1= 例 4. 求 所以 0 tanl i m 1 x x x = 1 cos x 例 5. 求 解 : a r c s in ,tx= 则 sin ,xt= 原式 0 lim t = sint t 1,= 令 所以 0 s inlim 1 x a r c x x = 0,x 0,t t sint 0( 0 型） 上页 下页 返回 结束 注 : (1) 第一个重要极限的一般情形 : 其中 l i m ( ) 0 , x = (2) 一般说来，含有三角函数或反三角函数 0 0 型极限， 可用重要极限或其一般形式来求 . 例： sinlim x x x 1= 1 1 s i n l i m 1x x x = s in !lim !n n n 1= 上页 下页 返回 结束 例 6. 求下列极限 : 解 : 上页 下页 返回 结束 1 ( 1 ) n nx n= 1l i m( 1 ) x xx e = 上页 下页 返回 结束 证明要点 : (1)数列 单调增加 , 12 ( 1 ) 3 ,n n 1l i m ( 1 ) n n en = (2)可将此结论推广到函数情形 .即 : 1 l i m ( 1 ) x x ex = 第二个重要极限 注 : (1)设 1 ,t x= 则 1(1 )tt 0limt .e= (2)一般情形 : 1()l i m 1 ( ) , x xe= 其中 l i m ( ) 0 , x = 且有界 : (3)利用重要极限 2求极限的函数特点是： 1 型、 幂指函数 上页 下页 返回 结束 例 7. 计算下列极限 : 解 : 上页 下页 返回 结束 或 注 代表某一表达式 . 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 两个准则 夹逼准则 ; 单调有界原理 . 2. 两个重要极限 注： 对于幂指函数 ()( ) ,vxy u x= 若 00 l i m ( ) 0 , l i m ( )x x x xu x a v x b= = 则 0 ()lim ( ) vx xx ux ba= 0 0 l i m ( ) l i m ( ) xx vx xx ux = 思考与练习 填空题 ( 1 4 ) s i n1 . l i m _ _ _ _ _ ; x x x = 12 . l i m s i n _ _ _ _ ; x x x = 0 13 . l i m s i n _ _ _ _ ; x x x = 14 . l i m ( 1 ) _ _ _ _ ;n n n = 0 1 0 1e 上页 下页 返回 结束