有电介质时的高斯定理

3.5 有电介质时的高斯定理 一 电介质中的场强 E 0E 电介质在外电场中极化，电介质中的电场是极化 和外电场 的矢量和。 电荷产生的附加电场 0 +E E E 电介质中的电场不为零，但显著地被削弱了。 E 0 E + + - - E + + - - 二 电位移 .有电介质时的高斯定理 有介质存在时，电介质的内部或表面上出现极化电 荷，极化电荷也要激发电场。即有介质存在时，增加 了新的场源电荷即极化电荷。但是， 新的场源只改变 原有静电场的大小，不改变静电场的性质 。即对有介 质存在时的静电场，高斯定理和环路定理仍然成立。 1、有介质时的高斯定理 0 0 1 S E d s q q （自由电荷加极化电荷） 而 S q P d s 0 0 1 SS E d s q P d s 00 S E P d s q 引入辅助性矢量 电位移矢量 D 0D E P 0 S D d s q 有电介质存在时的高斯定理 2、讨论 0q D D E求 ， 再 由 求 。 q（ 1）式中不含 ，使计算和讨论得到简化，即可由 （ 2）定义 : 0D E P （普遍适用于各种介质） （用于各向同性介质） 0PE 而 则 0 1DE （用于各向同性介质） DD EE 即 与 方 向 相 同由 和 可 求 ， 大 小得 ， 而 且 成 正 比 。 令比例系数 0 1 称为电介质的绝对 介电常数。 真空中的绝对介电常数 0 000P P E E真 空 而 ， 不 一 定 为 00 真 空 真 空 电介质的相对介电常数 0 1r 由此得 001 rD E E E （对各向同性介质） （ 3） 0 S D d s q q 0q D 上式 说明 对 S面的 通量等于 S内的自由电荷量， 本身与 和 均有关 。 D无关，但 q与 0 0q ， 则 0 S D d s 如果 0q ，只是 的代数 0q D D说明 对 S面的通量为 0，但 不一定为 0； S面内 和自由电荷 q不一定无极化电荷 和为 0。 （ 4） 0 S D d s q 简洁对称，可与真空中的高斯 定理类比。 0 0S qE d s 真空中 00=0P D E P E ， 00 SS D d s E d s q 有介质时的高斯定理是真空中的高斯定理的推广， 也可以说真空是介质的一个特例，真空是特殊的介质。 0 0S qE d s 真空中的高斯定理 例 1： 书 P103例题 1 0q 半径为 R，电荷量为 的金属球埋在绝对介电常量为 E的均匀无限大电介质中，求电介质内的场强 质与金属交界面上的极化电荷面密度。 及电介 解 ： （ 1） 介质中过 P点作半径为 r与金属球同心的 S P 球面 S为高斯面， S上各点的 D 大小相等且沿径向，由高 斯定理得 0 S D d s q 2 04 r D q 00 22 44 qqD D r rr DE由 得 ： 00 2 0 0 4 0 q E rq Er r q E r ， 与 同 向 , 背 离 球 心 ， 与 反 向 , 指 向 球 心 （ 2）在交界面上取一点 B，过 B点作界面的法线单 （ 由介质指向金属 ），则 n单位矢 介 质 q 0 P E + + + + + + + + - - - - R 金 属 r B n 0 BBP n E n 而 0 2 4B qEr R 00 24 q R 又 00 0 1 0 0 0 0 0 02244 qq RR 讨 论 0 （ 1） ，故交界面上 始终反号。 00()q与 （ 2）交界面上的极化电荷总量为 2 0 04q R q 0qq 即 ： 极化电荷绝对值小于自由电荷绝对值 。 （ 3）交界面上的总电荷量为 0 0 r qq q q 总电荷减小到自由电荷的 r 1 倍。 （ 4）把介质换为真空，则场强为 0 2 0 4 q rr 0 2 0 2 0 4 1 4 r q r q r 充满均匀介质时场强减小到无介质时的 1 r 倍 。 例 2（补充） ： 类似于 P104例题 2 ， 12、 ， 平行板电容器两极板面积 S，极板上自由电荷面密度 两极板间充满电介质 求各电介质内的电位移和场强；电容器的电容。 厚度分别为 d1、 d2。 + - 1 2 S 1 S 2 d 1 d 2 E 1 D 1 E 2 D 2 A B 解： （ 1）由对称性知介质中的 ED及 都与板面垂直。 在两介质分界面处作高斯面 S1， S1内自由电荷为零，故有 1 1 1 2 1 0S D ds D S D S 12=DD 作另一高斯面 S2，对 S2有 2 1 2 2 1S D d s D S S D 2212111 EDDED ，由 1 1 0 1 2 2 0 2 r r E E 得 （ 2）正负两极板 A、 B间的电势差为 2 2 1 1 2 2 1 1 2211 dd S qdddEdEVV BA 2 2 1 1 dd S VV q C BA 电容值与电介质的放置次序无关。 也可理解为两电容的串联 12 12 SSC C C dd ， + - 1 2 S 1 S 2 d 1 d 2 E 1 D 1 E 2 D 2 A B 习题： 3.5.1； 3.5.3； 3.5.9