傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明

4.3 傅里叶变换的性质 主要内容 对称性质 线性性质 奇偶虚实性 尺度变换性质 时移特性 频移特性 微分性质 时域积分性质 意义 傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 讨论傅里叶变换的性质，目的在于： 了解特性的内在联系； 用性质求 F()； 了解在通信系统领域中的应用。 )()( Ftf 若 ftF 2则 ftF 2则 一对称性质 1性质 2 意义 tFtF )()( 相同，形状与若 2 , )( 幅度差 形状相同，的频谱函数形状与则 ttftF 为偶函数若 tf jF 1 二线性性质 1性质 2例 )()(,)()( 2211 FtfFtf 若 为常数则 2122112211 ,)()()()( ccFcFctfctfc tu ts g n 2 1 2 1 三奇偶虚实性 由定义 可以得到 )(d)()( j FtetftfF t )(d)(d)()( jj FueuftetftfF ut )()()()( FtfFtf ，则若 证明： )()()()( FtfFtf ，则若 四尺度变换性质 意义 为非零函数则若 aaFaatfFtf ,1),()( (1) 0a1 时域压缩，频域扩展 a倍。 FFtftfa , 1 )3( 说明 说明 说明 3意义 o E 2 F 2 o t 2 t f E o E2 22 F (1) 0a1 时域压缩，频域扩展 a倍。 )()(j)( * FXR 为奇函数为偶函数 XR , )(j)()( XRF 共轭为实函数时当 *, FFtf * , 1 )3( FFFtftfa ),()( Ftf 若 ;)()( 0j0 teFttf 则 )()()( jeFF 若 0)(j0 )()( teFttf 则 五时移特性 0 0 0 t tt 左 右相移 幅度频谱无变化，只影响相位频谱， )()( Ftf 若 a b eaFabatf j1 则 的证明过程仿 t aat 1 时移加尺度变换 )()( Ftf 若 号为常数，注意则 0 0 j 0 j )( )( 0 0 Fetf Fetf t t 2证明 1性质 六 频移特性 teetfetf ttt d)()( jjj 00 F tetf t d)( 0j 0F 3说明 4应用 )( F O O )( 0 F 0 0 )( 0 F 0 0j ,)( 0 右移频域频谱搬移乘时域 tetf 0j ,)( 0 左移频域频谱搬移乘时域 tetf 通信中调制与解调，频分复用。 七微分性质 时域微分性质 频域微分性质 )(j)()()( FtfFtf ，则 ),()( Ftf 若 djd)( Fttf 则 dd)( Ftjtf nnn Ftfjt dd)( 或 nnn Ftft j)( 1时域微分 注意 )(j)()()( FtfFtf ，则 )(j )( Ftf nn 一般情况下 nn tfFF j )(则 ，若已知 )(tfF n :)(j)( FtfF 090j,相位增加 幅度乘 注意 如果 f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里 变换，余下部分再用微分性质。 j 1 t j 1 )(,1t ),s g n ( 2 1 2 1 )()( 2 1t 222 2 u tftftf ttutf Fu 微分 余下部分 直流 2 1 o t tf 1 1 o t tu o t t tftu d d 1 1 ),()( Ftf 若 djd)( Fttf 则 dd)(j Fttf 或 nnn Ftft dd)(j 2频域微分性质 或 nnn Ftft j)( 推广 八时域积分性质 ，则若 Ftf jd00 FfF t 时， j0d00 FFfF t 时， 也可以记作： )( j 1)( F 证明 atfF atfF aFaatfF 1 综合上述两种情况 teatfatfF tdj因为 xataxtatxa d1d,0 ，令当 x a tx aa x ttaatx aaa d 1 d, 1 , ,0 令 ，当 aFa 1 xexfa a x d1 j aFa 1 xexf a xa d1 j xexfa a x d1 j 等效脉冲宽度与等效频带宽度 O t 0f tf O 0F F B 0d fttf BFF 0d d 2 1 d 2 1 0 0 j F eFf t t ttfF d0 1 2 fBB 等效脉冲宽 度与占有的 等效带宽成 反比。 例 3-7-1 t1即 , 1t 21tF tj2则 ,j2) s g n ( tF已知 例 3-7-2 )sgn (2 )s g n (j 相移全通 网络 2Sa22 EFtutuEtf tc , 2 Sa 2 2 Sa 2 1 22 t E t EtFuuEf cc c c cc 例 3-7-3 ，若 02 c 的方波 宽度为 02 )()S a ( 02 0 0 Gt 则有 例 3-7-4（时移性质，教材 3-2） 求图 (a)所示三脉冲信号的 频谱。 tf t 2 2 TT E ( a ) 三 脉 冲 信 号 的 波 形 解： ,0 0 F tf 信号，其频谱函数 表示矩形单脉冲令 2Sa0 EF 2 0 F E O ( b ) ,2a 4Sa222 12 EFtf 例 3-7-9 2 5j 4Sa252 eEtf （向右）时移，对 255 tb 的频谱密度函数。，求已知 522Sa tfEFtf 方法一：先标度变换 ， 再时延 5j2Sa55 eEtft （向右）：时移对 2 5j 4Sa2522 eEtf：压缩对所有 方法二：先时延再标度变换 相同 例 3-7-6（教材例 3-4） 已知矩形调幅信号 ,c o s0ttGtf 试求其频谱函数。脉宽为 ，为为矩形脉冲，脉冲幅度其中 , EtG 为的频谱已知矩形脉冲 GtG 2Sa EG 解： 因为 tt eetGtf 00 jj21 为频谱根据频移性质， Ftf 00 2 1 2 1 GGF t tf o 2 2 E ( a ) 矩 形 调 幅 信 号 的 波 形 频谱图 2 Sa 22 Sa 2 2 1 2 1 00 00 EE GGF 0二，向左、右各平移将包络线的频谱一分为 2 0 0 O 0 2 E F ( b ) 矩 形 调 幅 信 号 的 频 谱 求三角函数的频谱密度函数 例 3-7-5 o tf t 2 2 E o F 2E 44 分析 o tf t 2 2 E 方波三角形函数 求导 o tf t 2 2 E2 冲激函数方波 求导 o tf t 2 2 E2 E2 E4 X FF 22j 2j2j2 2421 eEEeEF tetEtEtEtfF td 2 24 2 2 j 2j2j 2 2 21 ee E 2 2 2 4j4j 2 4s inj2 22 EeeE 2 2 2 2 2 4 Sa 2 4 4 4 s i n 8 EE 2j2j 242 eEEeE 第 29 页 X 例 3-7-8 tftF 2 解： ？，求已知 tftFFtf 2)()( FF 2 d dj tfttfF 2 1 nn tt F21 d dj1 Ft 例 3-7-9 解： 2 2 d djj1 Ftt nnnnnnn Ft d2djddj1 ntF求 例 3-7-10 1. 求单位阶跃函数的傅里叶变换 t tttu d)()( 已知 1)( t )(j11)(j1)( tu则 2Sa)( tG 00)0S a ( F，知由 2Sajd t GF 2 Sajd t G t )( 1 tG O2 2 积分的频谱函数。求门函数 tG .2 t )( tG O2 2 1 解： 解： 证明 设 f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略） tetfF t d)()( j tttftttf dsi njdc os 显然 tttfX tttfR ds i n dc o s RR 的偶函数关于 FF FtfF已知 FtfF XX 的奇函数关于 证明 tebatfF td)( j1 x aeexfF a bx a d1)( jj 1 a b eaFa j1 a bx aa bxt eeee jjjj xaeexfF a bx a d1)( jj 1 xeexfa a bx a d)(1 jj a bx aa b eaFaxexfea jjj 1 d)(1 xatabxtxbata d1d,0 则设时当 xatabxabxtxbataaa d1d,0 则设时当 证明 tef tt dd j tetuf tdd j 变上限积分用带时移的 单位阶跃的无限积分表 示 ， 成为 tutf ddj tetuf t交换积分顺序 ， 即先求时移的单位阶跃 信号的傅里叶变换 后先 t d j 1 j ef 常数，移到积分外 为而言对积分变量 续 d j 1 j ef dj1 j ef F j 1 FF j1 j0 FF 则第一项为零如果 ,00 F j0j1d FFFft j 1Ftutf 续 d)(21)( j teFtf dj)(21 j teFtf )(jj)()( FFtf )(j)( FtfF 证明 即 (flash)