重难点重点基本初等函数的定义图象和性质由复

第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 【 重、难点 】 重点 ：基本初等函数的定义、图象和性质，由复 习高中所学的五类函数引出 . 难点 ：复合函数的复合过程，由实例讲解方法 . 【 授课时数 】 总时数 ： 4学时 . 【 学习目标 】 1、会求初等函数和分段函数的定义域、值域， 会判断函数的特性； 2、会建立简单实际问题的函数关系 . 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 一、函数的基本概念 引例 求圆内接正多边形的周长 nnrS n s i n2 ,5,4,3n 3S 5 S4S 6S 圆内接正 n 边形 O r n 解 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 .)(, 000 函数值处的为函数在点称时当 xxfDx .),( 值域称为该函数的 函数值全体组成的数集 DxxfyyM 按照 某 一 法则 变量 y 总有 确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的 函数 ，记作 定义 设 x 和 y 是两个变量 , D 是一个给定的数集， 数集 D叫做这个函数的 定义域 如果对于每个数 Dx , 因变量 自变量 )( xfy 对应法则 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 函数的两要素 : 定义域 与 对应法则 . 定义域的求法 : 21 xy 例如， 1,1D 21: tStS 满足和时间又如，位移 1,0D 法则分别相同 . (数学意义 ) (实际意义 ) 两个函数相等的充要条件 : 它们的定义域和对应 函数的定义域是指自变量所能取的 使算式有数学 (或实际 )意义的一切实数值 . 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 定义 : .)( ),(),( 的图形函数 称为点集 xfy DxxfyyxC o x y ),( yx x y D 如果自变量在定义 域内任取一个数值时， 对应的函数值总是只有 一个，这种函数叫做单 值函数，否则叫与多值 函数 例如， 222 ayx M )( xfy 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 二、函数的特性 M -M y x o y=f(x) X 有界 无界 M -M y x o X 0 x ,)(,0, 成立有若 MxfXxMDX 1.函数的有界性 .)( 否则称无界上有界在则称函数 Xxf 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 2.函数的单调性 ,)( DIDxf 区间的定义域为设函数 , 2121 时当及上任意两点如果对于区间 xxxxI ;)( 上是单调增加的在区间则称函数 Ixf ),()()1( 21 xfxf 恒有 )(xfy )( 1xf )( 2xf x y o I 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 )(xfy )( 1xf )( 2xf x y o I ;)( 上是单调减少的在区间则称函数 Ixf ,)( DIDxf 区间的定义域为设函数 , 2121 时当及上任意两点如果对于区间 xxxxI ),()()2( 21 xfxf 恒有 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 3.函数的奇偶性 偶函数 有对于关于原点对称设 , DxD )()( xfxf y x )( xf )( xfy o x -x )(xf ;)( 为偶函数称 xf 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 有对于关于原点对称设 , DxD )()( xfxf ;)( 为奇函数称 xf 奇函数 )( xf y x )(xf o x -x )( xfy 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 4.函数的周期性 （通常说周期函数的周期是指其最小正 周期 ） . 2l 2l23l 23l ,)( Dxf 的定义域为设函数 如果存在一个不为零的 )()( xflxf 且 为周则称 )( xf .)(, DlxDxl 使得对于任一数 .)(, 的周期称为期函数 xfl.恒成立 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 三、反函数 0 x 0y 0 x 0y x y D M )( xfy 函数 o x y D M )( yx 反函数 o 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 )( xfy 正函数 x y o ),( abQ ),( baP )(1 xfy 反函数 正 函数与反函数的图形关于直线 对称 . xy 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 四、基本初等函数 1、 幂函数 )( 是常数 xy o x y )1,1( 1 12yx xy xy 1 xy 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 2、指数函数 )1,0( aaay x xay x ay ) 1( )1( a )1,0( xye 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 3、对数函数 )1,0(l o g aaxy a xy alo g xy a 1lo g )1( a)0,1( xy ln 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 4、三角函数 正弦函数 xy sin xy si n 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 xy cos xy c o s余弦函数 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 正切函数 xy ta n xy tan 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 xy co t余切函数 xy co t 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 正割函数 xy s e c xy se c 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 xy c s c余割函数 xy csc 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 5、 反三角函数 xy a r c si n xy a r c s i n反正弦函数 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 xy a r c c o s xy a r c c o s反余弦函数 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 xy a r ct a n xy a r c t a n反正切函数 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 幂函数，指数函数，对数函数，三角函数 和反三角函数统称为 基本初等函数 。 xy c o t反余切函数 arc xy co tarc 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 0,1 0,12)(, 2 xx xxxf例如 12 xy12 xy 在自变量的不同变化范围中 , 对应法则用不同的 式子来表示的一个函数，称为分段函数。 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 例 1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲 ,其波形如图 所示 ,写出电压 U与时间 的函数关系式 . )0( tt 解 U to E ),2( E )0,( 2 ,2,0 时当 t tEU 2 ;2 tE 单三角脉冲信号的电压 ,2( 时当 t ),( 2 00 tEU )(2 tEU即 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 ,),( 时当 t .0U 其表达式为 是一个分段函数 ,)( tUU ),(,0 , 2 (),( 2 2 ,0, 2 )( t tt E tt E tU U to E ),2( E )0,( 2 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 例 2 .)3(,212 101)( 的定义域求函数设 xf x xxf 解 2312 1301)3( x xxf 212 101)( x xxf 122 231 x x 1,3 fD 故 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 思考题 设 0 x ，函数值 21) 1 ( xx x f ， 求函数 )0()( xxfy 的解析表达式 . )11(1)(: 2x x xf 答案 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 练 习 题 填空题 : 1 、 若 2 2 51 t tt f , 则 _ _ _ _ _)( tf , _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _)1( 2 tf . 2 、 若 3 ,s i n3 3 ,c os1 )( xx xx x , 则 ) 6 ( =_ _ _ _ ， ) 3 2 ( =_ _ _ _ . 2 25 tt 22 2 )1( 2)1(5 tt 2 31 233 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 五、复合函数 1、复合函数的定义 ,uy 设 21 xu 21 xy 定义 : 设函数 )( ufy 的定义域 fD , 而函数 )( xu 的值域为 M , 若 MD f , 则称函数 )( xfy 是由 )( ufy 和 )( xu 复合 而 成 的 函数 ， 简 称 为 x 的 复合函数 . ,自变量x ,中间变量u ,因变量y 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 例 3 解 MD f 且 ),21,1 MD f 判断下列两个函数能否复合成一个复合 函数 22,a r c s i n.1 xuuy 22,a r c s i n xuuy 不能复合 为一个复合函数。 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 例 3 解 1,0(MD f 且 ,1,(),0( MD f 判断下列两个函数能否复合成一个复合 函数 21,ln.2 xuuy 21,ln xuuy 复合为一个复 合函数 )1l n ( 2xy ，定义域是 )1,1( . 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 思考题 判断下列两个函数能否复合成一个复 合函数 1,ln.1 2 xuuy xvy u a r c t a n2,2.2 ( ) ( ) 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 注意 : 1. 不是任何两个函数都可以复合成一个 复合函数的 ; 是由例如 2c o t xy ,yu c o t ,uv .2 xv 3.复合函数可以由两个以上的函数经过 复合构成 . 2 复合函数 )( xfy 的定义域是它 的简单函数 )( xu 定义域的子集； 复合而成 . 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 1.解 uy s in是由2s in xy 例 4 指出下列复合函数的复合过程 ,并求 它的定义域 2s in.1 xy 2xu 和 ，复合而成的 .),( 定义域是 xy 2s in.2 2.解 2uy 是由xy 2s in xu s in和 ，复合而成的 .),( 定义域是 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 3.解 uey 是由 例 4 指出下列复合函数的复合过程 ,并求 它的定义域 xxey 2s i n3 2.3 ,s in3, vu xxw 22 和 ).,20,( 定义域是 xxey 2s i n 2 wv ，复合而成的 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 1. 复合函数分解为常数与基本初等函数 的简单四则运算式（称为简单函数）时，不 用再分解了 , 复合函数分解到何时才结束呢 ? 应该注意 : 2. 简单函数与复合函数之间并没有明确 的划分界限 . xy ln例如 ，是复合函数 .ln21 是简单函数但 xy ;22 xxw 如 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 填空题 : 1 、 xxy t a n3 是由 y 和 u 复合 而成 . 2 、 )1s i n2(l o g3 5 xy 是 由 y , u 和 v 复合而成 . 练习题 1 、 xxy t a n3 是由 uy 3 和 xxu t a n 复合而 成 . 2 、 )1s i n2(l o g3 5 xy 是 uy 5l o g3 , 1s i n2 vu 和 xv 复合而成 . 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 六、初等函数 1、初等函数的定义 定义 : 由常数和基本初等函数经过有限次四 则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可 用 一个式子表示 的函数 ,称为 初等函数 . 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 例 5 判断下列函数是否是初等函数 2.1 y ( ) xy s in.2 ( ) )3(c o s2.3 23 xy ( ) xxexy c o ss in2.4 ( ) |.5 xy ( ) 2xy 0,c o s 0,s in .6 2 xxx xxx y ( ) )0(.7 s i n xxy x (幂指函数 ) ( ) 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 (1)分段函数不一定是初等函数 ; 2、说明 (2)今后一般在初等函数范围内研究函数 . 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 七、建立函数关系 函数关系可以说是一种变量相依关系的数学 模型数学模型方法是处理科学理论问题的一种经 典方法，也是处理各类实际问题的一般方法掌握 数学模型方法是非常必要的在此，对数学模型方 法作一简述 数学模型方法（ M athem atic al Mo del ing) 称为 MM 方法它是针对所考察的问题构造出相应的数 学模型，通过对数学模型的研究，使问题得以解决 的一种数学方法 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 数学模型是针对于现实世界的某一特定对象，为了一 个特定的目的，根据特有的内在规律，做出必要的简化和 假设，运用适当的数学工具，采用形式化语言，概括或近 似地表述出来的一种数学结构它或者能解释特定对象的 现实性态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理 对象的最优决策或控制数学模型既源于现实又高于现实， 不是实际原形，而是一种模拟，在数值上可以作为公式应 用，可以推广到与原物相近的一类问题，可以作为某事物 的数学语言，可译成算法语言，编写程序 使用 计算机 计算 . 1.数学模型的含义 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 建立一个实际问题的数学模型，需要一定的洞察力和想像 力，筛选、抛弃次要因素，突出主要因素，做出适当的抽象和 简化全过程一般分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并 且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型到 现实对象的循环可用流程图表示如下： 2.数学模型的建立过程 数学模型的解答 数学模型 表达 （归纳） 验证 （检验） 解释 （实际解答） （演绎） 求解 现实对象 现实对象的信息 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 表述 根据建立数学模型的目的和掌握的信息，将实际 问题翻译成数学问题，用数学语言确切地表述出来 . 这是一个关键的过程，需要对实际问题进行分析，甚至 要做调查研究，查找资料，对问题进行简化、假设、数学抽 象，运用有关的数学概念、数学符号和数学表达式去表现客 观对象及其关系如果现有的数学工具不够用时，可根据实 际情况，大胆创造新的数学概念和方法去表现模型 求 解 选择适当的方法，求得数学模型的解答 解释 数学解答翻译回现实对象，给实际问题的解答 验证 检验解答的正确性 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 例 6 某罐头厂要生产容积为 V （ cm 3 ）的圆柱 形罐头盒，将它的表面积表示成底半径的函数， 并确定它的定义域 . 解 设圆柱的底半径为 r ，高为 h ，表面积为 A . 因为 hrV 2 ，于是 2r V h ，根据圆柱表面积公 式有 rhrA 22 2 ，所以有 r V rA 2 2 2 . 其定 义域为 ,0 . 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 例 7 曲柄连杆机构如图所示，当曲柄 OC （定长 为 r ）绕 O 点以等角速度 旋转时，连杆 BC （定长 为 l ) 绕滑块 B 摆动，带动滑块 B 作往复直线运动， 求： （ 1 ）摆角 的运动规律 （ 2 ）滑块 B 作往复直线运动的运动规律 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 解 假定曲柄 O C 开始作旋转运动时， C 在 D 处 . 设 连杆 BC 摆动规律为 )( t ， 滑块 B 的运动规律为 )( tss . 如 图， 在 B C O 中，由正弦定理得 t lr s i ns i n ，于是有 )s i na r c s i n ( t l r ， ),0 t . 又 S = O E + E B trOE c o s , trCE s i n . 在 B C ERt 中 , trlEB 222 s i n ，从而可得滑块 B 的运动规律为 trltrS 222 s i nc o s ， ),0 t . 第一章 极限与连续 四川职业技术学院数学教研室 课题一 函数 通过本课题学习，学生应该达到： 1. 会求函数的函数值、定义域、值域； 2. 会判断函数的特性和作简单函数图象； 3. 会写出复合函数的复合过程； 4. 会建立一些简单实际问题的函数关系 . 【 课后练习 】 1 P001 习题 1-1(一 )； 2 P001 习题 1-1(二 )。 【 授课小结 】