与圆有关的比例线段

探究 1:AB是直径 ,CDAB 交点 P.线段 PA,PB,PC,PD之间有何关系 ? PAPB=PCPD 1.相交弦定理 圆内的两条相交弦，被 交点分成的两条线段长的积相等。 A C B P D O C A B P D O A C B P D O A(C.P) B D 探究 2:把两条相交弦的交点 P从圆内 运动到圆上 .再到圆外， 结论 是 否还能成立 ? PAPB=PCPD P在圆外 :易证 PAD PCB .PBPDPCPA 故 PAPB=PCPD P在圆上 :PA=PC=0, 仍有 PAPB=PCPD A P C B D P A C 2.割线定理 从圆外一点引圆的两条割 线，这一点到每条割线与圆的交点的两 条线段长的积相等 . A(B) P O D C PAPB=PCPD 探究 3:使割线 PB绕 P点运动到切线的 位置 ,是否还能成立 ? A P B O D C A(B) P O D C 连接 AC,AD易证 PAC PDA 上式可变形为 PA=PCPD 3.切割线定理 从圆外一点引圆的切 线和割线， 切线长 是这点到割线与圆 交点的两条线段长的比例中项 . 故 PAPB=PCPD仍成立 因为 A,B重合， 探究 4:使割线 PD绕 P点运动到切线的 位置 ,可以得出什么结论 ? A(B) P O D C 易证 Rt OAP Rt OCP. PA=PC 4.切线长定理 从圆外一点引圆的两 条切线，它们的切线长 相等 ,圆心和 这一点的连线平分两条切线的夹角 . A(B) P O C(D) PA=PCPD 思考 :1.由切割线定理能证明切线长定 理吗 ? 如图由 P向圆任作一条割线 EF试试 . A(B) P O C(D) E F 思考 :2.你能将切线长定理推广到空间 的情形吗 ? O 例 1.圆内的两条弦 AB,CD交于圆内一点 P,已知 PA=PB=4.PC= PD,求 CD的长 . C D A B P 4 1 解 :设 CD=x,则 PD= ,PC= x 5 4 x 5 1 由相交弦定理 ,得 PAPB=PCPD 4 4= 求得 x=10, x54x51 CD=10 例 2.E是圆内的两条弦 AB,CD的交点 ,直线 EF/CB,交 AD的延长线于 F,FG切圆于 G. 求证 :(1) DFE EFA; (2)EF=FG A B C O F G E D 3 2 1 EF FD FA EF DFE EFA EF=FAFD 又 GF=FAFD GF= EF EF=FG 例 3.如图 ,两圆相交于 A,B两点 ,P是两圆公共弦 AB 上的任一点 ,从 P引两圆的切线 PC,PD. 求证 :PC=PD P A B D C 析： PC=PAPB 又 PD=PAPB PC= PD PC=PD 例 4.如图 ,AB是 O的直径 ,过 A,B引 两条弦 AD和 BE,相交于点 C, 求证 :ACAD+BCBE=AB. A B D E C O F 分析 :A,F,C.E四点共圆 BCBE=BFBA. F,B,D,C四点共圆 ACAD=AFAB. ACAD+BCBE=AFAB+BFBA =AB(AF+BF)=AB 例 5.如图 ,AB,AC是 O的切线 ,ADE 是 O的割线 ,连接 CD,BD,BE,CE. B A E C O D 问题 1 由上述条件能推出哪些结论 ? 探究 1: ACD= AEC ADC ACE AE AC CE CD CDAE=ACCE 同理 BDAE=ABBE 因为 AC=AB,由 可得 BECD=BDCE 图 探究 2: 猜想并可证明 问题 2 在图 (1)中 ,使 线段 AC绕 A旋转 ,得到图 (2), 其中 EC交圆于 G,DC交圆于 F,此时又能推出哪些 结论 ? B A E C O D 图 B A E C O D F G 图 ADC ACE 同样可得 证明如下 : B A E C O D F G 图 AB=ADAE,而 AB=AC, AC=ADAE,即 ACADAEAC CAD= EAC, (对应边成比例且夹角相等 ). ADC ACE 另一方面 连接 FG由于 F,G,E,D四点共圆 CFG= AEC, 又 ACF= AEC, CFG= ACF, FG/AC B A E C O D F G 图 问题 3 在图 (2)中 ,使线段 AC继续绕 A旋转 ,使割 线 CFD变成切线 CD,得到图 (3),此时又能推出哪 些结论 ? B A E C O D F G 图 P 探究 3: 可以推出（ 1） （ 6）的所有结论。 B A E C O D Q G 图 P 此外 AC/DG. CECGAEAD ADCE=AECG ACD AEC AC AD CE CD ACCD=ADCE 由 可得： ACCD=AECG 连接 BD,BE,延长 GC到 P,延长 BD交 AC于 Q,则 PCQ= PGD= DBE, 故 C,E,B,Q四点共圆 习题 2.5 5.如图 , O与 O相交与点 A,B.PQ是 O的 切线 ,求证 :PN=NMNQ Q N P O O A B M 6.如图 ,PA是 O的切线 , M是 PA的中点 , 求证 : MPB= MCP MA=MBMC=PM MC PM PM MB MBP PMC MPB= MCP A P C B M O 思路 ： 习题 2.5 习题 2.5 7.如图 , AD,BE,CF分别是 ABC三边的高 ,H 是垂心 ,AD延长线交 ABC外接圆于点 G, 求证 :DH=DG A C E G B F H D 1 3 2 A E C D P B F O 习题 2.5 8.如图 , O直径 AB的延长线与弦 CD的延长线 交于点 P,AE=AC. 求证 :PFPO=PAPB 1 2 POC PDF PF PC PD PO PFPO=PDPC 又 PDPC=PBPA PFPO=PBPA 思路 ： 习题 2.5 9.将例 5的图 (1)作如下变化 :以 A为中心 ,把线段 AC绕 A 逆时针旋转一个角度 ,连接 EC并延长与圆相交于 F,连接 DC并延长与圆相交于 G,连接 FG,其他条件同例 5,能推出 哪些结论 ?如果 BAD= CAD,又有什么结论 ? B A E C O D 图 B A E C O D F G 习题 2.5 9题 将例 5的图 (1)作如下变化 :以 A为中心 ,把线段 AC绕 A 逆时针旋转一个角度 ,连接 EC并延长与圆相交于 F,连接 DC并延长与圆相交于 G,连接 FG,其他条件同例 5,你能推 出哪些结论 ?如果 BAD= CAD,又有什么结论 ? B A E C O D F G AB=ADAE CFCE=CDCG AC=ADAE AC=AB AC AD AE AC 即 CAD= EAC, ADC ACE ACD= AEC= G AC/FG 如果 BAD= CAD,如图 , B A E C D F G 2 1 3 4 ABD ACD (?) = BD=CD ABD= ACD ACD= 1 ABD= 2 1= 2 BD=FD ABE ACE = BE=CE AE BC 四边形 ABEC各边中点 共圆