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标题 / 标题 (1)平行四边形有哪些性质 ?矩形与平行四边 形比较有哪些特殊的性质 ? 平行四边形 边 : 角 : 对角线 : 对边平行且相等 对角相等 ,邻角互补 对角线互相平分 矩形 角 : 四个角是直角 对角线 : 对角线相等且互相平分 边 对边平行且相等 菱形的性质 菱形的性质 边 : 四条边相等 对角线 : 互相垂直平分 分别平分两组对角 角 : 具有平行四边形一切性质 对角相等 ,邻角互补 创设情景 一 问题 : 从这个图形中你能得到什么？ 你是怎样想到的？ 90 当 =90 时 ,这个四边形还是菱形 ,但它是特殊 的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形 . 问题 : 情景二 图中 CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？ （ CD在移动的过程中始终保持与 AB平行） 当 CD移动到 CD位置，且 AD AB时，此 时的图形还是矩形吗？ A B C D A B C D 当 AD AB这个四边形是矩形 ,它是特殊的矩形是 一组邻边相等的矩形也是正方形 . 正方形的概念： _ 的平行四边形是正方形。 _的菱形是正方形 _的矩形是正方形 定义法 菱形法 矩形法 有一组邻边相等且有一个角是直角的 有一个角是直角 有一组邻边相等 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形， 也是特殊的菱形。 有一组邻边相等且有 一个角是直角 正方形、矩形、菱形及平 行四边形四者之间的关系 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 平行四边形 矩形 菱形 正 方 形 八年级 数学 第十九章 四边形 正方形是 中心对称图形 ,对称中心为点 O 它也是 轴对称图形 ,有 4条对称轴 (1)它具有平行四边形的一切性质 两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分 (2)具有矩形的一切性质 四个角都是直角，对角线相等 (3)具有菱形的一切性质 四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角 O A B C D (A) (B) (C) (D) 正方形的 两条对角线互相 垂直 平分 且 相等 ,每条对角线平分一组对角 四条边都相等 ，对边平行 四个角都是直角 边 对角线 角 正 方 形 的 性 质 O A B C D 例题解析 学一学 例 1. 如图，在正方 ABCD中，对角线 AC、 BD相交于 O， 1)图中有多少个等腰直角三角形 2)说出图中相等的线段、相等的角。 3)求 ABD、 DAC、 DOC的度数。 O A B C D 小试牛刀 1.正方形 ABCD，对角线交于 0， 1)若 AB=2 ，则 AC=_,OA=_,周长 _，面积 _。 2)若 OB=2 ，则 AC=_,AB=_,周长 _，面积 _。 3)若 AC+BD=8 ，则 AC=_,AB=_,正方形面积 _。 2.已知正方形的面积为 9cm,它的周长为 _. 3.正方形的边长为 a,当边长增加 1时 ,其面积增加了 _. O A B C D 1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A、四个角相等 . B、对角线互相垂直 . C、对角互补 . D、对角线相等 . 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A、四条边相等 . B、对角线互相垂直平分 . C、对角线平分一组对角 . D、对角线相等 . B D 随堂练习 议一议 用 10米长的篱笆围成一个四边形菜地，如 何确定面积最大的四边形的形状，面积为 多少？ 在长度给定的情况下，围成的四边形中， 正方形的面积最大。 问题 : 例 2、如图，四边形 ABCD是正方形，延长 BC到 E， 使 CE=AC，连接 AE，交 CD于 F，求 E， AFC的 度数 . A B D C E F 练习： 1、如图，正方形 ABCD中， BE=BD，求 E A B C D E 练 :正方形 ABCD中， M为 AD中点， ME BD于 E， MF AC于 F,若 ME+MF =8cm，则 AC=_. 课堂练习 例 3.已知正方形 ABCD中 ,AC=10,P是 AB上一点 ,PE AC于 E， PF BD于 F,则 PE+PF=_. 5 30 16cm 2.以正方形 ABCD的一边 DC向外作等边 DCE,则 AEB=_. P A B C D E F O E A B C D M A B C D E F O 分析： PE=AE， PF=OE PE PF OA 正方形 ABCD中 DAF=25 ,AF交对角线 BD于 E,交 CD于 F,求 BEC的度数 . A B C D E F 若 DCE=30 则 DAF= 思考 小结 1 .正方形是中心对称图形，轴对称图形。 2.正方形的四条边都相等。 3.正方形的四个角都相等 。 4.正方形的对角线互相垂直平分且相等， 且每一条对角线平分一组对角。 O A B C D 平行四边形 菱形 矩形 正方形 一组邻边相等 有一个角是直角 有一个角是直角 一组邻边相等 正方形既是菱形，又是矩形，因此正方形有下列性质 ： 正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组中点 的直线都是它的对称轴 . 正方形的四条边都相等，四个角都是直角 正方形的对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角 正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心 . 学以 致 用 小红在店里看到一块漂亮的方纱巾， 非常想买。但她拿起来看时感觉不太方。 商店老板看她犹豫的样子，马上过来 拉起一组对角，让小红看这组对角是 否对齐，小红还有些犹豫，老板又拉 起另一组对角，让小红检验。小红终 于买了这块纱巾。你认为小红买的这 块纱巾真是正方形吗？你能帮她检验吗？ 学以 致 用 分析：要判断是否是正方形，关键对折后 会得到什么条件。 解：根据老板的方法，只能反映纱巾的两 组对角分别相等，四条边都相等，所以该 纱巾是菱形，但不一定是正方形。 由三条公路围成的一个区域为直角 三角形形状 .工程队要想在区域内划一 块正方形的地块作为新小区 ,且让小区 足够大 ,请你来帮工程队设计一下 . 学以 致 用 A B C D E F 如图，点 E、 F在正方形 ABCD的边 BC、 CD上， BE=CF. （ 1） AE与 BF相等吗 ？ 为什么 ？ （ 2） AE与 BF是否垂直？说明你的理由。 A B C D E F G 自主学习 例 2.如图四边形 ABCD和 DEFG都是正方形， 试说明 AE=CG 解： 因为四边形 ABCD是正方形 根据正方形的四边相等，得 AD=CD 又知四边形 DEFG也是正方形 所以 DE=DG 又因为正方形的每个内角为 90 所以 ADE EDC CDG EDC 所以 ADE CDG 所以三角形 ADE可以看成是由三角形 CDG绕着点 D顺时针 旋转 90 得到。 AED CGD 所以 AE=CG A B C D E F G 巩固练习： 如图，四边形 ABCD和 AEFG都是正方形， 求证： BE = DG A B C D E F G 例 3如图所示，正方形 ABCD中， P为 BD上一点， PE BC于 E， PF DC于 F。试说明： AP=EF A B C D P E F 解 : 连接 PC PE BC ， PF DC 而四边形 ABCD是正方形 FCE=90 四边形 PECF是矩形 PC=EF 又 四边形 BAPC是以 BD为轴的轴对称图形 AP=PC AP=EF 例 4 已知：如图 (4)在正方形 ABCD中， F为 CD延长线 上一点， CE AF于 E，交 AD于 M， 求证： MFD 45 分析： 欲证 MFD 45 ，由于 MDF是直角三角形 ,只须证 MDF是等腰三角形 ,即只要证 _=_ 要证 MD FD，大家只须证得哪两个三角形全等 ? 试一试 看能不能完成证明 ? CMD ADF 例 4 已知：如图 (4)在正方形 ABCD中， F为 CD延长线上一点， CE AF于 E，交 AD于 M， 求证： MFD 45 证明： CE AF ADC AEM 90 又 CMD AME 1 2 又 CD AD， ADF MDC Rt CDM Rt ADF (AAS) DM=DF 下面的证明请大家完成 练习 如图 (5)，在 AB上取一点 C，以 AC、 BC为正方形的一边在同一侧作正 方形 AEDC和 BCFG连结 AF、 BD延长 BD交 AF于 H。 求证： (1) ACF DCB (2) BH AF 证明： 例 5 如图 (3)，正方形 ABCD中， AC、 BD相交于 O， 分析： 要证明 BM CN， MN AB且 MN分别交 OA、 OB于 M、 N， 求证： BM CN。 AB=BC， 1= 2=45 AM=BN ABM BCN 正方形 ABCD OM=ON OMN ONM 45 活动与探索 A B C D E F 如图正方形 ABCD的边长为 1， E、 F分别为 BC、 CD上的点，若 BE+DF=EF， 求证： EAF=450 G 变式：如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E、 F分别在 BC、 CD上， EAF=450， CEF的 面积为 ，求 AEF 的面积。 83 在一块正方形的花坛上，欲修建两条直 的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成 面积相等的四部分（不考虑道路的宽度）， 你有几种方法？（至少说出三种） 思维拓展 如何设计花坛？ 八年级 数学 第十九章 四边形 数一数图中正方形的个数，你发现了什么 ？ 多 多 多 （ ）个（ ）个 （ ）个 （ ）个 第 n个图中正方形有 个 3n-1 长见识 八年级 数学 第十九章 四边形 练习： 在 ABC中 ,AB=AC,D是 BC的中点 ,DEAB, DFAC, 垂足分别是 E,F. 1)试说明 :DE=DF 2)只添加一个条件 ,使四边形 EDFA是正方形 . 请你至少写出两种不同的添加方法 .(不另外 添加辅助线 ,无需证明 ) FE D CB A 对边平行且相等 每条对角线平分 一组对角 对角线相等 对角线互相垂直 对角线互相平分 四个角都是直角 对角相等 四条边都相等 性质 正方形 菱形 矩形 平行四边形 图形 小结 谢谢大家 ! 再见
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