《二次根式》的知识要点和习题

二次根式的知识要点和习题 知识要点1、二次根式的概念：形如（a0）的式子叫做二次根式。二次根式的实质是一个非负数a 的算术平方根。注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a0是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而、等都不是二次根式；的根指数是2, 即，可省略不写；b也是二次根式。当b为带分数时，要把b改写成假分数。是二次根式，不能写成2。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如 不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如 ， ， .都不是最简二次根式，而 ， ，5 ， 都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。如 , , 就是同类二次根式，因为 =2 ， =3 ，它们与 的被开方数均为2。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。 的有理化因式为 ， 的有理化因式为 ， 的有理化因式为 ， 的有理化因式为 ， 的有理化因式为 5二次根式的性质：（1）. (a0)是一个非负数, 即 0;（2）.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a0)；（3）.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 =|a|= （4）.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即 = （a0,b0）。（5）.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即 = （a0,b0）。6 二次根式的乘除 （1）. 二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（0，0）。说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数；（2）（0，0）可以推广为（0，0）； （0，0，0，0）。（3）等式（0，0）也可以倒过来使用，即（0，0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。（2）. 二次根式的除法两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（0，0）。说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，0，在分母中，因此0；（2）（0，0）可以推广为（0，0，0）；（3）等式（0，0）也可以倒过来使用，即（0，0）。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。7二次根式的加减 （前提：只有是同类二次根式才能相加减） 二次根式的加减（1）二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。（2）二次根式的加减法与多项式的加减法类似，首先是化简，在化简的基础上去括号再合并同类二次根式，同类二次根式相当于同类项。一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行： i）将每一个二次根式都化简成最简二次根式 ii）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组 iii）合并同类二次根式（3）. 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算可以说是二次根式乘法、除法、加、减法则的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点： （1）观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的。 （2）在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”。 （3）观察式中二次根式的特点，合理使用运算律和运算性质，在实数和整式中的运算律和运算性质，在二次根式的运算中都可以应用。本节中还要记住一些常见根式的约等数，常见的有习题巩固提高（专心、细心、耐心）一、填空题：1在、中是二次根式的个数有_个2. 当= 时，二次根式取最小值，其最小值为 。附：式子3的值为（ ）A. 当x0时最大B. 当x0时最小 C. 当x4时最大D. 当x4时最小3. 化简的结果是_附1：已知2x5，化简+_.4. 若，则代数式的值为 5. 实数在数轴上的位置如图所示：化简：6. 若，则10x2y的平方根为_7.若则 8. 计算：= 9. 已知y=+5，则=_附：已知，则 = 10. 观察下列各式：，请你将猜想到的规律用含自然数的代数式表示出来是二、选择题11. 下列式子一定是二次根式的是（ ）A B C D附：若是二次根式，则a、b应满足（ ）A. a、b均为非负数B. a、b同号 C. a0，b0D. 012. 下列二次根式中，的取值范围是的是（ ）A B C D附：式子有意义的条件是（ ）A. x0B. x0且x2C. x2D. x013. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，式子中正确的有（ ）1个 2个3个4个附1：实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简ab的结果是（ ）A. 2abB. bC. bD. 2ab附2：若a0,化简的结果是（ ）A.0 B.2a C.-2a D.2a或-2a14. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 附1：下列各式中属于最简二次根式的是（ ）.（A） （B） （C） （D） 附2：若最简二次根式与是同类二次根式，则_，_15. 下列各式中，一定能成立的是（ ）A B C D16设的整数部分为，小数部分为，则的值为（ ）附1：若8-的整数部分是a,小数部分是b，求2ab-b2的值_附2：设a=，b=1，c=，则a、b、c之间的大小关系是（ ） Acba Bacb Cbac Dabc17. 把根号外的因式移到根号内，得（ ）A B C D附1：若，则的取值范围是（ ）.（A） （B） （C） （D）附2：式子+有意义，则点P（a，b）在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限18. 若代数式的值是常数，则的取值范围是（ ）或附：已知：，则的值。A. 3B. 4C. 5D. 6三、解答题19.计算：(1) (2) (3) (4)20.先化简，再求值：，其中21.已知：，求：的值。22.如图所示的RtABC中，B=90，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动问：几秒后PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示） 23观察下列各式及其化简过程：；（1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将化简；（2）针对上述各式反映的规律，请你写出中与之间的关系附加题：（有一定难，要有信心）1 已知，求的值。2已知为实数，且，求的值。34已知：，求的值。5已知：为实数，且，化简：。6设a、b为实数，且满足a2+b26a2b+10=0，求的值7已知：，求的值8已知x、y为实数，且y，求5x2y1的值.9阅读下面问题：；;，。试求：（1）的值；（2）（n为正整数）的值。（3）根据你发现的规律，请计算：10已知甲、乙两个同学在的条件下分别计算了和的值甲说的值比大，乙说的值比大请你判断他们谁的结论是正确的，并说明理由11阅读下面的文字后，回答问题：甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：，其中”甲、乙两人的解答不同;甲的解答是：；乙的解答是：（1） 的解答是错误的 （2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质： （3）模仿上题解答：化简并求值：，其中12（1）在下面的横线上填“”“”或“=” =，=， =_ =，=， _ =，=， _（2）请你猜想与（n大于1的整数）的大小关系，并加以证明