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第1讲 等腰三角形考纲规定命题趋势1理解等腰三角形的有关概念,掌握其性质及鉴定.2.理解等边三角形的有关概念，掌握其性质及鉴定.掌握线段垂直平分线的性质及鉴定.4掌握角平分线的性质及鉴定等腰三角形的概念、性质、鉴定是中考的重点内容，在选择题、填空题、解答题中均有浮现;等边三角形、线段的垂直平分线及角的平分线在中考中也常常考察.知识梳理一、等腰三角形1等腰三角形的有关概念及分类有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形,也叫做正三角形;等腰三角形分为腰和底_的等腰三角形和_三角形2.等腰三角形的性质（)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”);(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重叠（简称为“三线合一”);(3)等腰三角形是轴对称图形.3.等腰三角形的鉴定如果一种三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)二、等边三角形的性质与鉴定.等边三角形的性质（)等边三角形的内角相等，且都等于_；(2)等边三角形的三条边都_2.等边三角形的鉴定(1)_相等的三角形是等边三角形；(2)_相等的三角形是等边三角形;(3)有一种角为_的等腰三角形是等边三角形.三、线段的垂直平分线1概念：通过线段中点，并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫_.性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离_3.鉴定：到一条线段的两个端点_的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合.四、角的平分线1.性质：角平分线上的点到角的两边的距离_2鉴定:角的内部到角的两边距离相等的点在角的_上,角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合.自主测试1等腰三角形的周长为14，其中一边长为4，那么,它的底边长为_2.如图,在ABC中,=90，AD平分CAB，AD=5，C=,则D点到AB的距离是_.等腰三角形一腰长为5,一边上的高为3，则底边长为_.4等腰三角形的底和腰是方程2-6+0的两根，则这个三角形的周长为（ )8 B0 8或1 不能拟定考点一、等腰三角形的性质与鉴定【例1】已知：点O到BC的两边,A所在直线的距离相等,且OBOC.(1）如图甲，若点O在边B上，求证:BAC;解：(1)证明：过点O分别作O,OFA，E，分别是垂足，由题意知,OE=O,B=OC,OEBRtOF，B=C,从而AB=C.(2)证明：过点O分别作A,FAC，F分别是垂足，由题意知,O=F.在RtOEB和RtOFC中,OE=OF,OB=OC,RtOBRtOCOEOF.又由BOC知OBOCB，ABACB，AB=AC（3）不一定成立.当的平分线所在直线与边C的垂直平分线重叠时，有ABAC;否则,AAC，如示例图.措施总结 1要证明一种三角形为等腰三角形，须证明这个三角形的两条边相等或两个角相等，两种措施往往都需要证明三角形全等若三角形中浮现了高线、中线或角平分线,有时可以延长某些线段，构造出等腰三角形，然后用“三线合一”性质去解决.触类旁通 如图，已知ACC，BDD,AC与D交于,A=BD.求证：(1）D;(2)OAB是等腰三角形考点二、等边三角形的性质与鉴定【例2】(1)如图甲，点O是线段A的中点,分别以O和O为边在线段A的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD,相交于点E,连接.求AEB的大小.(）如图乙，OB固定不动,保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转(OAB和OCD不能重叠),求EB的大小分析:解决等边三角形问题时，要充足运用等边三角形三边相等、三个角都等于60的性质.全等是解决此类问题最常用的措施.解:（1)如图甲.图甲DO和ABO都是等边三角形,且点O是线段D的中点，ODOC=OA，1=2=0，4=5.又4+=60，4=同理,60AB4+6,AB=6(2)如图乙.图乙DOC和O都是等边三角形,DOC，OB=A，=60又ODOA，ODB，OOC,4=5，67.D1+3，O+3，OB=O.4+DOB180，6AOC80，252,56.又AEB85,82+6,AEB=2+5-5=2,AEB60措施总结 1等边三角形的各边相等,各角相等，因此常运用其证明三角形全等或线段及角相等.2.等边三角形重心、内心、外心、垂心重叠于一点，称为等边三角形的中心(四心合一)触类旁通2 已知，如图，延长AC的各边,使得B=AC,AEDAB,顺次连接D,E,得到EF为等边三角形求证:（1)AEFCD；(2)BC为等边三角形考点三、线段的垂直平分线【例3】如图,ABC的周长为3m，把ABC的边A对折,使顶点C和点重叠，折痕交C边于点D，交AC边于点，连接D，若E=4cm,则BD的周长是()A.2 m B.20cm .18 cm D.5 cm解析:由题意可知DE为AC的垂直平分线,因此D=D,ACAE8 cm.由于ABC的周长为0 m,因此AB+BCAC=30 cm,因此AB+C22cm.因此BD的周长为AB+B+A=AB+C cm.答案:A措施总结 1线段垂直平分线的性质有两个：(）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;(2)线段垂直平分线垂直、平分这条线段.线段垂直平分线的性质定理在中考中常以选择题、填空题的形式浮现，且常与三角形的周长结合命题触类旁通3 如图，在RtABC中,C90,CB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求的度数.考点四、角的平分线【例4】如图,已知D于点，BEAC于点E，且CD，BE相交于点O求证：(1)当1=2时，B=C；（）当OBC时,=2证明：（1)1,CDB,BEAC，OEOD.3，OBDO90，OEODB.B=O.(2)=4,EOBO90，OB=OC，OEO.OD.AB，EC,O平分CAB.1=2.措施总结 在解决有关角平分线的问题时一般做法是过角平分线上一点作角的两边的垂线触类旁通 如图，OP平分AOB,POA，BO，垂足分别为A,B下列结论中不一定成立的是( )A.A=PB B.PO平分APBCOOB D.AB垂直平分OP1(贵州铜仁）如图，在AC中，AB和ACB的平分线交于点，过点E作MN交AB于,交于N，若BM+N9，则线段N的长为()A. .7 C8 D92(江西南昌)若等腰三角形的顶角为80，则它的底角是(）.20 B50 C60 D.803（浙江宁波）如图,ABD,是BD上的点,且ABBC，AD=10,则EA=_度.4(广东广州)如图，在等边ABC中，B=6,是C上一点,且BC=3BD,ABD绕点旋转后得到ACE，则C的长度为_求证:()ABDACD；(）BE1.如图,坐标平面内有一点A(2，-），O为原点，是x轴上的一种动点,如果以点P,O，A为顶点的三角形是等腰三角形,那么符合条件的动点P的个数为()A2 B.3 C4 D52如图所示,B,C分别表达三个村庄,B=1 000米，BC=600米，AC800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活,拟建一种文化活动中心,规定这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在()A.AB中点 B.中点 CAC中点 DC的平分线与AB的交点3.在AC中,B和C的平分线交于点F，过点F作DFBC,交AB于点D,交AC于点E，若BD+CE9，则线段DE的长为（ )A.9 .8 C7 D.64.如图,P,Q是ABC边B上的两点,且QCAAQB=PQ,则BA=()A.125 B.3 C90 D.205如图，在ABC中，BC=8,AB的中垂线交BC于点,A的中垂线交B于点E，则DE的周长等于_.如图，已知ABC是等边三角形,点B，C,D,在同始终线上，且G=CD，DDE,则E=_度7已知等腰AB的周长为0，若设腰长为，则x的取值范畴是_.8如图所示,在B中,，E分别是边C,AB上的点，与CE交于点O，给出下列三个条件：EO=DCO；BEOCDO;BED.()上述三个条件中,哪两个条件可鉴定AC是等腰三角形(用序号写出所有状况);（)选择第()小题中的一种状况,证明AB是等腰三角形.参照答案导学必备知识自主测试14或6如果腰长为4，则底边长为4-246；如果底边长为4,则两腰分别为，23在tADC中,CD=3，D点到B的距离=D=.3.8或或B 解方程x26x80得x1=2，,当腰为2时,2+2=4（舍去),当腰为4时，周长为44+2=探究考点措施触类旁通.证明:（1)BC,BDAD,DC90.在RtAB和RtB中,ABB，ACB,ABBDA（HL).BC=AD.(2)由AC得CB=DA.B是等腰三角形触类旁通2证明：（1）FC，AAE,FAC.DEF是等边三角形,EF=DE.又ECD,AEFCDE.（2）由AEFCDE,得FEADCBCAEDDC=EA+DEC=E，DEF是等边三角形,DEF6,CA=60.同理可得C60.C中，AB=B.ABC是等边三角形.触类旁通3.解:AD平分AB,AD=BD.DE垂直平分B，=D，BBADC=BD=B在RtC中,=90，CADDAE+90.B=0.触类旁通4.D品鉴典型考题1DABC，AB的平分线相交于点，MEB,ECN=ECBMNBC,EBCMEB,NC=EB,MB=ME，NE=CN，BMME，EN=CN.MN=M,即MBMCN.BM+CN9，N=，故选D.2.B 由于等腰三角形的顶角为80,因此底角=(8080)=0340ABBC，ACBA.A=10,ACB=BA70,B=40AEBD，E=B=40.4 在等边三角形AC中，AB=6，=AB=.BC3D,BDBC=2AB绕点A旋转后得到AC,BDACE,CEBD2.5证明：AE平分DAC,1.ABC,1=B，2=C,BC，ABA6证明:(1)在ABD和AD中,D是BC的中点，CAD(SS).（2)由()知BDACD，DCD,即BAE=E.在ABE和CE中，ABCE(SAS)BECE.研习预测试题1C由于x轴负半轴有一种点,x轴正半轴有三个点，因此符合条件的动点P的个数为.A3.A F平分ABC,如图,ABCBF.C平分ACB，CF=BCF.DFBC，FF，EFCBCF.ABDFB,AFEFC.=DF,EEEDF+EFD+CE=9.4D58由于ADE的周长A+E=BD+DEC8.17.x5 由三角形的三边关系得解得.8.解：(1)；.（2).证明：EBODO，EOB=DOC,CD，BEOCDOO=OC.BC=B.EBO+OBC=OOCB,即ABACB.AB=ACAB为等腰三角形.
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