《空间解析几何基础》PPT课件.ppt

第一节 空间解析几何基础知识 x横轴 y纵轴 z竖轴 定点 o 空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向 符合 右手系 . 即以右手握住 z 轴，当右手的四个 手指从正向 x 轴以 2 角度转向正向 y 轴 时，大拇指的指向 就是 z 轴的正向 . 一、空间直角坐标系 x yo z xoy 面 yoz 面 zox 面 空间直角坐标系共有 八个卦限 空间的点 有序数组 ),( zyx 11 特殊点的表示 : )0,0,0(O ),( zyxM x y z o )0,0,(xP )0,0( yQ ),0,0( zR )0,( yxA ),0( zyB ),( zoxC 坐标轴上的点 ,P ,Q ,R 坐标面上的点 ,A ,B ,C 设 ),( 1111 zyxM 、 ),( 2222 zyxM 为空间两点 x y z o 1M P N Q R 2M ?21 MMd 在直角 21 NMM 及直角 PNM 1 中，使用勾股定 理知 ,222212 NMPNPMd 空间两点间的距离 ,121 xxPM ,12 yyPN ,122 zzNM 22221 NMPNPMd .21221221221 zzyyxxMM 空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为 ,),( zyxM )0,0,0(O OMd .222 zyx x y z o 1M P NQ R 2M 例 1 求证以 )1,3,4(1M 、 )2,1,7(2M 、 )3,2,5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 . 解 221 MM ,14)12()31()47( 222 232 MM ,6)23()12()75( 222 213 MM ,6)31()23()54( 222 32 MM ,13 MM 原结论成立 . 例 2 设 P 在 x 轴上，它到 )3,2,0(1P 的距离为 到点 )1,1,0(2 P 的距离的两倍，求点 P 的坐标 . 解 设 P点坐标为 ),0,0,(x因为 P 在 x 轴上， 1PP 222 32 x ,112 x 2PP 222 11 x ,22 x 1PP ,2 2PP 112 x 22 2 x ,1 x 所求点为 ).0,0,1(),0,0,1( 思考题 在空间直角坐标系中，指出下列各 点在哪个卦限？ ,)3,2,1( A ,)4,3,2( B ,)4,3,2( C .)1,3,2( D A: ; B: ; C: ; D: ; 水桶的表面、台灯的罩子面等 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹 曲面方程的定义： 如果曲面 S 与三元方程 0),( zyxF 有下述关系： （ 1 ） 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （ 2 ）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程 0),( zyxF 就叫做曲面 S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形 曲面的实例： 曲面方程的概念 二、常见的空间曲面与方程 以下给出两例常见的曲面 . 例 1 建立球心在点 ),( 0000 zyxM 、半径为 R 的球面方程 . 解 设 ),( zyxM 是球面上任一点， RMM | 0根据题意有 Rzzyyxx 202020 2202020 Rzzyyxx 所求方程为 特殊地：球心在原点时方程为 2222 Rzyx 例 2 已知 )3,2,1(A ， )4,1,2( B ，求线段 AB 的 垂直平分面的方程 . 设 ),( zyxM 是所求平面上任一点， 根据题意有 |,| MBMA 222 321 zyx ,412 222 zyx 化简得所求方程 .07262 zyx 解 应该注意的是 ,对于一元方程或二元方程 F(x)=0 或 F(x,y)=0 则需根据不同的坐标系来确定它们的几何意义 .例 如 ,x=1,在数轴上 表示一个点 ,在平面直角坐标系下 ,它 是一条垂直与 x轴 ,且在 x轴上截距为 1的直线 ,而在空间直 角坐标系中 ,它是平行于 yOz平面且在 x轴上截距为 1的平 面 . 常见的空间曲面主要有 平面 、 柱面 、 二次曲面 等 . 1.平面 空间平面方程的一般形式为 ax+by+cz+d=0 (7.4) 其中 a,b,c,d为常数 ,且 a,b,c不全为零 .例如 ,当 a=b=d=0,而 c0时 ,得平面方程 z=0,也就是 xOy平 面 .若 a0,b0,c=d=0时 ,得平面方程 ax+by=0.该平 面垂直与 xOy平面 ,且 z轴在该平面上 . 2.柱面 设 L是空间中的一条曲线 ,与给定直线 l平行的 动直线沿曲线 L移动所得的空间曲面称为 柱面 ,L 称为柱面的 准线 ,动直线称为柱面的 母线 . 柱面的准线不是唯一的 ,柱面上与所有母线 都相交的曲线都可作为准线 . 我们只讨论母线与坐标轴平行的柱面 . 设 L是 xOy平面上方程为 f(x,y)=0的曲线 ,在空间 ,曲 线 L可以用联立方程组 ( , ) 0 0 f x y z 表示 . 例如 x2+y2=R2表示空间的一个圆柱面 ,它的母 线平行于 Oz轴 ,准线是 xOy平面上的 圆 . 2 2 2 0 x y R z 方程 x2 y2=1表示母线平行于 Oz轴 ,准线为 双曲线 22 1 0 xy z 的 双曲柱面 . 方程 y=2px2表示 抛物柱面 . 3.二次曲面 三元二次方程 a1x2+a2y2+a3z2+b1xy+b2yz+b3zx+c1x+c2y+c3z+d=0 (7.5) 所表示的空间曲面称为二 次曲面 ,其中 ai,bi,ci(i=1,2,3) 和 d均为常数 ,且 ai,bi不全 为零 . (1)球面 x2+y2+z2=R2 (R0) (7.6) (2)椭球面 2 2 2 2 2 2 1 ( , , 0) ( 7. 7 ) x y z abc a b c 当 a=b=c=R时 ,即为 球面 . (3)单叶双曲面 2 2 2 2 2 2 1 ( , , 0) ( 7. 8 ) x y z abc abc (4)双叶双曲面 2 2 2 2 2 2 1 ( , , 0) ( 7. 9) x y z abc abc (5)二次锥面 2 2 2 2 2 2 0 ( , , 0) ( 7. 10 ) x y z abc abc (6)椭圆抛物面 22 22 2 0 ( , 0) ( 7. 11 ) xy z a b ab (7)双曲抛物面 (马鞍面 ) 22 22 2 0 ( , 0) ( 7. 12 ) xy z a b ab 思考题 指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？ ;2)1( x ;4)2( 22 yx .1)3( xy 思考题解答 平面解析几何中 空间解析几何中 2x 422 yx 1 xy 平行于 y 轴的直线平行于 y o z 面的平面 圆心在 )0,0( ， 半径为 2 的圆 以 z 轴为中心轴的圆柱面 斜率为 1的直线 平行于 z 轴的平面 方程 三、平面区域的概念及其解析表示 设 P0(x0,y0)是 xOy平面上的一定点 ,0为一实 数 ,以 P0为圆心 ,以 为半径的圆的内部 D(P0)=(x,y)|(x x0)2+(y y0)20,使得 .则称 P0为 D的 内点 ;若 D的点都是内点 ,则称 D为 开集 . 0()D P D 边界、边界点 设 P0(x0,y0)为 xOy平面上的一点 , 若对任意 0,总存在点 P1,P2 D(P0),使得 P1 D,P2 ,则称点 P0为 D的 边界点 ;D的全体边 界点的集合 ,称为 D的 边界 . D 开区域、闭区域 设 D为一开集 ,P1和 P2为 D内任 意两点 ,若在 D内存在一条或由有限条直线段组成 的折线将 P1和 P2连接起来 ,则称 D为 连通区域 ,简 称为 区域 或 开区域 ;区域与区域的边界点构成的 集合称为 闭区域 . 有界区域、无界区域 若存在正数 R,使得 则称 D为 有界区域 ;否则 ,称 D为 无界区 域 .这里 DR(O)表示 O(0,0)为圆心 ,R为半径的开圆 , 即 ()RD D O DR(O)=(x,y)|x2+y2R2 例 7.3 画出下列区域 D的图形 : D1=(x,y)|2x2+y20 D3=(x,y)|x+y0