《空间曲面与曲线》PPT课件.ppt

第四节 一、几种常见的曲面及其方程 二、二次曲面 三、曲线 曲面与曲线 第 七 章 由两点间距离公式 1. 空间一 动点到定点的距离为定值 ， 该动点轨 迹叫球面 。 特别 ,当 M0在原点时 ,球面方程为 设轨迹上动点为 定值为 R， 定点 x y z o M 0M 表示上 (下 )球面 . Rzzyyxx 202020 )()()( 2202020 )()()( Rzzyyxx 2222 Rzyx 定点叫球心，定值叫半径。 例 2. 研究方程 解 : 配方得 5 ,)0,2,1(0 M此方程表示 : 说明 : 如下形式的三元二次方程 ( A 0 ) 都可通过配方研究它的图形 . 其图形可能是 的曲面 . 表示 怎样 半径为 的球面 . 球心为 一个 球面 , 或 点 , 或 虚轨迹 . x y z x y z o 2、柱面 . 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做 柱面 . 抛物柱面 , 椭圆柱面 . 12 2 2 2 byax 经过 z 轴的 平面 . 0 yx 以上的柱面母线 都平行于 Z轴 C C 叫做 准线 , l 叫做 母线 . x y z o o oC l M 1M 222 Ryx 圆柱面 x z y 2l 一般地 ,在三维空间 柱面 , 柱面 , 平行于 x 轴 ; 平行于 y 轴 ; 平行于 z 轴 ; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 母线 柱面 , 准线 xoy 面上的曲线 l1. 母线 准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线 表示方程 0),( yxF 表示方程 0),( zyG 表示方程 0),( xzH x y z 3l x y z 1l 一条平面曲线 3、旋转曲面 绕其平面上一条 定直线 旋转 一周 所形成的曲面叫做 旋转曲面 . 该定直线称为 旋转 轴 . 例如 : l 建立 yoz面上曲线 C 绕 z 轴旋转所成曲面 的 方程 : 故旋转曲面方程为 ,),( zyxM 当绕 z 轴旋转时 , 0),( 11 zyf ,),0( 111 CzyM 若点 给定 yoz 面上曲线 C: ),0( 111 zyM ),( zyxM 1221 , yyxzz 则有 0),( 22 zyxf 则有 该点转到 0),( zyf o z y x C 思考： 当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ 0),(: zyfC o y x z 0),( 22 zxyf 例 3. 试建立顶点在原点 , 旋转轴为 z 轴 , 半顶角为 的圆锥面方程 . 解 : 在 yoz面上直线 L 的方程为 绕 z 轴旋转时 ,圆锥面的方程为 )( 2222 yxaz x y z 两边平方 L ),0( zyM x y 例 4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程 . 解 :绕 x 轴旋转 12 22 2 2 c zy a x 绕 z 轴旋转 12 2 2 22 c z a yx 这两种曲面都叫做 旋转双曲面 . 所成曲面方程为 所成曲面方程为 z 二、二次曲面 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程 , 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法 : 截痕法 其基本类型有 : 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 的图形通常为 二次曲面 . F z xE y xD x yCzByAx 222 0 JIzHyGx (二次项系数不全为 0 ) 1. 椭球面 ),(12 2 2 2 2 2 为正数cbaczbyax (1)范围： czbyax , (2)与坐标面的交线：椭圆 , 0 12 2 2 2 z b y a x , 0 12 2 2 2 x c z b y 0 12 2 2 2 y c z a x 12 2 2 2 2 2 czbyax 与 )( 11 czzz 的交线为椭圆： 1zz (4) 当 a b 时为 旋转椭球面 ; 同样 )( 11 byyy 的截痕 及 也为椭圆 . 当 a b c 时为 球面 . (3) 截痕 : 1 )()( 212 2 2 1 2 2 2 2 2 2 zc y zc x c b c a cba ,( 为正数 ) z 2. 抛物面 zqypx 22 22 (1) 椭圆抛物面 ( p , q 同号 ) (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） zqypx 22 22 z yx特别 ,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面 . ( p , q 同号 ) z yx 3. 双曲面 (1)单叶双曲面 by 1)1 上的截痕为平面 1zz 椭圆 . 时 , 截痕为 2 2 1 2 2 2 2 1 b y c z a x (实轴平行于 x 轴； 虚轴平行于 z 轴） 1yy z x y ),(12 2 2 2 2 2 为正数cbaczbyax 1yy 平面 上的截痕情况 : 双曲线 : 虚轴平行于 x 轴） by 1)2 时 , 截痕为 0 czax )( bby 或 by 1)3 时 , 截痕为 2 2 1 2 2 2 2 1 b y c z a x (实轴平行于 z 轴 ; 1yy z x y z x y 相交直线 : 双曲线 : 0 (2) 双叶双曲面 ),(12 2 2 2 2 2 为正数cbaczbyax 上的截痕为平面 1yy 双曲线 上的截痕为平面 1xx 上的截痕为平面 )( 11 czzz 椭圆 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别 : 双曲线 z x yo 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 单叶双曲面 1 1 双叶双曲面 图形 4. 椭圆锥面 ),(22 2 2 2 为正数bazbyax 上的截痕为在平面 tz 椭圆 在平面 x 0 或 y 0 上的截痕为过原点的两直线 . z x yo 1 )()( 2 2 2 2 tb y ta x tz , x y z 内容小结 1. 空间曲面 三元方程 0),( zyxF 球面 2202020 )()()( Rzzyyxx 旋转曲面 如 , 曲线 0 0),(x zyf 绕 z 轴的旋转曲面 : 0),( 22 zyxf 柱面 如 ,曲面 0),( yxF 表示母线平行 z 轴的柱面 . 又如 ,椭圆柱面 , 双曲柱面 , 抛物柱面等 . 2. 二次曲面 三元二次方程 ),( 同号qp 椭球面 抛物面 : 椭圆抛物面 双曲抛物面 zqypx 22 22 双曲面 : 单叶双曲面 2 2 2 2 b y a x 1 双叶双曲面 2 2 2 2 b y a x 1 椭圆锥面 : 22 2 2 2 z b y a x 设有两块曲面 S1, S2, 它们的 方程依次为 : S1: F (x, y, z) = 0 S2: G (x, y, z) = 0 S1 , S2的交线 C上的点一定同时满足这两个方程 , 而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程 . 因此 0),( 0),( zyxG zyxF 即为交线 C的方程 , 称为 空间曲线 C的一般方程 . (2) 二、空间曲线及其方程 1. 空间曲线的一般方程 2S L 0),( zyxF 0),( zyxG 1S 2. 空间曲线的参数方程 将曲线 C上动点的坐标 x, y, z都表示成一个 参数 t的函数 . x = x (t) y = y (t) (3) z = z (t) 当给定 t = t1时 , 就得到 C上一个点 (x, y, z), 随着 t 的变动便可得曲线 C上的全部点 . 方程组 (2)叫做 空间曲线的参数方程 . 例 6: 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以 角速度 绕 z 轴旋转 , 同时又以线速度 v 沿 平行于 z 轴的正方向上升 (其中 ,v都是常数 ), 那末点 M 构成的图形叫做 螺旋线 , 试建立其 参数方程 . 解 : 取时间 t为参数 , 设当 t = 0时 , 动点位于 x轴上的一点 A(a, 0, 0)处 , 经过时间 t, 由 A 运动到 M(x, y, z), M在 xOy面 上的投影为 M (x, y, 0). x y z h A O M t M (1) 动点在圆柱面上以角速度 绕 z轴旋转 , 所以经过时间 t, AOM = t. 从而 x = |OM | cosAOM = acos t y = |OM | sinAOM = asin t (2) 动点同时以线速度 v沿 z 轴向上升 . 因而 z = MM = vt 得螺旋线的参数方程 x = acos t y = asin t z = vt 注 : 还可以用其它变量作参数 . x y z A O M t M y x z A O M t M 例如 : 令 = t. 为参数 ; 螺旋 线的参数方程为 : x = acos y = asin z = b .vb 这里 当 从 0变到 0 + 是 , z由 b 0变到 b 0+ b , 即 M点上升的高度与 OM 转过的角度成正比 . 特别 , 当 = 2 时 , M点上升高度 h = 2 b, h 在工程上称 h = 2 b为 螺距 . 3. 空间曲线在坐标面上投影 设空间曲线 C的一般方程 F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0 (4) 由方程组 (4)消去 z后得方程 H (x, y) = 0 (5) 方程 (5)表示一个母线平行于 z 轴的柱面 , 曲线 C 一定在柱面上 . x y z o o C 空间曲线 C 在 x O y 面上的 曲线 必定包含于 : 投影 H (x, y) = 0 z = 0 注 : 同理可得曲线在 yOz面或 xOz面上的 投影曲线方程 . 例 7: 已知两个球面的方程分别为 : x2 + y2 + z2 = 1 和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1 求它们的交线 C在 xOy面上的投影曲线的方程 . 解 : 联立两个方程消去 z ,得 0 1) 2 1(42 22 z yx 1)21(42 22 yx 两球面的交线 C 在 x O y 面上的投影曲线方程为 椭圆柱面 设一个立体由上半球面 和锥面 224 yxz )(3 22 yxz 所围成 , 求它在 xoy面上的投影 . 解 : 半球面与锥面的交线为 )(3 4 : 22 22 yxz yxz C 由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1 y x z O x2 + y2 1 于是交线 C 在 xoy面上的投影曲线为 x2 + y2 = 1 z = 0 这是 xoy面上的一个圆 . 所以 , 所求立体在 xoy面上 的投影为 : x2 + y2 1 例 8: 圆柱面 ) (