FIR数字滤波器的设计

第六章第 1讲 1 第六章 FIR数字滤波器的设计 FIR数字滤波器的性质 FIR滤波器的窗函数设计 FIR滤波器频率采样法设计 FIR数字滤波器的等波纹优化设计 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 2 1 FIR数字滤波器的性质 【 问题的引入 】 IIR数字滤波器 优点 ：能借助模拟滤波器已有成果设计； 简单方便 缺点 ：相位非线性 FIR数字滤波器 优点 ：严格线性相位；系统十分稳定（传输 函数为全零点型）；进行滤波时可采用 FFT 缺点 ：幅度特性较差；设计繁琐 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 3 1 FIR数字滤波器的性质 线性相位特性 设 FIR系统的单位脉冲响应为实序列 （长度为 N）， 则其 Z变换为： 1 0 )()( N n nznhzH )(nh 显然为关于 的 N-1阶多项式，它在 Z平面上有 N-1个 零点、在原点有 N-1个重极点。 1z 由第四章第 3节知，若 满足下面的 “ 偶对称 ” 或 “ 奇对称 ” 条件： 则 FIR滤波器将具有严格的 线性相位特性 。 )(nh )1()( )1()( nNhnh nNhnh 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 4 FIR数字滤波器的性质 下面推导 FIR滤波器的线性相位特性 偶对称情形 )1()( nNhnh n N n n N n znNhznhzH 1 0 1 0 )1()()( n N n NnN N n znhzznh 1 0 )1()1( 1 0 )()( )()( 1)1( zHzzH N 2 1 )( )( 2 1 )()( 2 1 )( ) 2 1 () 2 1 ( 1 0 2/)1( )1( 1 0 1)1( N n N n N n N nNn N n N zznhz zzznhzHzzHzH 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 5 FIR数字滤波器的性质 ) 2 1 (c o s )( |)()( 1 0 ) 2 1 ( N nnhe zHeH N n N j ez j j 其求和项全为实数 )()()( jj eHeH 即的形式和幅度函数表示成相位函数将 ,)()()( HeH j ) 2 1 ()( ) 2 1 (c os )()( 1 0 N N nnhH N n 则： 显然： 幅度函数是标量函数，可正可负；相位函数是 的 线性函数，且通过原点，即具有严格的线性相位特性 。 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 6 FIR数字滤波器的性质 奇对称情形： )1()( nNhnh n N n n N n znNhznhzH 1 0 1 0 )1()()( n N n NnN N n znhzznh 1 0 )1()1( 1 0 )()( )()( 1)1( zHzzH N )( 2 1 )()( 2 1 )( 2 1 ) 2 1 ( 1 0 ) 2 1 ( 1)1( N n N n N n N N zznhz zHzzHzH 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 7 FIR数字滤波器的性质 1 0 2 ) 2 1 ( 1 0 ) 2 1 ( ) 2 1 (s i n )( ) 2 1 (s i n )()( N n N j N n N j j N nnhe N nnhjeeH 显然： 相位特性同样为一 严格的直线，但在零点处 有 的截距。 2 2 ) 2 1 ()( ) 2 1 (s i n )()( 1 0 N N nnhH N n 则： 幅度特性 相位特 性 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 8 FIR数字滤波器的性质 2 1)()( N d d 即群延时 结论： 无论是奇对称或偶对称，其群延时均为常数， 等于 个抽样间隔。 2 1N 线性相位 FIR滤波器的幅频特性 分四种情况讨论 情形 1：偶对称， N取奇数 ) 2 1(c o s ) 2 11(c o s )1()( NnNnN nNhnh 且 中幅度特性 1 0 )2 1(c o s )()( N n NnnhH 的各项相对于 对称的项相等。 2/)1( N 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 9 FIR数字滤波器的性质 将相等项合并，因 N为奇数，余中间项 )2 1( Nh 2/)3( 0 1 0 ) 2 1 (c os )(2) 2 1 ( ) 2 1 (c os )()( N n N n N nnh N h N nnhH 令 ，则： nNm 2 1 2/)1( 1 c o s)2 1(2)2 1()( N m mmNhNhH 改换 记 法 2/)3( 0 c o s)()( N n nnaH 2/)1()0( Nha 2/)1(,2,1,2/)1(2)( NnnNhna 其中 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 10 FIR数字滤波器的性质 该类滤波器适合于设计任何关于 为偶对称 特性频率的滤波器。 2,0 ， 对 皆为偶对称，所以幅度函数 对 也是偶对称。 2,0 ， 2,0 ， ncos )(H 情形 2：偶对称， N取偶数 12/ 0 )2 1(c o s )(2)( N n NnnhH 则 与 情形 1推导相同 N为偶数， 余项 0)2 1( Nh 令 ，得： mNn 2 2/ 1 )21(c o s )2(2)( N m mmNhH 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 11 FIR数字滤波器的性质 改 换 记 法 2/ 1 )21(c o s )2(2)( N m mmNhH 2/ 1 )21(c o s )()( N n nnbH 其中 2,2,1),2(2)( NnnNhnb 因此这种情况不适合做在 处不等于零的滤波 器，如高通滤波器。 特点： 当 时， ，故 ， 即 在 z = -1 为零点，且由于 对 呈奇对称，因而 对 也呈奇对称。 0) 2 1(c o s m )(H 0)( H )(zH )21(c os m 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 12 FIR数字滤波器的性质 情形 3：奇对称， N为奇数 上式表明，当 时， ，相当于 在 z =1和 z = -1有两个零点，并且由于 对 呈奇对称，因而 对 也呈奇对称。 2,0 )(H 0)( H )(zH )sin( n 2,0 2,0 这种情况不适合做在 处为偶对称的滤 波器，如低通和高通滤波器。 2,0 推导方法与前面类似，可得： 2 1 ,2,1), 2 1 (2)( )s i n ()()( 2/)1( 1 N nn N hnc nncH N n 对 为奇对称， 2 1N 0) 2 1( Nh)(nh 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 13 FIR数字滤波器的性质 情形 4：奇对称， N为偶数 2 ,2,1), 2 (2)( ) 2 1 s i n ()()( 2/ 1 N nn N hnd nndH N n 这种情况不适合做在 处为偶对称的滤波 器，如低通滤波器。 2,0 上式表明：当 时， ，相当于 在 z=1处有一个零点；并且由于 对 呈奇对称、对 呈偶对称，因而 也对 呈奇对称、对 呈偶对称。 2,0 )(H 0)( H )(zH )2/1s in ( n 2,0 2,0 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 14 FIR数字滤波器的性质 下表给出了上述 4种类型的线性相位滤波器的 相位响应 、 时 域幅度响应 和 频域幅度响应 的示意图。 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 15 线性相位 FIR滤波器的零点特性 FIR数字滤波器的性质 )()( 1)1( zHzzH N 偶对称取 “ ” 奇对称取 “ ” 设 是 的零点， iz )(zH 0)()( 1)1( iNii zHzzH 1iz 则 也是 的零点。 )(zH 当 为实数时， 为实系数的多项式，此时 应 是共轭成对的，则 也是零点。 iz iz )(nh )(zH 对于一个实线性相位 FIR滤 波器，其零点相对于单位圆镜 像共轭成对。 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 16 FIR数字滤波器的性质 FIR滤波器的性能特点 FIR滤波器的主要优点 FIR滤波器能严格做到线性相位或群延时为常数，而 IIR滤波器只能逼近线性相位； FIR滤波器是全零点型滤波器，总是稳定的，不会因 滤波运算的舍入误差而产生极限环振荡现象。 对同样幅度相应的滤波器，用 FIR滤波器实现比用 IIR滤波器实现需要较高的节数，多达 5-10倍。 当滤波器的特性要求较高时，用 FIR滤波器来实现， 滤波过程需要较多的计算时间。 FIR滤波器的主要缺点 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 17 2 FIR滤波器的窗函数设计方法 1 0 )()( N n nznhzH jezj zHeH |)()( )( jd eH 设滤波器要求的理想频响特性为 , 则 FIR滤波器 的设计问题就在于： 寻求某一系统函数 ，使该系统频 响特性 逼近 ；若要求 FIR滤 波器具有 线性相位特性 ，则 必须满足上节所述的 奇对称或偶对称条件。 )( jd eH )(nh “线性相位 FIR滤波器”的常用设计方法 窗函数法（傅立叶级数法） 、 频率采样法 、 等波纹最 佳逼近法 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 18 窗函数设计的基本方法 FIR滤波器的窗函数设计方法 1、设计思想 在时域，设计 逼近理想 )(nh d)(nh设理想滤波器的单位脉冲响应为 ，则： deeHnh enheH jnj dd jn n d j d )( 2 1 )( )()( )(nhd 若 给定，即可求得 。但所求得的 为无限长且非因果。 )(nhd)( jd eH )(nhd 显然： 要得到一个 “因果的有限长的滤波器 ” ， 最直接的方法是截断 ，即用一个窗口函数 对 进行加窗处理，也就是： )(nhd)(nh d )(nw )(nh )()()( nwnhnh d 选择窗口函数的形状和长度 是窗函数法的关键。 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 19 FIR滤波器的窗函数设计方法 下面以理想低通滤波器为例说明其设计过程 deenh c c njaj d 2 1)( an an an an c c )( )(s in 为一 “ 以 为对称中心的、偶对称的、无限长的、 非因果序列 ” 。 设理想低通滤波器的频率响应 为： c c aj j d eeH 0)( )( jd eH 其中 为滤波器的 截止频率 ； 为 时 延常数 单位脉冲响应为： c a a 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 20 理想低通滤波器的单位脉冲响应及矩形窗截取 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 21 FIR滤波器的窗函数设计方法 2/)1( )()()( Na nRnhnh Nd 要得到有限长的 ，最简单的方法是用一长为 的矩 形窗 截断 。 )(nh N )()( nRnw N )(nhd 2/)1( Na 按照线性相位滤波器的要求， 必须偶对称，如上图。 对称中心必须等于滤波器的延时常数 )(nh 2、吉布斯（ Gibbs）效应 频率响应是单位脉冲响应的傅立叶变换 矩形窗截取后滤波器的频率响应为： jn d N n j enheH )()( 1 0 该式为有 限项， N越大，误差越 小。但对矩形窗截 取还存在 “ 吉布斯 （ Gibbs）效应 ” ， 这将使滤波器的特 性很差。 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 22 FIR滤波器的窗函数设计方法 下面从频域卷积的角度来分析由矩形窗所求得的滤波器的频率响应 deWeHeH jjdj )()(2 1)( )( 复卷积定理 )()()( nwnhnh d W eR j( ) j NjN n jn N j R e eenReW 1 1)()( 1 0 则 )2/s in ( )2/s in (2 1 Ne Nj jR eW )( 设矩形窗的频率响应为 )2/s in ( )2/s in ()( NW R 其中 为矩形窗的幅度响应 。如下图 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 23 FIR滤波器的窗函数设计方法 主瓣 旁瓣 旁瓣 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 24 FIR滤波器的窗函数设计方法 jdjd eHeH )()( c c dH 0 1)(则 H ed j( )将理想低通滤波器的频率响应 表示为： deWeHeH jRjdj )()()(2 1)( dWHe Rdj )()(2 1 H( ) )( jeH dWHH Rd )()(2 1)( 若用 代表所设计的低通滤波器 的幅度响应，则 : 可见： 设计的滤波器的幅度响应是矩形窗函数的幅度响 应与理想低通滤波器的幅度响应的卷积 （过程见下图） 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 25 FIR滤波器的窗函数设计方法 矩形窗的卷积过程 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 26 FIR滤波器的窗函数设计方法 加矩形窗处理后，对理想频率响应产生了以下两点影响： 使理想频率特性不连续点 =c 处，形成了一个 过 渡带 ，过渡带的宽度等于矩形窗的频率响应 WR()的主 瓣宽度 = 4/N 在截止频率 c的两边 =c 2/N 处（即过渡带 的两边）， H()出现 最大的肩峰值 ，肩峰的两侧形成起 伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的 快慢，则取决于 WR()波动的快慢。 若增加截取长度 N，则在主瓣附近的窗的频率响应为： W N N N xxR ( ) s i n ( / )s i n ( / ) s i n ( / )/ s i n 22 22 随着 x加大，函数曲线波动的频率加快，主瓣幅度加高，旁 瓣幅度也同样加高，主瓣与旁瓣的相对比例保持不变。 这个相对比例由 sinx/x决定 , 即由矩形窗函数的形状决定。 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 27 FIR滤波器的窗函数设计方法 因而，当长度 N增加时，只会减小过渡带宽 (4/N )，而不会 改变肩峰的相对值。 在矩形窗情况下，最大相对肩峰值为 8.95%， N增加时， 4/N减小，起伏振荡变密，但最大肩峰则总是 8.95%， 这就是吉布斯 (Gibbs)效应 。 wn( ) h nd ( ) 由于窗谱肩峰的存在，影响到 H()通带的平坦和阻带的 衰减，使阻带最小衰减只有 21dB左右，因此在实际中，矩 形窗很少采用。 为了消除吉布斯效应，取得较好频率特性，一般采用其 他类型的窗函数 ，对 进行加窗处理。 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 28 常用窗函数 FIR滤波器的窗函数设计方法 1、三角形窗 (Bartlett Window) 1 2 1 , 1 2 2 2 1 0, 1 2 )( Nn N N n N n N n nw )4/s in ( )4/s in (2)( NNNeW j 其频率响应为： 主瓣宽度为： N/8 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 29 FIR滤波器的窗函数设计方法 )()12c o s (121)( nRN nnw N ) 1 2 () 1 2 (25.0)(5.0)( )( ) 1 2 () 1 2 (25.0)(5.0)( ) 2 1 ( N W N WWW eW e N W N WWeW RRR aj N j RRR j 其频率响应 和幅度响应 分别为： )( jeW )(W 是三项矩形窗的幅度响应 的移位加权和，它 使旁瓣相互抵消，能量更集中在主瓣，但主瓣宽度比矩 形窗的主瓣加宽了一倍，为 N/8 )(W )(RW 2、汉宁 (Hanning)窗，又称升余弦窗 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 30 FIR滤波器的窗函数设计方法 )()12c o s (46.054.0)( nRN nnw N 其幅度响应为： 同汉宁窗的主瓣宽度 相同，但旁瓣幅度更小， 旁瓣峰值小于主瓣峰值的 1% N/8 )12()12(23.0)(54.0)( NWNWWW RRR 3、汉明 (Hamming)窗，又称改进的升余弦窗 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 31 FIR滤波器的窗函数设计方法 )()14c o s (08.0)12c o s (5.042.0)( nRN nN nnw N ) 1 4 () 1 4 (04.0 ) 1 2 () 1 2 (25.0)(42.0)( N W N W N W N WWW RR RRR 其窗函数中包含有余弦的二次谐波分量， 幅度响应为： 通过加入余弦的二次谐波分量，可进一步降低旁瓣，但 其主瓣宽度变为 N/12 4、布莱克曼 (Blankman)窗，又称二阶升余弦窗 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 32 下图为 N=31时， 矩形窗 、 三角窗 、 汉宁窗 、 汉明窗 及 布莱 克曼 这 5种窗口函数的包络曲线 FIR滤波器的窗函数设计方法 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 33 FIR滤波器的窗函数设计方法 下图为 N=51时 矩形窗 、 汉宁窗 、 汉明窗 及 布莱克曼 4种窗口 函数的幅度响应 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 34 FIR滤波器的窗函数设计方法 下图为 N=5时用 矩形窗 、 汉宁窗 、 汉明窗 及 布莱克曼 设计的 低通滤波器的幅度响应 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 35 FIR滤波器的窗函数设计方法 5、凯泽 (Kaiser)窗 10, )( )1/(211( )( 0 2 0 Nn I NnI nw 是一个可选参数，用 来选择主瓣宽度和旁瓣 衰减之间的交换关系， 一般说来， 越大 ,过 渡带越宽，阻带越小衰 减也越大。 2 1 0 )2(! 11)( k k x kxI I0()是第一类修正零阶 贝塞尔函数 一般取 1525项就可满 足精度要求。 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 36 FIR滤波器的窗函数设计方法 若阻带最小衰减表示为 As=-20lgs， 的确定可采用以下经 验公式： 50)7.8(1 1 0 2.0 5021)21(0 7 8 8 6.0)21(5 8 4 2.0 210 4.0 ss sss s AA AAA A 凯 泽 窗 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 37 FIR滤波器的窗函数设计方法 滤波器通带和阻带波纹相等即 p =s时，滤波器节数可 通过下式确定： 22 1 36.14 95.7l o g20 10 ps p F F N 式中 p、 s分别为数字低通滤波器的通带边频与阻带边频 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 38 FIR滤波器的窗函数设计方法 几种常用的理想滤波器 1、理想高通滤波器 an an an an nh e eH c HP c c aj j HP 1 )( )(s i n )( 00 )( 频率响应： 单位脉冲响应： 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 39 FIR滤波器的窗函数设计方法 an an an an an an nh e eH cc cc BP cc cc aj j BP 12 12 11 12 )( )(s i n )( )(s i n )( ,00 )( 频率响应： 单位脉冲响应： 2、理想带通滤波器 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 40 FIR滤波器的窗函数设计方法 an an an an an an an an nh e eH cc cc BP cc cc aj j BP 12 12 12 11 1 )( )(s i n )( )(s i n )( )(s i n )( 0 ,0 )( 频率响应： 单位脉冲响应： 3、理想带阻滤波器 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 41 FIR滤波器的窗函数设计方法 hn( )和低通时的情况一样，为了得到有限长的 ， wn( ) )(nh d 需用一长为 N的窗函数 截断 。 hn( ) 2/)1( N 按照线性相位滤波器的要求， 必须是偶对称的， 并且滤波器的时延常数 1)( H )( 因线性相位滤波器的幅度响应为： 相位响应为： 同时为了保证高通、带阻滤波器的可实现性， N必须为 奇数，这样 ,就必须为整数 . 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 42 FIR滤波器的窗函数设计方法 0 2 0 2)( jjd e f ejeH )( 频率响应： |)(| jd e f eH幅度响应： 相位响应： 4、理想线性相位线性差分滤波器 由于线性差分滤波器的幅度随频率作线性变化，在 w=0 处为奇对称。 为实现线性相位的特性，其单位脉冲响应 为奇对称且节数 N为奇数。即： n n nnh n d e f 0 )( )1( )( 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 43 FIR滤波器的窗函数设计方法 00)( j jeH j 为奇数 为偶数 n n n n nh n 2 0)1(1 )( 希尔伯特变换 器的频率响应： 单位脉冲响应： 5、理想线性相位希尔伯特（ Hilbert）变换器 N 12 对于 的有限长 N的实现，为了获得线性相位的特性， 其单位脉冲响应必须具有 的延时，为了保证 为 整数， N必须奇数 。 )(nh 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 44 为奇数 为偶数 )( )( 2 )(0 )( )1(1 )( n n n n nh n 0 2 0 2)( 此时实际的相位响应为： FIR滤波器的窗函数设计方法 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 45 FIR滤波器的窗函数设计方法 窗函数法小结与实例 H ed j( ) H ed j( ) 0 2 nkMjkMj d M k M eeHMnh 221 0 )(1)( h nd( )若得不到 封闭式或不能用上式计算 时，可对 在 到 间等间隔采样 M，用下式代替上 式的积分 deeHnh njjdd )()( 2 1 利用窗函数设计 FIR滤波器的过程可总结如下： 利用 ， 由给定的滤波器的幅频响应参数求出理想的单位脉冲 响应 。 )(nh d 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 46 FIR滤波器的窗函数设计方法 )(nhM当 M足够大时，就可保证 能足够好的逼近 h nd( ) h nd( ) )()()( nRrMnhnh Md r M )(nhM按照频率采样定理， 与 的关系为： ssA lg20 )(nw AN 按允许的过渡带宽度 及阻带衰减 ， 选择合适的窗函数 ，并估计节数 N： 其中 A由窗函数的类型决定。 2 1 N 确定延时值 （即滤波器的对称中心） )()()( nwnhnh d 求 jnN n j enheH )()( 1 0 必要时验算频率响应： 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 47 典 型 例 题 例 1 设计一线性相位 FIR数字低通滤波器 ,截止频率 ，过渡带宽度 ，阻带衰减 dB。 2.0c 4.0 40sA 解： )( )(s i n 2 1)( n ndeenh cjnj d c c )(nw 选择窗函数 ，估计节数 N。仅从要求阻带衰减 40sA dB来说，可选择 汉宁窗 、 海明窗 、 布拉克曼窗 或 凯塞窗 等，若再考虑从滤波器节数最小的原则出 发，可选择 汉宁窗 或 海明窗 。 204.0 8 AN 38.0218 亦可取 N=21，这时实际的过渡带宽将为： 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 48 典 型 例 题 102 1 N 确定延时值 )()()( nwnhnh hd )12c os (121 N n )( )(s in n nc )(nRN )10(2 )10(2.0s i n )1.0c o s (1 n nn )(21 nR )(nwh 采用汉宁窗 ，求得： jnN n j enheH )()( 1 0 求频率响应 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 49 典 型 例 题 显然： 在通带范围内其相位为 线性相位 的； 在阻带，滤波器满足了所要求的衰减特性。 幅 频 响 应 相 频 响 应 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 50 例 2 典 型 例 题 用凯塞窗函数设计一线性相位 FIR数字高通滤波器， 截止频率 ，阻带边频 ，外阻带 衰减 不小于 60 dB。 6.0c 3.0c sA dBA s 60 6533.5)7.8(1102.0 sA 15.02 3.022 psF 26136.14 95.7lo g20 10 FN p 确定节数 N ，由式（ 6 2 16），可 求得： 再 求得节数 N： 对于高通滤波器， N必须为奇数，故取 N=27 解： 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 51 132/)1( N 确定延时值 26,1,0 131 13 )13( )13(s i n )13( )13(s i n )( n n n n n n n nh c c HP 计算理想高通的单位脉冲响应 : )()()( nwnhnh kd 求高通数字滤波器的单位脉冲响应： )(nwk 计算凯塞窗函数 ，将所求 和 N值代入下式即可 10, )( )1/(211()( 0 2 0 Nn I NnInw k 典 型 例 题 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 52 典 型 例 题 幅 频 响 应 相 频 响 应 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 53 例 3 典 型 例 题 分别用矩形窗和布拉克曼窗设计一个线性相位的 希尔伯特变换器，取 N=29。 )()()( nwnhnh d 142/)1( N解 ： 计算对称中心： )(nhd 按式（ 6-2-9）计算理想 希尔伯特变换 器的 单位脉冲响应 计算实际 希尔伯特变换 器的单位脉冲响应 14 分别取矩形窗和按式（ 6-2-14a）计算关于 对称的按布拉克曼窗； 从以上的分析和例子可见窗口法设计的最大优点是十分简单实 用，其频域特性容易满足要求。 缺点是在大多数情况，设计所得的频响的边界频率往往不能严 格控制，同时等波纹最佳设计相比，由窗函数法设计的滤波器 长度往往较大。 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 54 典 型 例 题 用矩形窗设计的希尔伯特变换器（ N=29） 版权所有 违者必究 第六章第 1讲 55 用布拉克曼窗设计的希尔伯特变换器（ N=29） 典 型 例 题