立方和与立方差公式

第一阶梯例1我们来计算（a+b)(-b)=a2-ab+a-b2=a-b2，这就是说,两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做乘法的平方差公式,运用这个公式计算： ()（2+3y）（x-3y) ()（+2a）(1-）（)(x3+5y2)(23-5y） ()（-a2-b)（b-a2） 提示： 刚开始使用公式,运算格式可分两步走，第一步先按公式特性写出一种框架,如(1）(2xy)(2x-3y） =（ ）-( ）,第二步分析哪项相称于公式中的a,哪项相称于公式中的b，并在框架中填数计算。 参照答案:（)(x+y)(2-3y)（x）2-(y）24x2-y2 (2)(12a)(1-a） -(a)2=-a2 ()(23+5y2)(23-5y2）(2x3)2-（5y2)246-25y (4)（-b2)(b2-2)=(a-b)(-a+)=(a2)2-(b2）2=a4-b4 阐明： 平方差公式(ab）(a-）=2-b2的特性是： (1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相似,另一项互为相反数。（2）右边是乘式中两项的平方差：即用相似项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意: 公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式 一定要认真仔细地对题目进行观测研究,把不符合公式原则形式的题目加以调节，使它变化为符合公式原则的形式,如第（4）小题。 例2计算(b）2和（a-b）2,可知（ab)2=(a+)(a+b)a2+abab+b2a2+2ab+b2(-b)2(a-b）(a-）a2-ab-ab22-2a+2,即（ab)2=a2bb，这就是说，两数和（或差）的平方,等于它们的平方和,加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。运用这两个公式计算(1)(x+)2 （2）（2-y)2 (3）(3a+2b)2 (5) （-+2b)2 提示: 在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a,哪个数或式是b。 参照答案: (）(x5)=x2+5+52=x2+1x25（2)(-y）2=2-2y+2=-4y+y2 (3）(3a+b)2=(3a）23a2b(2b)=9a2+12+4b2 （5）（-a)2=(-a)2+2（-a)2+(2b）2=2-4ab+4b 阐明: 1、(+）2=aab+b2与（a-b）2=a2-a+b2都叫做完全平方公式,为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。 、这两个公式的构造特性是：左边是两个相似的二项式相乘,(即二项式的平方形式）,右边是三项式,是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时)或减去（这两项相减时)这两项乘积的2倍。 3、公式中的字母a、b既可以表达具体的数,也可以表达单项式或多项式等代数式。 4、只要符合这一公式的构造特性，就可以运用这一公式，在运用公式时,注意避免发生（ab）2=a2b2这样的错误。例3计算(b）(-bb）和(ab)(a2ab2)，可知（+b)（a-+b2)=a2-ba2+2b-2+b3=3+3,(ab)(a2+a+b)=a+a2b+b2-a2b-abb=ab3,即（ab)（a2ab+2)a3b,这就是说,两数和（或差)乘以它们的平方和与它们的积的差(或和)，等于这两个数的立方和（或差），这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式,运用这两个公式计算: （1)（+2)（x2-2x4); （)(3y)(3yy) ； （）(3x-4y)(9x212xy+12); （5)(3x2-2y2)(x46xy+4y4) 提示: 先弄清题目是用立方和公式还是用立方差公式计算,再弄清题目中哪个数或式是a,哪个数或式是b，最后再代入公式计算。 参照答案： ()(x+2)（x2-2x+)（x+2)(x2x+2)3+23=x3+8 （2)(-y)(93yy2）=(3-y)(+3y+2)=33-3=27-y3 (3)（x4y)(x2+12xy+162)(3x4y)（）+3x4y+(y2）（3x）3-（y）3=27x364y3 （5)（3x2-22)(9x4+622+44）=(32-22)(32)2+3xy2+（2)2=（x2)3-(y2）3=27x-86 阐明:1、注意对公式的理解和记忆（1)项数特性:两项乘三项积为二项,（2）符号特性:二项的因式若两项都为，则三项的因式符号为+，-，+,积的符号与二项因式的符号相似,二项的因式符号若为,-，则三项的因式符号为,+，+，积的符号与二项因式的符号相似，即是说公式在多种条件都相符的状况下，所得的积是两数的立方和还是两数的立方差，重要看乘积中第一种乘式是两数和，还是两数差。 、公式中的字母、b仍代表任意数或代数式。第二阶梯 例运用乘法公式计算:(1)(x)（x-3)(x2) (2) (a+b)(ab)(a2-b2) () （x)（2)（+16) (4) (-b）（a2+ab+b）(a6+a3b3+b) 提示:(1)小题可两次使用平方差公式; （2）小题先使用平方差公式,再使用完全平方公式; （3）小题先使用平方差公式，再使用立方差公式（4）小题两次使用立方差公式。 参照答案: (1)(x+3）(x-)（x2+9)=(x-9)(x+9)=(x2)-2=4-1 (2）(ab)(-b）（a-b2)(2b)(a2-2）=(a2-b2）2=(2)2-22b2（b2)4-2a2b2b4 (3)(x-2)(+2）（+4x2+16)=(x2-4)(x4+x2+16)=(x）343=x6-6(4）()(a2+ab+2)(6ab+b6）=(3-b3)（a6+a3b+b)(a）3-(b3）3=a9b9 阐明: 遇到多项式的乘法问题,一方面应看看与否符合某个乘法公式，若有恰当的公式使用可大大简化运算过程。 例2运用乘法公式计算: (1）(a+b+c)(a-b-c) (2） (a-2+3c)（a+2b-c) (3） (x+2y+z)2 （4）(2x-4z)2 提示: (1）（2)小题可运用平方差公式进行计算；（3)（)小题可运用完全平方公式进行计算。 参照答案：()（a+b+c)(a-b-c）+(b+c)a-(bc)=a2-(c)2=a2(b2bc+2)-b22c-c (2) (2+c)(a2b-3c）=a-（b-3c)+(2b-3c）=a2(2b-3c)2=a2-(b22c9c）=a2-4b2-12bc-2（3)（x+2y+z)x(2y+)=2+（2yz)+(2y+）2=24y+2x42+4z+2(4) (2-y-4z）2=2x(y+4z)=(x)2-22x（3+)+(13y+)2=4xx(+4z)（19y22y+6z2)=4x-2xy-16xz+2+4yz+162 阐明：进行多项式乘法运算时，一定要认真仔细地对题目进行观测研究，把不符合公式原则形式的题目加以调节。合适地添加括号,将有助于应用乘法公式,添加括号方式的不同,可一题多解,如(4)小题还可添加括号为（x-y）-z2,但得出的成果均相似。 例3运用乘法公式计算：（1）(x+1）(x-1)(x2+x+1）(x2x+1) （2）（a)(ab）(a2+a+b）(a2abb2) 提示: （1)小题前两个因式可运用平方差公式计算，后两个因式也可运用平方差公式计算，也可以将第一种因式与第四个因式结合运用立方和公式,第二个因式与第三个因式结合运用立方差公式(2)小题类似。 参照答案： （1)解法一: (+1)(x-1)（2+x+1)(x2x+1）(x2-1)（x2+)2-x2 =（x)(x4+2x2+1-x2） = (x2-1)(x4+2+1） = （x2-)(x）2+x2-1+12= (x2)3-1 x6-1 解法二：(x+1）（x-1)(x2+1）（x2-+1) = (x1）(x2x+1)(x-)(x2+x+1）=（x3+1)（x3-1)=(x3）2-12= x6- （) 解法一： (a+b）（a-b)（+b+2）(-ab） = (a2b2）(2+)-(a） = (2b2)(a+222+b4ab)= （a2b2）(a4+a2b2+4) =(a2)3-（b2)3= 6-b6 解法二: (ab）(a)(a2ab+b)(a2-abb2) = (a+b）(a2-b+b2)(a-b)(+abb）=(a3b3)(3-b3) = (a3)2(b)2 6b 阐明： 进行整式乘法运算时，要注意观测题目的特点，统观全局,恰本地选用所学的乘法公式或用乘法法则进行计算，以上两道小题的解法中，显然解法二先运用立方和,立方差公式,再运用平方差公式,这样做既简便又不易出错。第三阶梯 例 (1）化简化求值：（+2）(-2x4)+(-1)(2+1)，其中 (2）解方程:（x+1）(+1）（x1）-x（x-1)=0 提示： 用乘法公式进行化简 参照答案： （1)(x+)(x22x）(x-1)(x2x+) = x38x-= 2x+7 当时,（2）（2+1）2-(+)(x-1)-3x(-1)=解： （4x2+4x+1）（x21)-3x2+x=0 4x2+4+-x2+13x2+=0 7x=-2 阐明: 在化简求值和解方程的过程中,如果遇到多项式的乘法，应先观测能否运用乘法公式,如果能运用，诸多乘法就可直接应用公式写出成果,这充足简化了计算过程。 例已知a+=3,ab-8,求下列各式的值。 （1)a2+b2 (2) a2abb2 (3) (a）(4) ab3 提示: 由完全平方公式（a+b）a+2ab+b2，可知a2=(ab)2b,运用已知条件可求出a2+b2的值,再分别代入（2),（3）,（4），可求出（2）,(),（4)式的值。注意，第(4）小题应逆用立方和公式。参照答案： （1) 2+b2(a+b)2ab=32-2(-8)=9+16=25(2)a2-ab+b2a2+b2-ab25-（-8）=25+8=33(3)(b)2a-2abb2a+b2-2=252（-8)=2+6=41 (）3+b3=(a+b）(a2-a2）=(a+b）（a2+2-ab)=32-(-8)=3=99 阐明: 灵活运用公式变形和逆用公式,这些都是常用的解题技巧。 例若两个持续自然数的平方差是1，求这两个自然数的和？提示: 设一种自然数为，另一种自然数为+1，根据题意，列出方程，求出这两个自然数，进而求出它们的和参照答案： 解：设这两个持续自然数是x,x+1根据题意得， (x1)x =17 x2+2x+1x2=172x1=1 x=1 x=+1=8+19 x（x+1）8917 答:这两个自然数的和是7。阐明: 解方程时还可逆用平方差公式(x+1)2-2 =(+1+x)(x+1-x）=+ 四、检测题A组选择题1下列各式能用平方差公式进行计算的是()A（a+2）（-2) B(x-y)(y-x） C.D.(2xy)(x-2y）2.若6x+mx+81y2是一种完全平方式,则m的值为(）A.6.72C.-7D2 3a-7的一种因式是(） Aa23b9b2B.23ab+9b2C2-3ab+b22-3abb2 4若xy9,xy=16，则 2+y( ) .8B.7C.9 D145 填空题 1、(3+2y)=( ) = 9x4y2 2、（-+2a）(-12a)=（ )3、（.x)2=（ ) 4、x+x( )= 5、9x2-（ )+4y2=(3-7y)2 6、（2a+)(4a2-6ab+9b2)( )7、()(4-m2+1)=61 8、ab=(a+b)2- ( ) 9、(a+b）2=(-b）2+ ( ) 0、（p2-q）( )=6-q3B组 、计算: (1）(x2）(x2)(x2) (2)（x-)（x+y1） （3)(a+c)2 （4）（x+3)（x-3）（x-3x9)(x3+9） （5) (6）202 2、化简求值： 3、解方程：（x-3)2-(2x+1)2=(x+)（1-x)+92 答案: A组答案： 选择题 、B2、D 3、A 4、C填空题 1、x-2y 2、1a23、0.09x2+0.6xy+y24、 、4xy 6、8a3+b7、m2+1 8、a 9、ab 10、p4+2q+q2 组答案：1、(1)4-1 (2)x2-2+y1 (3)a2+2ab+b2+c2+2ac2b（4)x6-729 （6）40 2、-39 3、 、