空间中的垂直关系(带答案)

空间中的垂直关系 专项训练知识梳理一、线线垂直:如果两条直线 于一点或通过 后相交于一点,并且交角为 ,则称这两条直线互相垂直二、线面垂直：定义:如果一条直线和一种平面相交,并 且和这个平面内的_，则称这条直线和这个平面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一种平面，那么她就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面互相垂直,记作l.2.鉴定定理：如果一条直线与平面内的 直线垂直,则这条直线与这个平面垂直.推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也 于这个平面.推论：如果两条直线 同一种平面，那么这两条直线平行.点到平面的距离： 长度叫做点到平面的距离.三、面面垂直:1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面 ,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线 ,就称这两个平面互相垂直平面，互相垂直,记作2.鉴定定理:如果一种平面通过另一种平面的_,则这两个平面互相垂直.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一种平面内垂直于 直线垂直于另一种平面.四、求点面距离的常用措施: 1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，一般要借助于某个三角形.2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解.3.体积法：运用三棱锥的特性转换位置来求解题型一 线线垂直、线面垂直的鉴定及性质例1.如图,在四棱锥P-ABD中,A底面ACD,ABAD,ACC，ABC=60,PA=B=BC,E是PC的中点.求证：(1)CDAE;（)D平面AB.【变式1】已知：正方体BC1B11D1 ，A1=2,E为棱CC1的中点( ）求证：B1D1AE;( ） 求证：AC平面DE【解答】（)连接D，则BDB1D1,ABD是正方形,BDCE平面ABCD，BD平面ABCD，BD.又ACCC,BD面EE面AC，BDE,B1D1AE(5分）（)证明：取BB的中点，连接AF、CF、EF E、是1C、B1B的中点， CE1F且C=B1F, 四边形B1FCE是平行四边形, C B1E. 正方形1C中,E、F是、B的中点,FB且EFB又 BCAD且BC=AD， E FD且EFD 四边形AEF是平行四边形，可得AED, AFCF=C,BEED=E, 平面CF平面1D. 又 AC平面C，AC面BDE 【变式2】如图,已知四棱锥PBC,底面ABCD为菱形,PA平面BC,AC=0,点E、分别是D、PC的中点,点F在P上，且P：FD=2：.（)证明：A PB;( )证明:BG 面A【解答】（)证明：由于面ABC为菱形,且AB=60，因此 ACD为等边三角形,又由于是的中点,因此EAB又A平面ABCD，因此EP. 而BP因此E面AB,因此EB (）取P中点M，因此PM=M=D.连接MG，MGCF,因此MG面AC 连接BM，BD,设ABDO,连接O，因此BMO，因此BM面AFC.而BMMG=M因此面BM面AFC，因此BG面FC. 【变式】如图，四棱柱BCD1C1D1的底面BCD是正方形,O为底面中心，A1平面AC，AB=,1=2（1)证明：A BD(2）证明：平面1BD平面CD11；(3)求三棱柱ADA1D的体积【解答】(1）证明:底面ACD是正方形， A，又 A1O平面ABCD且B面CD, A1BD，又 1AC=O,1O面AA,AC面A1AC， B面A1AC,A面AAC, AA1BD.(2） A1B1B，ABD，A1B1CD，又A1B=CD，四边形1B1CD是平行四边形, A1DB1C，同理BC1, A1B平面1D,A1平面A1BD,CD1平面CD1B1,B1C平面1，且A1A1DA1，CD1B1C=C， 平面A1BD平面CDB1.（） AO面ACD, A1O是三棱柱AB1D1ABD的高，在正方形B中,O=在tAOA中，AA12，AO=1, =, V三棱柱BDA1B1D1=SABA=(）2= 三棱柱ABD1B1的体积为.【变式】如图，三棱柱ABA1C1中，侧棱1 底面ABC，BB=C=AA1=4,点F在1上,且C1=3FC,E是B的中点（)求证:平面CC1B（2）求四棱锥BC1FE的体积；（3）证明：B1F【解答】(1） AB=AC，E是BC的中点, E B在三棱柱AA1B1C1，中，BB1 AA1， BB1 平面ABC, AE平面ABC, BB1 AE，.（2分）又 BB1B=B，(分)B，平面BB1C1C， AE平面BB1C1C，.（分)(2）由(1)知，即E为四棱锥AB1FE的高,在正三角形BC中，EAB=2，在正方形BB1C1,中，C=BE=2,CF,=SCFE=4=11（6分）A=（7分）（)证明:连结B1F,由(1)得AE平面BB1C1C， BE平面B1CC,AEB1E，.（8分）在正方形BB11C，中，B1F=,1E=,EF, B2=BE+EF2, B1F.(分)又 AEEF，（10分），F平面AF， B1平面AE，.(11分) AF平面E， EAF.（12分）【变式5】如图，四棱锥PB中,PD 平面ABCD，底面BD为正方形，BC=PD2,E为的中点,G在C上,且C=CB(1）求证：PC BC；（2）求三棱锥CD的体积；（3）AD边上与否存在一点M，使得PA平面EG?若存在，求的长;否则，阐明理由.【解答】（1)证明:PD平面AB，PDBC.又ABCD是正方形，BCD又PDCD=，B平面PC又PC平面PCD,PCBC.（2) B平面PC， C是三棱锥DEC的高 E是C的中点, SEDSPDC(22)=1.CDEG=VGDECSDEC=1=.(3)连结C，取A中点O，连结EO、O,延长GO交A于点M，则PA平面MEG证明:E为PC的中点，O是AC的中点,OPA又平面ME，PA平面ME，PA平面MEG在正方形ABCD中，是AC的中点,C=PD=2，=C.OCO,AM=,所求AM的长为.【变式】如图所示,在三棱柱BCA1B11中,BB底面A1BC1，A1B1B11且AB1=B=BC1,D为AC的中点.( ）求证:A1AC1（ )在直线C上与否存在一点E，使得A1E平面A1B，若存在,试拟定点的位置;若不存在，请阐明理由【解答】（）证明：连接A1 BB1平面A11C1 B11BB1 B11且1B1B1=B1 平面1B1BA A1BC . 又 A1B1且AB1B1C=B1A1平面AB11 A1BAC1 （）存在点E在C1的延长线上且E=2CC1时，A1E平面A1BD.设ABa,CE2， ， ，,DE=, ,1EA1 A，BCC1,CCC=C， BD平面AC1A1 , 又A1E平面ACC1A1 1E BD. 又BD=D ， A1E平面1BD 【变式7】如图，在直三棱柱ABA1C1中,C=3，=4,AB=5，点D是AB的中点.（1)求证： BC1; ()求证:AC1 平面CD1.【解答】证明:(1）由于三棱柱ABCA1BC为直三棱柱,因此1 平面ABC,因此1AC又由于AC=3，=4,B=5,因此AC2+B2AB2,因此A.又1CBC=,因此C 平面CC1B1，因此AC BC1.（2）连结1B交C于E，再连结DE，由已知可得E为CB的中点，又D为AB的中点，DE为BAC1的中位线.AC1。又平面CDB1,AC平面CDB1AC1平面CD1【变式8】如图，直三棱柱ABA1B1C1中，A=2C=2BC，D是AA1的中点,D1()证明：CD B1C1；(2）平面CDB1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.【解答】(1)证明：由题设知,直三棱柱的侧面为矩形,由D为A1的中点，则CC1,又A1=C,可得D12+DC2=CC12，则CD 1，而CDB1，B1DDC=D,则CD 平面1CD，由于C1平面B1C1D，故CD B1C；()解:由(1）知，CD1C1,且B11CC,则1平面C1A,设V是平面DB1上方部分的体积,V是平面CDB1下方部分的体积,则V1=B1CDAC1=SCDA1CBC=B1C13=1C13,V=VBA1B1C=ACBCC1=BC13,则V2V1B1C13V,故这两部分体积的比为1：1【变式9】如图所示,在长方体BCAB1C11中，已知底面是边长为2的正方形,高为1，点E在1B上，且满足B1E=2B.（1)求证：D1EA1C;(2)在棱C上拟定一点F，使A、E、F、D1四点共面,并求此时1的长;（3）求几何体ABEDD的体积.【解答】(）证明:连结B11由于四边形A11D1为正方形,因此A1C1B1在长方体ABDA11CD1中，DD1平面A1B11D1,又1C1平面111D1，因此11C1由于DD1B1D1,DD1平面BB1DD，B1平面B1DD，因此A1C1平面BD1D.又1E平面BBD1D，因此1EA1C(4分)（）解：连结BC1，过作FBC1交B1于点F由于C，因此AD1E.因此A、D1四点共面.即点F为满足条件的点.又由于B=2EB,因此B1F2FC1,因此(分）（）解：四边形BEDD为直角梯形，几何体ABE1D为四棱锥ABED1D.由于，点A到平面BD1D的距离h=，因此几何体BED1D的体积为:=.（13分)题型二 面面垂直的鉴定例2.如图,在三棱锥PAC中，PA底面ABC，BC为正三角形,D、分别是BC、C的中点.(）求证:平面PBE平面PAC;（）如何在B上找一点F，使AD平面PEF？并阐明理由【变式1】如图，四边形AD为菱形，G为C与D的交点，BE平面BCD证明：平面C平面BED.【解答】证明:()四边形ABCD为菱形，ACBD，BE平面ABD,ABE,则平面ED，平面EC,平面AEC平面BE；【变式2】如图,三棱台DEFAB中,=2DE,G，H分别为A，B的中点(1）求证:BD平面FGH；（2)若CFBC,BBC，求证：平面BCD平面EH【解答】在三棱台EFABC中,B=2DE,G为AC的中点.，四边形CFG是平行四边形,DM又H=H,MHB,又B平面FG,M平面F，B平面FGH;证法二：在三棱台DEFABC中，AB=2D,H为BC的中点.,四边形BFE为平行四边形.BEHF.在AB中,G为A的中点，为BC的中点,GHAB，又GHH，平面FGH平面BED，BD平面ABED，D平面FGH.（I）证明:连接HE，,H分别为C，B的中点,GHAB，ABBC，GHC,又为BC的中点,EFHC,EF=HCFCH是平行四边形,CFHE.CBC，HBC又HE，GH平面GH，HGH=H，B平面EG,又BC平面B,平面BCD平面EGH【变式3】如图所示,已知A平面BCD,M、N分别是C、AD的中点，BCD求证：平面BCD平面AC.【解答】由于AB平面BD，CD平面BD,因此ABCD又CBC，BC=B，因此CD平面ABC.又C平面BC，因此平面C平面ABC.【变式4】如图,已知在四棱锥PACD中，底面ABC是边长为的正方形，AD是正三角形,平面PAD平面ABCD，E，F，G分别是P，PC，BC的中点.（1）求证:平面EFG平面PD；（2）若M是线段CD上一点，求三棱锥MEFG的体积.【解答】（）平面PAD平面ABCD，平面PD平面ABCD=D，平面ABC，CDADD平面PAD（3分）又PCD中,E、F分别是D、P的中点,FD，可得EF平面PDEF平面EG，平面FG平面PAD；(6分)（2）ED,E平面G，C平面E,CD平面EG，因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EG的距离，VMEDEFG，取AD的中点H连接GH、H，则EGH,EF平面PAD,H平面PAD，EFH于是SH=EEH=SEF，平面EFG平面PAD，平面FG平面PDE，HD是正三角形点到平面EG的距离等于正EHD的高,即为，（10分）因此，三棱锥MEFG的体积VMF=VEFG=EG=.（2分)【变式5】如图,已知A平面ACD，DB,AAC=D=2AB=2，且F是CD的中点,F=.(1)求证:AF平面CE；(2）求证：平面BE平面CD；(3）求此多面体的体积.【解答】证明：（)取CE中点，连接FP、,DE,且FP=又ADE,且AB=1，ABP,且A=FP，ABPF为平行四边形，AFBP(2分）又AF平面BC，BP平面，AF平面BCE（分)（2）证明：D=AC，F是的中点，因此A为正三角形，AFCDB平面ACD，EB,平面ACD，又AF平面ACD，DA.又ACD,CDD=D，AF平面CE.又BPAF,平面CDE又BP平面CE, 平面BCE平面E.（）此多面体是以C为顶点,以四边形BED为底边的四棱锥，等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高(12分)【变式6】如图，三棱柱AC1B11的侧面AA1BB为正方形，侧面B1C1C为菱形，CB1=60，ABB1C(I）求证：平面A1B1平面B1C1C;(II)若AB2,求三棱柱BCAB1C体积【解答】（）证明:由侧面AA1BB为正方形，知AB1又C,BBBC=B1，AB平面BB1C1C，又AB平面A1B1B，平面AA1B1BBC1.(）由题意,C=CB1，设是B1的中点,连接CO，则COBB1由()知,O平面AB11A,且C=B=A=.连接AB1，则=O=AB2CO=，三棱柱=2【变式7】如图，四边形ABD为梯形，ACD,P平面AB,BADADC=9，DC2AB=2a,DA=,E为中点.（1)求证：平面PB平面E;（2）线段PC上与否存在一点F,使平面BDF?若有，请找出具体位置，并进行证明；若无,请分析阐明理由.【解答】(1)证明:连结BD，AD=0，；BD=D=a，E为BC中点，BCDE；又D平面ABC，BC平面ABC;B,DEPD=D;B平面PE；BC平面PC,平面BC平面PE;(2）如上图,连结C,交BD于O点,则：ACO；DCAB;；在P上取F，使;连接O,则OPA,而OF平面BF,平面BDF；PA平面BDF题型三：面面垂直性质应用例.如图所示，在四棱锥ABC中,底面BD是DAB=0且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABD，若为AD边的中点（1）求证:BG平面PD；（2)求证:ADB.【变式1】如图，已知在四棱锥PABCD中,底面ABD是边长为4的正方形,PA是正三角形,平面AD平面ABD,G分别是PD，PC，B的中点.(1）求证:平面EFG平面PA；（2）若M是线段CD上一点，求三棱锥EFG的体积【解答】(1)平面D平面ACD,平面PAD平面ABCDAD，CD平面BD,CDAD，CD平面PAD。又PC中,E、F分别是D、PC的中点，EFCD,可得EF平面PA F平面FG，平面EFG平面PAD。（2）FD，EF平面EF，C平面EF，D平面E，因此CD上的点M到平面FG的距离等于点D到平面FG的距离，VMEFGVDEFG，取D的中点H连接GH、EH,则EFH，F平面PAD,EH平面PAD,EFEH于是SFHEFEH2SFG,平面EFG平面PA,平面FG平面PADE，HD是正三角形,点D到平面G的距离等于正E的高，即为, 因此，三棱锥EFG的体积VEG=VEFGEFG=. 【变式2】已知点P是菱形ABCD外一点，DA0,其边长为，侧面PA是正三角形，其所在平面垂直于底面ABD,为AD的中点.(1)求证:APB;(2)若为BC边中点,能否在棱PC上找一点,使平面EF平面ABCD.并证明你的结论. 解析（1)证明:连接BG、PG.四边形C是菱形且DB0.BGA.又PD为正三角形,且G是A中点,PGD.PBGG,A平面PB.又P平面BG,APB.（)当F是C中点时，平面DEF平面ACD.证明如下：取PC的中点F,连接DE、EF、DF.在PB中，E.在菱形ABC中，BGDE.平面DEF平面PG.平面PAD平面ABCD，PGAD.G平面BCD.又P平面PGB.平面PG平面ABCD.平面DEF平面ABCD.题型四 求点面的距离例4.如图,已知在长方体ABD-1BC1D1中,棱 A=5，B12,求直线1C1到平面BCD1的距离.【变式】如图,在四棱锥PABCD中,底面AD是正方形，A平面C,P=A=1,E,F分别是PB，C的中点.（)求证：A P；（ )求点到平面BD的距离【解答】(）证明: APAB,是PB的中点, AEB，PA平面CD， A BC，B C且AB=ABC平面PA,A平面PA, BC，BBC=B,E平面PC, PC(6分)(）解:设点A到平面PB的距离为d，运用体积法，点A到平面PBD的距离为. 课后作业1. 对于任意的直线l与平面，在平面必有直线m与l （ )A. 平行 .相交 C垂直 互为异面直线2.若平面平面,点，则下列命题中的真命题有 ( ）过垂直于l的平面垂直于； 过P垂直于l的直线在内;过P垂直于的直线平行于; 过垂直于的直线在内A. . .空间四边形BCD中，若ADBC，BDD,那么有（)平面ABC平面 B.平面AB平面B平面ABC平面BDC D.平面ADC平面BDC4.若m，n是两条不同的直线，,，是三个不同的平面，则下列结论中对的的是( ) 若m，,则 B.若m ,=,n, 则 . 若m,则 D若，则6.如图所示,四棱锥PABCD的底面BCD是边长为的正方形，侧棱PAa，PB=PD,则它的5个面中,互相垂直的面有 对.7.三个平面两两互相垂直,它们的交线交于一点O,到三个平面的距离分别是3,，5，则OP的长为_. 已知空间四边形BCD中,AC=AD，BC=BD，且E是CD的中点.求证:(1) 平面ABE平面CD； (2） 若F是B的中点,BC=AD,且8,AE=10,求EF的长.BCDAE9直角三角形AC所在平面外一点S,且SA=SB=,D为斜边C中点.DSCBA ()求证:SD平面AB； （)若B=BC，求证:BD面S.10. 在正方体中,M为棱的中点,AC交B于, 求证:平面BM.11. 已知直三棱柱中,为等腰直角三角形，且，分别为的中点 （1）求证:平面；（2)求三棱锥的体积