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第八节 微分在近似计算 中的应用 一、计算函数增量的近似值 二、计算函数的近似值 三、小结 )()( 0 xoxxfy 当 x 很小时 , )()( 00 xfxxfy xxf )( 0 得近似等式 : 一、计算函数增量的近似值 则处的导数在点若 ,0)()( 00 xfxxfy 例 1 ? ,05.0,10 问面积增大了多少 厘米半径伸长了厘米的金属圆片加热后半径 解 ,2rA 设 .05.0,10 厘米厘米 rr rrdAA 205.0102 ).( 2厘米 二、计算函数的近似值 ;)(.1 0 附近的近似值在点求 xxxf )()( 00 xfxxfy .)( xxf .)()()( 000 xxfxfxxf )( 很小时x 使用原则 : ;)(,)()1 00 好算xfxf .)2 0 靠近与 xx xxx 0令 )()()( 000 xxxfxfxf 例 2 .0360c o s 的近似值计算 o 解 ,cos)( xxf 设 )(,si n)( 为弧度xxxf .2 3)3(,21)3( ff )3 6 03c o s (0360c o s o 3603s i n3c o s 3602 3 2 1 .4924.0 ,3 6 0,30 xx ;0)(.2 附近的近似值在点求 xxf .)0()0()( xffxf ,)()()( 000 xxfxfxxf .,00 xxx 令 常用近似公式 : x1 很小 ) x( 证明 : 令 )1()( xxf 得 ,1)0( f )0(f ,很小时当 x 常用近似公式 )( 很小时x .)1l n ()5( ;1)4();(t a n)3( );(si n)2(;1)1()1( xx xexxx xxxxx x 为弧度 为弧度 例 2 .计算下列各数的近似值 解 .)2(;5.998)1( 03.03 e 33 5.110005.998)1( 3 )1 0 0 05.11(1 0 0 0 3 0015.0110 )0015.0311(10 .995.9 03.01)2( 03.0 e .97.0 三、小结 ,)()()( 000 xxfxfxxf 近似计算的基本公式 .)0()0()( xffxf 00 xxxx dyy .)( 0 xxf ,很小时当 x ,0时当 x ),()()()( 000 xxxfxfxf 或 一、 填空题： 1 、 利 用 公 式 )()()( 000 xxxfxfxf 计算 )( xf 时，要求 _ 很小 . 2 、 当 0 x 时 ， 由 公 式 dyy 可 近 似 计 算 _ _ _ _ _ _ _)1l n ( x ； _ _ _ _t an x ，由此得 ； _002.1ln . 练 习 题 二、 利用微分计算当 x 由 45 变到 0145 , 时，函数 xy co s 的增量的近似值 ( 0 1 7 4 5 3.01 弧度 ). 三、 已知单摆的振动周期 g l T 2 ， 其中 980g 厘 米 / 秒 2 ， l 为摆长 （单位为厘米），设原摆长为 20 厘米，为使周期 T 增大 0.05 秒，摆长约需加长多 少？ 四、 求近似值： 1 、 136t an ； 2 、 50 02.0arc s i n ； 3 、 3 996 . 一、 1 、 0 xx ； 2 、 002.0,0 1 3 0 9.0, xx . 二、 0021.0 2160 2 . 三、约需加长 2.23 厘米 . 四、 1 、 - 0.96509 ； 2 、 7430 o ； 3 、 9.9867. 五、 1.9953. 六、 3%. 七、 00056.0 ( 弧度 )= 551 . 练习题答案
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