动力学达朗贝尔原理

6-1 惯性力 质点的达朗贝尔原理 6-2 质点系的达朗贝尔原理 第 6章 达朗贝尔原理 结论与讨论 习题 6-3 刚体惯性力系的简化 6-4 绕定轴转动刚体的动约束力 第 6章 达朗贝尔原理 质点的达朗贝尔原理 Nm FFa 0 aFF mN 0 IN FFF Im Fa 作用在质点上的主动力、约束力和虚 加的惯性力在形式上组成平衡力系。 I l n b mg T n IF 解：取小球为研究对象 受力分析、加惯性力列平衡方程 si n nITF mgT c o s 2 s in n In vF m a m l 1 . 9 6 N , 2 . 1 m / sTv 0nF 0bF 例一 小球作匀速圆周运动，质量 m=0.1kg， l =0.3m， =600 。 求 :绳的拉力及小球的速度。 第 6章 达朗贝尔原理 质点的达朗贝尔原理 第 6章 达朗贝尔原理 质点系的达朗贝尔原理 0 IiNii FFF 0)( Iiei FF 0)()( )( IiOeiO FMFM 0)()( Iiiiei FFF 质点系的达朗贝尔原理：作用在质点系上的外力与虚 加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。 第 6章 达朗贝尔原理 质点系的达朗贝尔原理 解： 取 1/4飞轮为研究对象，由对称性可 知受力分析如图。添加惯性力后由 静力平衡方程有： 0 xF 20 2 c o sd2 RRRm 0 AF 2 2mR F A 用相同方法 计算 FB 由于截面对称，任一横截面张力相同。 例一 飞轮质量为 m，半径为 R，以匀角速度 转动，轮缘较薄， 质量均匀分布，轮辐质量不计。求轮缘横截面上的张力。 第 6章 达朗贝尔原理 例二 滑轮半径为 r，质量 m均匀分布在轮缘上，绕水平轴转动。 轮缘上跨过的软绳的两端各挂质量为 m1和 m2的重物，且 m1 m2 。绳的重量不计，绳与滑轮之间无相对滑动，摩擦不 计。求重物的加速度。 2m 1m 取整个质点系为研究对象：受力分析、加惯性力 IiF nIiF 1IF 2IF a NF gm2 mg gm1 amFamFamF iIiII , 2211 0)( 2211 rFrgmFFgm IiII g mmm mma 21 21 0)( 2211 armrgmamamgm i a r mmararm ii 0)( FM O 质点系的达朗贝尔原理 第 6章 达朗贝尔原理 刚体惯性力系的简化 二、刚体作定轴转动 一般取定轴 O为简化中心 iiIR m aF Cm a m m ii C rr )( nCCm aa )( IiOIO FMM iii rrm OJ 一、刚体作平动 iiIi m aF iiIR m aF Cim a Cm a 平动刚体惯性力系简化为通过质心的合力 刚体作定轴转动时 ,惯性力系简 化为通过 O点的一力和一力偶。 惯性力系简化为平面内一个力和一个力偶：惯性力通过质心， 大小等于质量与质心加速度的乘积， 方向与质心加速度方向 相反；惯性力偶矩大小等于通过质心且垂直于平面的轴的转动 惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度的转向相反。 第 6章 达朗贝尔原理 刚体惯性力系的简化 三、刚体作平面运动 一般取质心 C为简化中心 CIR m aF )( iiCIC m aMM )( iiC m aM CJ )( niiC m aM 刚体对轴的转动惯量 2 iiz rmJ mz dmrJ 2 2 zz mJ 在工程中，常将转动惯量表示为 22 0 1 3 l z mJ d x x m l l 2 3 1 mlJ z 设杆长为 l,单位长度的质量为 m/l: 1、均质细直杆对 z轴的转动惯量 2、均质薄圆环对中心轴的转动惯量 ： 设杆质量为 m 222 mRmRRmJ iiz 2mRJ z mz dmrJ 2 2mdJJ zCz 2121 mlJ z 3、均质薄圆板对中心轴的转动惯量： 设圆板半径为 R，质量为 m， 单位面积的质量为 mz dmrJ 2 Aii drrm 2 22 0 2 12 mRrdrrJ R Az 2R m A 2 2 1 mRJ z 4、均质薄圆板对直径轴的转动惯量： 21 4zJ m R 试求 :各均质物体对其转轴的转动惯量。 21 3OJ m l 2 2 21 1 1() 1 2 6 9OJ m l m l m l 2 2 21 1 5( 2 ) ( 2 ) 3 1 2 3OJ m a m a m a 2 2 213 22OJ m R m R m R （ a ） （ b ） （ c ） （ d ） 均质圆盘作定轴转动。试对图示四种情形向转轴进行惯 性力系的简化。 2IF m r 2nIF m r IF m r 23 2I mrM 2 2I mrM 第 6章 达朗贝尔原理 刚体惯性力系的简化 两种情形的定滑轮质量均为 m，半径均为 r。图 a中的绳所受 拉力为 W；图 b中块重力为 W。试分析两种情形下定滑轮的角 加速度、绳中拉力和定滑轮轴承处的约束反力是否相同。 WrJ O a Wrmr a221 mr W2 a 0OxF WF Oy 2 b 1 2IOM m r bI WWF a r gg a b T I F W 0OM 0II WrrFM O )2( 2 b Wmgr Wg WWmg mgagWWT 2b Wmg m gW F F Oy Ox 2 0 OyF OxF OyF OxF WTa 例三 均质圆盘质量为 mA，半径为 r，细长杆的长 l=2r，质量为 m。 杆端点 A与圆盘光滑铰接。如在 A处加一水平力 F使盘做纯 滚动。问：力 F多大能使 B端刚刚离开地面？又为保证纯滚 动，盘与地面间的静滑动摩擦系数应为多大？ 第 6章 达朗贝尔原理 刚体惯性力系的简化 解： 取杆为研究对象，受力分析 和运动分析如图，添加惯性 力后由静力平衡方程有： 0)( FAM 30s inrma A ga A 3 030c o s rmg 第 6章 达朗贝尔原理 刚体惯性力系的简化 再取轮和杆系统为研究对象，受力分析和运动分析如图，添 加惯性力后由静力平衡方程有： 0 DM ( ) 0SAF F m m a 0 xF gmmF AN )( 3 2SA F m g 0 yF c o s 3 0 s in 3 0 0 I A I IC F r F r M m g r Fr 33 ( ) 2 AF m m g 由静滑动摩擦关系有： NSS FfF )(2 3 mm m F Ff A A N S S 1 矩形块质量 m1=100kg， 置于平台车上 ， 车质量为 m2=50kg， 此 车沿光滑的水平面运动 ， 车和矩形块在一起由质量为 m3的物块 牵引 ， 使之作加速运动 。 设矩形块与车之间的摩擦力足够阻止相 互滑动 ， 求能够使车加速运动而 m1块不倒的质量 m3的最大值 ， 以及此时车的加速度大小 。 T 3IF 3mg 33IF T m g )(3 agmT 2 1 2 5.01 11 amgmT )( )2(25 3 ag agm 021 amamT 3 1 4 5 0 k N ag m 0 xF 33IF T m g T 1IF 2IF gm1 gm2 A 2 圆柱形滚子质量为 20kg，其上绕有细绳，绳沿水平方向拉出， 跨过无重滑轮 B系有质量为 10kg的重物 A，如滚子沿水平面只滚 不滑。求滚子中心 C的加速度。 11IF T m g a a )(1 agmT r a 2 22 2 2 2 11, 2 2 2 4II ma aF M m r m a r r T 1IF m1g T 2IF IM m2g D 0)( FM D 2 2IIM F r r T ragmrmaarm 2)(241 122 ga 74 ga C 72 向质心 C简化 3 汽车总质量为 m， 以加速度 a作水平直线运动 。 汽车质心 G离地面 的高度为 h， 汽车的前后轴到通过质心垂线的距离分别等于 c和 b。 求其前后轮的正压力及汽车应如何行驶方能使前后轮的压力相等 。 A B IF NAF NBF mg 0)( FM A 0)( FM B ()N B IF b c m g b F h ()N A IF b c m g c F h () NB m g b a hF bc () NA m a h g cF bc NANB FF ghcba 2 4 长方形匀质平板 ， 质量为 27kg， 由两个销 A和 B悬挂 。 如果突然撤 去销 B， 求在撤去销 B的瞬时 ， 平板的角加速度和销 A的约束反力 。 0)( AM 220 . 2 0 . 1 5 0 . 12IIM F m g 220 . 2 0 . 1 5 2IFm 0X s i nxIFF 0Y c o syIF F m g IF IM 24 7 r a d / s , 9 5 . 3 4 N , 1 3 7 . 7 2 NxyFF a ICMJ 向转轴 A简化 IAMJ 5 6 2 5.0) 2 15.02.0( 222 mJJ CA 0)( AM 0 .1IM m g 24 7 r a d / s 6.158 4.26 1 5 8 . 6 0 . 6 9 5 . 2 N 1 3 7 .7 2 NyF xF yF mg IF IM 向质心 C简化 F C 5 均质板质量为 m，放在两个均质圆柱滚子上，滚子质量均为 m/2，半径为 r。板上作用一力 F，滚子无滑动。求板的加速度。 F C 1 2 300I S SX F F F F 0)( FM A 2 2 2 20I I SF r M F r 0)( FM B 3 3 3 20I I SF r M F r 2 2 1 20 2 2 2 2 2 S m a m ar r F r r maF S 16 3 2 01632 mamaF mFa 118 取板为研究对象 取滚子为研究对象 maF S 1633 2IF 3SF 2SF A B 3I F 2IM 3IM 1IF 2sF 3SF a 6 曲柄 OA质量为 m1， 长为 r， 在力偶矩 M 作用下以等角速度 绕水平的 O轴反时针方向转动 。 曲柄的 A端推动水平板 B， 使质 量为 m2的滑杆 C沿铅直方向运动 。 忽略摩擦 ， 求当曲柄与水平 方向夹角为 30 时的力偶矩 M的值及轴承 O的反力 。 m1g m2g 1IF 2IF Fx Fy 2 11 1 2IF m r A aa ea ra 2 2 130s in raa ae 2 2 2 2 1 2IeF m a m r 0)( AM 13 1 32 2 2 2xyrM m g F r F r 2 11 330, 24x x IF F F m r )2(41)( 21221 mmrgmmF y rrmgmmM )2(4 3 2221 F 1 2 2 1 10 , ( ) 2y y I IF F m m g F F 取 OA杆为研究对象 取整体为研究对象 7 曲柄摇杆机构的曲柄 OA长为 r，质量 m，在力偶 M(随时间而变化 ) 驱动下以匀角速度 转动，并通过滑块 A带动摇杆 BD运动。 OB铅 垂， BD可视为质量为 8m的均质等直杆，长为 3r。 不计滑块 A的质量 和各处摩擦；图示瞬时 OA水平、 。求此时驱动力偶矩 M的值 和 O处反力。 0 o30 av ev rv aa nea ea Ca ra 2IF 2nIF 2IM BxF ByF 8mg AF 0rv a 02 1 rv e 02 3 rv r 04 1 e 20ra a 2 04 32 rva reC eCa aaa 30c o s 2 04 3 ra e 2 0 3 28 ea r 1IF OyF OxF mg AF 20ra a 2 08 1 ra n e 2 04 3 ra e 2 08 3 取 OA杆为研究对象 rmgrFM A 2130s in 取 BD杆为研究对象 0 BM 2 328 4AIr F m g r M 2 02 333 mrmgF A m g rmrM 24 33 202 0 0 x y F F 2 0 1 1 3 3 42OxF m r m g 2 0 3 3 5 42OyF m r m g 2m 8mg mg 0OM 22 20 13( 8 ) ( 3 ) 38IM m r 2 0 1c o s 6 0 3I B B A F m a m r CAa AaO A B 0 M F C 1IF 2IF IM IoF IBF Aa Ba Aa BAa 8 已知 OA=r，质量为 m， AB=2r，质量为 2m，滑块质量为 m。 OA杆匀速转动，角速度为 0，滑块运行阻力为 F。不计摩擦， 求滑道对滑块的约束反力及驱动力偶矩 M。 20ra A BAAB aaa ABA aa 3 2 2 03 1 BA203 1 ra CA 加惯性力 2 0 1 2IoF m r 2102IF m r 2 20 2 3IF m r 22 0 22 0 11 ( 2 ) ( 2 ) 12 3 2 33 I MJ mr mr 运动分析 取 AB、 滑块为研究对象 0)( FM A 21 3 ( ) ( 2 ) 2 ( ) 3 0 I I I B I B M F F F r m g F r m g N r 取 OA杆为研究对象 ( ) 0OMF FmgmrN B 31292 20 0Axr F M 22 0 2 3M m r F r A B C 1IF 2IF IM IBF mg 2mg F CAa AaO A B 0 M F C IoF 1IF 2IF IM IBF Aa 0 xF 2 s in 3 0 0A x I I BF F F F NB AxF AyF IoF M AxF AyF OxF OyF mg 小 结 1质点的 惯性力 定义为 amF I 2 质点的达朗贝尔原理 ：作用在质点上的主动力、 约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。 0 IN FFF 如果在质系的每个质点上都加上惯性力，则质系处 于平衡，这就是 质系的达朗贝尔原理 。 3根据达朗贝尔原理，可通过加惯性力将动力学问题 转化为静力学问题，这就是动静法。用这种方法解题 的优点是可以充分利用静力学中的解题方法及技巧。 4.刚体的惯性力是分布力系 ,向固定点简化的结果 CIR amF 定轴转动 : (1) 惯性力系向转轴上任一点 O简化 , 结果为一主矢和一主矩； 主矩 : ,与简化中心有关。 I z OMJ 平面运动 : CIR amF CIC JM 刚体平动：简化结果是一个力，加在质心上 主矢 : ,加在转轴的 O点上，与简化中心无关。 CIR amF (2) 惯性力系向质心简化 , 主矢 : ,加在质心上；主矩 : CIR amF I c CMJ 第 6章 达朗贝尔原理 绕定轴转动刚体的动反力 一、一般情形刚体做定轴转动惯性力系的简化 惯性力系构成一空间力系，向转轴 上任选的一点 O简化得主矢与主矩 iiIR m aF Cm a )( IiOIO FMM 注意到定轴转动刚体上一点的速度 和加速度关系： ii rv iii vra 第 6章 达朗贝尔原理 绕定轴转动刚体的动反力 )( iiiIO m arM )( iii m vr )( iii m rr iiii m rrr 2)( rr iiim )( 第 6章 达朗贝尔原理 绕定轴转动刚体的动反力 kjirk zyxi jiM zxmyzm iiIO 2 ji 22 zxyz JJ rr iiim )( CIR m aF ji 22 CC mymx 第 6章 达朗贝尔原理 绕定轴转动刚体的动反力 二、刚体做定轴转动的轴承反力 附加惯性力系后可由空间平 衡方程解得约束反力： 1A x y R x I y I xF M F O B M F O BAB 1A y x R y I x I yF M F O B M F O BAB 1B x y R x I y I xF M F O A M F O AAB 1B y x R y I x I yF M F O A M F O AAB RzBz FF 第 6章 达朗贝尔原理 绕定轴转动刚体的动反力 第 6章 达朗贝尔原理 绕定轴转动刚体的动反力 0 IyIx MM 0 IyIx FF 0Ca yzxz JJ 刚体绕定轴转动时，避免出现轴承附加动反 力的条件是： 转轴通过刚体的质心，刚体对转轴的惯性积 等于零。 习题 本章习题 6- 1 2 3 习题要求 1）基本公式要列明； 2）运动状态参量求得后要在图上画明； 3）投影轴要画清写明； 第 6章 达朗贝尔原理 6- 4 5 6