几种重要的分布

第四章 几种重要的分布在这一章，我们要介绍几种重要的分布首先介绍离散型随机变量的分布4.1 常用的离散型随机变量的分布一、退化分布在所有分布中，最简单的分布是退化分布，即一个随机变量 X 以概率 1 取一常数，即 P(X = a) = 1则称X服从a处的退化分布。EX = Ea = a, DX = Da = 0二、0-1 分布前面我们学习了贝努力试验。对于贝努力试验，只有两个结果：成功或失败帀 和 A )，如抛一枚银币(正、反)；检查一件产品(合格、不合格)；一次射击(命 中、不命中)，都可看做一个贝努力试验。在一次试验中，设成功的概率为p， PA ) = p， P(A) =4 p = q，不同的p表示不同的贝努力试验。如检查一批产品中，P(合格品)=0.9，P(不合格品)=0.1。用来描述贝努力试验的随机变量分布为0-1分布， 0， 1代表将试验的两个结果定 义为0，1.即随机变量X只可能取0，1两个值，它的分布律为P(X = i) =4pi (1 p)14i (i0= ,1)P(X=0) (14p)P(X=1)= p称X服从(0-1)分布。X01P1 - ppEX = pDX = p(1 4 p)三、二项分布由n个相同的独立的贝努力试验组成的随机试验称为n重贝努力试验。如抛 硬币3次，检查7个产品，打100次靶等都属于多重贝努力试验。1定义：在n重贝努力试验中，每次试验事件A发生的概率都为p(0 p 1)，设X为n次试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0，1，2，,nP(X =k)=Ckpk(14p)n4k, k =0,1, ,nn P(X = k) = 1不难验证(1) P(X = k)- 0(2) k=o称随机变量X服从参数为n和p的二项分布，记作XB(np )PX = k)的值恰好是二项式(px+q)n展开式中第k +1项xk的系数。因此我们称该分布为二项分布。其中，当n = 1时，P(X = i) =-pi(1 p)i(0= ,1)称X服从(0-1)两点分布事件A至多出现m次的概率是P0 X m=区CkPkqn-knk=0事件A出现次数不小于l不大于m的概率是Pl X m= CkPkqn-knk=l例 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3 个中恰有2个次品的概率.解: 因为这是有放回地取3 次，因此这 3 次试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设X为所取的3个中的次品数，则X(B 3,0.05)于是，所求概率为：P(X = 2) = C2(0.05)2(0.95) = 0.0071253例：一个袋子中装有N个球，其中N个白球，N个黑球(N + N = N )，每次从中任取1 2 1 2一个球，查看完颜色后再放回去，一共取了n次，求取到白球数X的分布。 解：由于是放回试验，每次取球为1次试验，n次取球可视为n重贝努力试验，每次取到白NN球的概率为P = ，故XB(n,1)分布为P (X = k) = Ck ( (1 -竹)n-kk = 0,1, , nn N N贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：(1) 每次试验条件相同；(2) 每次试验只考虑两个互逆结果A或A, PA) = p，P (A) =- p = q(3) 各次试验相互独立简单的说：二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功”次数X的概率分布.例：某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.解：设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数xB(3,0.8)P(X =kC)= k(0.8)k(0.2),3-k3P(X 1P(g =k -1)0P忆=k ) ,P(g =k +1)k np + p-1 o0P忆=k ) P忆=k -1)0Ck0Pk0qnk 0(n - k +1)P 1n=0 1Ck0- 1Pk0- q1k qn0(nJ+ 1)p k q00npl pp k q. k 0 1P忆=k +1)0CkcP n 0(k + 1)q n=0 1Ck0+1Pk0+1qn 0-1(n-k )pn0(k + 1)q( n-k )p0 0np+p-1 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - 0.98400 - C1 0.02 0.98399 沁 0.9972400可以看出计算量非常大。因此必须寻求近似方法。说明：尽管每一次射击的命中率非常小，但如果射击的次数很大，命中目标的概率就非常大。四、普哇松分布在历史上普哇松分布是作为二项分布的近似函数，于1837年有法国数学家普哇松(Poisson) 首次提出。1. 定义如果随机变量X的概率函数为九kX PX nke-九，k = 0,1,2,.k!其中九0，则称X服从普哇松(Poisson)分布。EX k=e x，k!k=0艺冬e-九=e-九艺k=e-e=k!k!k=0k=0近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。 在实际中，许多随机现象服从或近似服从普哇松分布。像某电话交换台收到的电话呼叫数 到某机场降落的飞机数;一个售货员接待的顾客数;一台纺纱机的断头数;一匹布上的疵点个 数；一本书中的错别字个数等等都可近似服从普哇松分布。由此普哇松分布总与计数过程有 关，且在一定时间内，一定区域内或一定单位内的前提下进行的。普哇松分布的方便之处在于其概率的计算可以利用普哇松分布表。查表练习。2.普哇松定理：在n重贝努力试验中，事件A在每次试验中发生的概率为P (这里与n有关)，如果nn时，np T九(九为常数)，则对任意的k，有nlim(bkn;p ,n T8定理的条件意味着当 n 很大时， np 必定很小. 因此，泊松定理表明，当 n 很大， p 很Xke-Xk!其中X = npn小时有以下近似式：Cp k (1 - p )n-kn在实际中，当n 20,p 100,np 2) = 1 - P(X = 0) P(X = 1) = 0.997 (查表计算)可进行比较，与精确计算很接近，说明近似效果良好。3.期望和方差的计算期望E(X)=艺k入e-九=打-九艺 人-1 =打k!(k -1)!k=0k=1方差：E&)=艺m2九宀艺m九4 +九m!(m 1)!m =0m =1 D( =九例 1 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以 用参数入=5的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应 进某种商品多少件？解：设该商品每月的销售数为X,已知X服从参数入=5的泊松分布.设商店在月底应进某种商品m件，求满足P(Xm ) 0.95的最小的m。P(X 0.95k!k=09 e-55k8 e-55k通过查表可得乙-.96& 乙-.932k!k!k=0k=0因此， m = 9例：设某城市每年因交通事故死亡的人数服从普哇松分布，据统计在一年中交通事故死亡一 人的概率是死亡两人概率的 0.5 倍，计算一年中因交通事故至少死亡3人的概率。解：X表示一年中因交通事故死亡的人数。由此X服从参数九的普哇松分布九kX PX =e-九，k = 0,1,2,.k!P (X = 1) = - P( X = 2)Xe-x =-兰 e-x X = 42 2 2P(X 3) =1-P(X =0)-P(X =1)-P(X = 2) = 0.323323五、几何分布 例：某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率为 p ，求所需射击发数X的概率函数。解：显然， X 的可能取值为1,2,为计算PX = k)，设A = 第k发命中, k = 1,2,kP(X = 1) = P( A ) = p ； P( X = 2) = P( AA ) =-p(1) p ；1 1 2P(X = 3) = P(AAA ) = ppL- )2,123P( X = k) = p(1 p) k-1, k = 1,2,这就是所需射击发数X的概率函数。若随机变量的概率函数如上式，则称X具有几何分布。1. 定义：在独立重复试验中，事件A发生的概率为P，设X为直到A发生为止所进行 的试验的次数， (X 的可能取值为全体正整)，P(X = k) = pqk = p(1 p)k-1, k = 1,2, 则称X服从参数为p的几何分布.2. 期望和方差EX =艺 kq k -1 p = p 艺 kqk-1k =1k =1令S =艺kq k-1 =1+2q+3q2 +4q3 +1k=1qS =kq-1 萨硏2 q +3 q +4 q +1k=1(1 - q) S = 1 +-qq 2 +1S = 1S1 p 2EX =丄p同理验证 EX 2 =+ p 2 pp2例：设X服从几何分布，则对任何两个正整数m,n，有 P(X m + n X m) = P(X n)证明：P(Xm)= qk-1 p = pkm= +1qm1 - q= qmr/AZAZ 、 P(Xm + n) qm+nP(Xm + X m) = qn = P(Xn)P (Xm)m该性质称为几何分布的无记忆性，指几何分布对过去的 m 次失败的信息在后面的计算 中被遗失了。六、超几何分布例1 某班有学生2 0名，其中有5名女同学，今从班上任选4名学生去参观展览，被选到 的女同学数g是一个随机变量，求g的分布。解g可以取0,1,2,3, 4这5个值，CkC4kP(= k)= 4(k=0,l,2,3,4)C420计算结果列成概率分布表如下:g01234p0.28170.46960.21670.03100.0010例：一个袋子中装有N个球，其中N个白球，N个黑球(N + N = N )，从中不放回的l2l 2取了 n个球，求取到白球数X的分布。解：Ck CnkP (X = k) =, k = 0,1, , nCnN1定义：设N个元素分为两类，有N个属于第一类，N个属于第二类(N + N = N )。1 2 1 2从中按不重复抽样取n个，令X表示这n个中第一(或二)类元素的个数，则X的分布称 为超几何分布。其概率函数是Ck CnkP (X = k)=叫 N , k = 0,1, nCnN当n N(即抽取个数远远小于总数N)每次抽取后，总体中p =善改变很小，这 时 不放回抽样等同于放回抽样，即超几何分布可近似为二项分布。CCk nkkP(X =k)= N1_T Ckpkqn-kCnnN1+N2例3大批种子的发芽率为90%，今从中任取10粒，求播种后，(1)恰有 8粒发芽的概率；(2)不少于 8粒发芽的概率。解 设10粒种子中发芽的种子数目为X。因10粒种子是由一大批种子中抽取的，这是一 个N很大，n相对于N很小的情况下的超几何分布问题，可用二项分布公式近似计算。X (B 10,0.9)(1) P(X=8)=C8 X 0.98 X 0.12 U 0.193710(2) P(X 8)=C8 x 0.98 x 0.12 + C9 x 09 x 0.11 + O9o 沁 0.929810 102. 期望和方差Eg =nDg 5虫旦N N N-14.1 常用的连续型随机变量的分布一、均匀分布例：某办事员处理一份护照申请书，时间X (单位：分)是一连续型随机变量，若X的概率密度有如下形式：f (x)=c,4 x 0 即 c 0(2) J+8f (x)dx = 1 即 J6cdx = 1 c = 24见图形：f(x0.5046 x现求4-4.5， 5-5.5间处理一份护照申请书的概率，即为图中这两个区间的面积P(4 X 4.5) = 0.5xA 0.25P(5 X 5.5)= 0.X丄0.2522由此，可知这两个概率相等。从图中可看出，底边相等的矩形面积，即 X 在两个相等区间上取值机会也相同，即体现了 均匀的含义，且称这样的分布为均匀分布。1定义：一个随机变量X，如果其概率密度函数为,a x b if (x) = s b-a，称X服从La,b上的均匀分布，记为XU(a,b)0,其他服从均匀分布的X ,具有一种等可能性，即它落入a,b中任意等长度的子区间的可能性相同，或者说它落入等长度区间内的概率相同，与区间位置无关。即 P(c X c +1) = Jc+lf (x)dx = Jc+ldx =-cc b - ab -a0, x ax a分布函数：F(x) = ,a x b2.期望和方差EXa + b DX = (b - a)2 vT学生练习证明)3. 应用和计算 均匀分布的应用如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差； 公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.例1 某公共汽车站从上午7 时起，每15分钟来一班车，即 7:00， 7:15， 7:30, 7:45 等时 刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是 7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试 求他候车时间少于5 分钟的概率。解：以7:00为起点 0，以分为单位依题意，XU ( 0, 30 ),0 x 30f (x) = 30、0, 其它从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00， 7:15， 7:30等时刻有汽车到达汽车站，为使 候车时间 X 少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车 站。所求概率为：P10 X 15 +25 X 30=卜丄dx + J30Xdx =-10 3025 303即乘客候车时间少于5 分钟的概率是 1/3。二、指数分布1.定义若随机变量X的概率密度为f(x) = 0人 x0，其中九0，贝y称x服从参数为九的指数分布.I 0 x 0易知 + f(X)d=Xdx=+ e Xd(0X)=o =1它的分布函数为F(X)=P(X X)=1e0时0时对任何实数a,b(0t)=l F(t)二e t例：某元件寿命X服从参数为(1 =1000)的指数分布。3个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少？解：参数为 的指数分布的分布函数为F(X)=P(X X)=1e 1000P(X1000)=1 P(X 1000)=1 F (1000)=e 1各元件寿命相互独立，因此3个这样的元件使用1000小时都未损坏的概率为 P(X 1000)3=e13=e03.05例电子元件的寿命F (年)服从参数为3的指数分布(1) 求该电子元件寿命超过2年的概率。(2) 已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？解： (X)3e3X X 00 X 0,(1)pX23 e 3XdX2e 3Xd( 3X)e 3x =e 6,.23e-3 xdxpX 3.5, X 1.5(2)pX 3.51 X 1.5 = 5= e-6pX 1.5f 3 力3e-3xdx1.5由这个例子，可以看出P(X a +1 X a) = P(X t)这表明，已知寿命长于a年，则再活t年的概率与年龄无关，故又可将指数分布称为“永远年青”的分布。 实际应用与保险中。三、正态分布正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占 有特别重要的地位。它是由十九世纪前叶数学家高斯加以推广，所以也称为高斯分布。 许多事件问题中的变量，如年降雨量,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸； 纤维的强度和张力；某地区成年男子的身高、体重；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测 量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.即具有 “中间大、两头小”的特点。(一) 正态分布的定义及图形特点m1 -(x-P)2叭X =冇e- 22，g 0，则称X服从参数为卩和b 2的正态分布。记作XN(P,b2)9 (x)所确定的曲线叫作正态曲线.f1_(x-卩)2可以证明fe 2b 2 dx = h-gbj 2 兀证明思路：x - u做变量替换t =b即证I = fge- 2 dt =、：2 兀-gt = rcos0u = r sin 02.图形特点：先证 12 = f g e- 2 dtf g e- 2 du = ffgg e-(t2+u2)/2dtdu = 2兀-g-g-gg -转化为极坐标：12 = f 2兀 d0f g e- 2 rdr = 2兀00正态分布的密度曲线是一条关于也对称世钟形形曲线，特点是“两头小，中间大，左右对称”。1)对任意的 h， P( h XA )(= X + h)2)当x =.时， (x)取最大值P(二馬3) X距卩越远，f (x)值越小，这表明，对同样的长度区间，当区间离卩越远，X落在该 区间上的概率越小4) 卩决定了图形的中心位置，b决定了图形中峰的陡峭程度。Q越大，曲线越平坦，b越小，曲线越陡峻,。3. 分布函数设XN(P,b2)，它的分布函数为:1 - _ (卩)2&J x e_ 2b2 dt, _8x gb/厂 一g4. 期望和方差EX = H DX =b2(二) 标准正态分布卩=0, b = 1的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用P (x)和(x)表示00x2申(X =e2, -gx 0的概率值，当x 00(1) = 1 =1 0.8413 = 0.1587 00例 1：设XN(0,1),求(l)P(X 1.96),P(XX-1.96),P( I |1.96),P(-1X 2)(2)已知P X a) = 0.7019, P()X| b = 0.9242, P(X c) = 0.2981，求 a, b, c解：(1) P(X 1.96) = O (1.96) = 0.9750P(X 1.96) = O (1.96) = 1(1.96) = 1 0.975 = 0.02500P(IX 1.96) = P(1.96 X 1.96) = O (1.96)(1.96) = 2(1.96) 1 = 0.95 1 0 0 0P(1 X 2) = O (2)(1) = O (2) + (1) 1 = 0.81850 0 0 0(2)杳表得(a) = 0.7019a = 0.530P()X| b = P(b X b) = O (b)(_b) = 2(b) -1 = 0.92420 0 0(b) = 0.9621, b = 1.780(c) = 1(c) =(D.2981,(c) = 0.7019 c = 0.530 0 0总结：若 X N(0,1) P(a X b) = O (b) 一(a)00P(|XI b) = P(b X b) = 2% (b) 1(三) 一般正态分布与标准正态分布的关系 定理如果LN(H2q,N(0,12) 其概率密度分别记为g)及營)，分布函数分别记为%(x及0(x(2) % (x )=%0证明： (1)2G211 1古町2=e 2 J o 丿 *2兀1=9o09(x)詁 90(2) x)R x) = J x 丄 1 e-需2 dt 令尸空 J 才 J e；7y-C2兀Z &=(泄)(x)0 o0 ox u定理：设XN(y, 2)，则Y =N(0,1)o称随机变量函数Y=(X为标准化变换。o根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问 题.证： F (x)=P(Y x) =P(X-U x) =P(X ox + y) =%( x + U)Yoo x +UP=% ()=% (x)0 o0YN(0,12)例：X N(8,0.52),求 P(| X 8|1)及 P(X 0)解：P(lX81)=P II 晋2 =2(2) 1=2 x 0.97725-1=0.95450X 8XN(8,0.52).-05 N(o ,12)I X 81 o 8、P(X 10) =P I 二(4) =0.999 968 33Q* ( 0.*0.5 丿 0 Q*E R Et求及例：N( , 2),P( 5)=0.045, P( 3)=0.618 ,求卩及。解：P(E -5)=0 (三芒)=0.045 (空)=0 (-土) =1O (土 )=0.0450。0 Q 0 Q0 O0 (5 0卩)=1-0.0450= .955P(E 3)=O13-門0F=0.618p=0.8Q=4Q上上=0.3、QX u总结:V X N(U,Q2), Y = -Q N(0,1)P(a X b) = P(畔 Y ) =O (畔)O (畔)QQ0 Q0 Q(四) 3Q准则由标准正态分布的查表计算可以求得 当 X N(0,1) P(|X| 1)2 (1) 1 = 0.6826P(|X|2)2 (2) 1 = 0.9544,P(X|3)2 1 = 0.9974这说明， X 的取值几乎全部集中在-3,3区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.将上述结论推广到一般的正态分布，YN(U,Q2)时P(| Y .6826 P(IY U ) 0.01 或 P(Xh 0.99下面我们来求满足上式的最小的 h .X 170因为 X N(170,62),N(0,1)0 6 0P(X 0.99，查表得(2.33)0= .9901 0.99所以 h 170 = 2.33，即 h = 170 +)2.33 6 = 184设计车门高度为 184 厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01。例：某重点大学招收研究生 800 人，按考试成绩从高分至低分依次录取。 设报考该大学的考生共 3000 人，且考试成绩服从正态分布，已知这些考生中成 绩在600 分以上的有 200 人，重点线(500 分)以下的2075 人,问该大学的实录 线(即录取最低分)是多少？分析 设学生考试成绩XN(rq2)，首先应求出卩及b 2之值，然后根据录取人数占总人数的比例，再应用正态分布概率公式算出实录最低分。解 设学生成绩XN(卩,b2)，由题设知应有P(X 600)=誥=.667P(X a)=般=02667 即 5(需)=02667于是可得 0(a 450) = 0.7333100查表得 a 450 = 0.623,解之得a = 512.3.即是说该大学的实录线约为 512 分。如果二维随机变量(X, Y)的联合密度函数为p山* 7p( X, y) =21 廿1 2exp.- L丁2(1 - 2)21单(x - 2 He d 2)+ (2jQ2h x, y ； , 0; 1 .1 2 1 2以后将指出：U , U分别是X与Y的均值，G 2,0 2分别是X与Y的方差，P是X与1 2 1 2 Y 的相关系数。