南京航空航天大学《高等数学》35函数的极值及其求法

第五节 函数的极值及其求法第五节 函数的极值及其求法?函数极值的定义函数极值的定义?函数极值的求法函数极值的求法一、函数极值的定义一、函数极值的定义oxyab)(xfy=1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x极值是局部区域上的最大或最小值；极值是局部区域上的最大或最小值；在间断点或端点处不考虑极值。在间断点或端点处不考虑极值。对连续函数，极大、极小交替出现。对连续函数，极大、极小交替出现。函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.).(),()()(),()()()(),(,0,),(,),()(0000000或极大点称为函数的极小点或极大值的极小值是函数则称或均有对任意如果存在正数内的一个点是内有定义在区间设函数或极大点称为函数的极小点或极大值的极小值是函数则称或均有对任意如果存在正数内的一个点是内有定义在区间设函数xxfxfxfxfxfxfxxxbaxbaxf+定义定义二、函数极值的求法二、函数极值的求法 设设)(xf在点在点0 x处具有导数,且在处具有导数,且在0 x处取得极值,那末必定处取得极值,那末必定0)(0=xf.定理1(必要条件)定理1(必要条件)定义定义.)()0)(的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点xfxf=注意注意:.,)(是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数xf例如例如,3xy=,00=xy.0不是极值点但不是极值点但=x 极值存在的必要条件极值存在的必要条件(1)如果(1)如果),(00 xxx 有有;0)(xf而而),(00+xxx,有,有0)(xf，则，则)(xf在在0 x处取得极大值.(2)如果处取得极大值.(2)如果),(00 xxx 有有;0)(xf，则，则)(xf在在0 x处取得极小值.(3)如果当处取得极小值.(3)如果当),(00 xxx 及及),(00+xxx时,时,)(xf符号相同,则符号相同,则)(xf在在0 x处无极值.处无极值.定理2(第一充分条件)定理2(第一充分条件)xyoxyo0 x0 x+(是极值点情形是极值点情形)极值存在的充分条件极值存在的充分条件xyoxyo0 x0 x+求极值的步骤:求极值的步骤:);()1(xf 求导数求导数;)(0)(:)2(不存在的点和使的根方程求驻点不存在的点和使的根方程求驻点xfxf=;,)()3(判断极值点在驻点左右的正负号检查判断极值点在驻点左右的正负号检查xf .)4(求极值求极值(不是极值点情形不是极值点情形)例1例1解解.593)(23的极值求出函数的极值求出函数+=xxxxf963)(2 =xxxf，令，令0)(=xf.3,121=xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,(),3(+)3,1(1 3)(xf )(xf+00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22=)1(f极大值极大值,10=)3)(1(3+=xx593)(23+=xxxxfMm图形如下图形如下 设 设)(xf在在0 x处具有二阶导数,且处具有二阶导数,且0)(0=xf,0)(0 xf,那末(1)当,那末(1)当0)(0 xf时,函数时,函数)(xf在在0 x处取得极小值.定理3(第二充分条件)处取得极小值.定理3(第二充分条件)证证)1(xxfxxfxfx +=)()(lim)(0000,0 异号，与故异号，与故xxfxxf +)()(00时，当时，当0 +有有,0=时，当时，当0 x)()(00 xfxxf +有有,0=所以所以,函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值.例2例2解解.20243)(23的极值求出函数的极值求出函数 +=xxxxf2463)(2+=xxxf，令，令0)(=xf.2,421=xx得驻点得驻点)2)(4(3+=xx,66)(+=xxf=)4(f,018 )2(f故极小值故极小值.48=20243)(23 +=xxxxf图形如下图形如下Mm注意:注意:.2,)(,0)(00仍用定理处不一定取极值在点时仍用定理处不一定取极值在点时xxfxf=例3例3解解.)2(1)(32的极值求出函数=的极值求出函数=xxf)2()2(32)(31=xxxf.)(,2不存在时当不存在时当xfx=时，当时，当2 xf时，当时，当2 x.0)(xf.)(1)2(的极大值为的极大值为xff=.)(在该点连续但函数在该点连续但函数xf注意:注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.M例4例4解解.2,)1()2()(322的极值求出函数+=的极值求出函数 于是于是0=x为为)(xf的极小值点的极小值点当当0 x时，时，当当0 x时，时，,0)1sin2(2+xxx1cos在在1和和1之间振荡之间振荡因而因而)(xf在在0=x的两侧都不单调的两侧都不单调.故命题不成立故命题不成立xxxxf1cos)1sin2(2)(+=+=