分形理论概述

分形理论概述分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(BBMandelbort)首先提出的。1967年他在美国权威的科学杂志上发表了题为英国的 海岸线有多长？的著名论文。海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和 结构上区分这部分海岸与那部分海岸有 什么本质的不同，这种几乎同样程度的不规则性和复杂性 ，说明海岸线在形貌上是 自相似的, 也就是局部形态和整体形态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时，在空中拍摄的1 00公里长的海岸线与放大了的 1 0公里长海岸线的两张照片， 看上去会十分相似。事实上， 具有自相似性的形态广泛存在于自然界中， 女口：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、 布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层 曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。1975年,他创立了分形几何学(fractal geometry)。在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论(fractal theory)。分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科。作为一种方 法论和认识 论，其启示是多方面的：一是分形整体与局部形态的相似，启发人们通过认识 部分来认识整体，从有 限中认识无限；二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复 杂与简单之间的新形态、新秩序； 三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图 景。分形理论的原则自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的几何变换下 具有不变性，即标度无关性。由自相似性是从不同尺度的对称出发，也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同，也可以是统计意义上的相似。标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构，如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线 等。这种有规分形只是少数 ， 绝大部分分形是 统计意义上的无规分形。分维， 作为分形的定量表征和基本参数， 是分形理论的又一重要原则。分维,又称分形维或 分数 维,通常用分数或带小数点的数表示。长期以来人们习惯于将点定义为零维， 直线为一维平面为二维， 空间为三维， 爱因斯坦在相对论中引入时间维 ， 就形成四维时空。对某一问题给予 多方面的考虑， 可建立高维空间， 但都是整数维。在数学上， 把欧氏空间的几何对象连续地拉伸、 压 缩、扭曲， 维数也不变， 这就是拓扑维数。 然而,这种传统的维数观受到了挑战。曼德布罗特曾描述过一个绳球的维数 ：从很远的距离观察这个绳球 ， 可看作一点(零维);从较近的距离观 察,它 充满了一个球形空间 (三维);再近一些， 就看到了绳子(一维);再向微观深入， 绳子又变成 了三维的柱，三维的柱又可 分解成一维的纤维。 那么，介于这些观察点之间的中间状态又如何 呢？分形理论的发展分形理论自从诞生之后就得到了迅速的发展，并在自然科学、 社会科学、思维科学等 各个领域都获得了广泛的应用。如今，分形和分维的概念早已从最初所指的形态上具有自 相似性质的 几何对象这种狭义分形，扩展到了在结构、功能、信息、时间上等具有自相似性质的广义分形。人们在自然、社会、思维等各个领域都发现了分形现象，岀现了诸如分 形物理学、 分形生物学、分形结构地质学、分形地震学、分形经济学、分形人口学等，发现了材料学、化学、天文学中的分形及思维分形、情报分形等等。人们现在已经认识到分形理论所揭示的自相似现象和混沌、破碎现象在客观世界中是 普遍存在 的。分形的概念和思想现正在被人们抽象为一种科学方法论，这就是分形方法论。它的内 容主要包括 以下两点：第一，以分形客体的部分和整体之间的自相似性为锐利的武器，通 过认识部分来反映和认 识整体，以及通过认识整体来把握和深化对部分的认识；第二，运 用分形理论的思想和方法，从无序 中发现有序，揭示杂乱、破碎、混沌等极不规则的复杂 现象内部所蕴涵的规律。分形方法论从本质上看也是一种系统方法，研究分形现象 需要系统的观点和方法。分 形方法论的产生是属于 清算还原论、倡导 系统方法论这一科学发展总趋势的产物，它是复 杂性研究 的一个方面军，是近 30 多年来提出的处理复杂性的理论方案之一。分形学理论和 自组织理论、混沌理论密切相关，它与混沌理论及孤子理论被人们誉为现代非线性科学的 三大前沿。分形理论的意义分形理论及其分形方法论的提岀有着极其重要的科学方法论意义。它打破了整体与部 分、混乱与规则、有序与无序、简单与复杂、有限与无限、连续与间断之间的隔膜，找到 了它们之间相互过渡的媒介和桥梁 （即部分和整体之间的相似性），为人们从混沌与无序中认 识规律和有序、从部分中认知整体和从整体中认识部分，从有限中认识无限和通过无限深化和认识有限 等提供了可能和根据；它同 系统论、自组织理论、混沌理论等研究复杂性的 科学理论一起，共同揭示了整体与部分、混沌与规则、有序与无序、简单与复杂、有限与无限、连续与 间隔之间多层面、多视角、多维度的联系方式，使人们对它们之间关系的认 识的思维方式 由线性阶段 进展到了非线性阶段。分形理论和分形方法论的诞生及其应用，使人们取得了用别的方法所不曾取得的许多 新成果，导 致了人们对自然界、社会、思维等各个领域中不可胜数的新现象、新规律的发 现和破译，充分显示了 它的巨大威力和十分重大的科学方法论意义。Koch 曲线1904年瑞典数学家 柯赫构造了“Koch曲线”几何图形。Koch曲线大于一维，具有无限的长度，但是又小于二维，并且生成的图形的面积为零。它和三分康托 集一样，是 个典型的分形。根据分形的次数不同，生成的Koch 曲线也有很多种，比如三次 Koch曲线，四次 Koch曲线等。下面以三次Koch曲线为例，介绍 Koch 曲线的构造方法，其它的可依此类推。Koch 曲线的生成过程三次 Koch 曲线的构造过程主要分为三大 步骤：第一步，给定一个初始图形 条线段；第二步，将这条线段中间的1/3处向外折起；第三步，按照第二步的方法不断的把各段线段中间的 1/3处向外折起。这样无限的进行下去，最终即 可构造出 Koch 曲线。其图例构造过程如右图所示（迭代了 6 次的图形） 。