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代数与几何综合题代数与几何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等。经常考察的题目类型主要有坐标系中的几何问题（简称坐标几何问题），以及图形运动过程中求函数解析式问题等。解决代数与几何综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当地组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当地使用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数行结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题。 第一类：与反比例函数相关1（09北京）如图，点C为O直径AB上一点，过点C的直线交O于点D、E两点，且ACD=45，于点F，于点G 当点C在AB上运动时，设，下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ）ABCD 2如图，在平面直角坐标系中 ,二次函数的图象经过正方形ABOC 的三个顶点 A、B、C ，则m 的值为 3（09延庆）阅读理解：对于任意正实数，只有当时，等号成立结论：在（均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值 根据上述内容，回答下列问题：（1） 若，只有当 时，有最小值 yxBADPCO（第3题）（2） 探索应用：已知，点P为双曲线上的任意一点，过点作轴于点，求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状（第4题）yOADxBCENM4（08南通）已知双曲线与直线相交于A、B两点第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点过点B作BDy轴交x轴于点D过N（0，n）作NCx轴交双曲线于点E，交BD于点C（1）若点D坐标是（8，0），求A、B两点 坐标及k的值（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求pq的值 5（09.5西城）已知：反比例函数和 在平面直角坐标系xOy第一象限中的图象如图所示，点A在的图象上，ABy轴，与的图象交于点B，AC、BD与x轴平行，分别与、的图象交于点C、D. （1）若点A的横坐标为2，求梯形ACBD的对角线的交点F的坐标； （2）若点A的横坐标为m，比较OBC与ABC的面积的大小；（3）若ABC与以A、B、D为顶点的三角形相似，请直接写出点A的坐标.答案：（1） 点F的坐标为. （2）. （3）点A的坐标为6（07上海）如图，在直角坐标平面内，函数（，是常数）的图象经过，其中过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连结，（1）若的面积为4，求点的坐标；（2）求证：；（3）当时，求直线的函数解析式答案：（1）点的坐标为 ； （2）（3）所求直线的函数解析式是或二、与三角形相关7（07北京）在平面直角坐标系xOy中, 抛物线 y = mx2 + 2mx + n经过P (, 5), A(0, 2)两点. (1) 求此抛物线的解析式; (2) 设抛物线的顶点为B, 将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l, 直线l与抛物线的对称轴交于C点, 求直线l的解析式; (3) 在(2)的条件下, 求到直线OB, OC, BC距离相等的点的坐标答案：(1)抛物线的解析式为: y =+ 2 (2)直线 l 的解析式为 y =x (3) 到直线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为: M1(-, 0)、 M2 (0, 2)、 M3(0, -2)、M4 (-2, 0). 8 (08北京)平面直角坐标系xOy中，抛物线y = x2 + bx + c与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧), 与y轴交于点C, 点B的坐标为(3, 0), 将直线 y = kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B, C两点. (1) 求直线BC及抛物线的解析式;(2) 设抛物线的顶点为D, 点P在抛物线的对称轴上, 且APD =ACB, 求点P的坐标;(3) 连结CD, 求OCA与OCD两角和的度数. 答案：(1) 直线BC的解析式为 y = -x + 3. 抛物线的解析式为 y = x2 - 4x + 3.(2)点P的坐标为 (2, 2) 或 (2, -2). (3) OCA与OCD两角和的度数为45. 9（10.6密云） 已知：如图，抛物线与 轴交于、两点，点在点的左边，是抛物线 上一动点（点与点、不重合），是中点，连结并延长，交于点（1）求、两点的坐标（用含的代数式表示）；（2）求的值；（3）当、两点到轴的距离相等，且时， 求抛物线和直线的解析式答案：（1）（，0），（，0） （2） （3）抛物线的解析式为 直线的解析式为 10（崇文09）如图，抛物线，与轴交于点，且（I）求抛物线的解析式；（II）探究坐标轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由； （III）直线交轴于点，为抛物线顶点若，的值答案：（I） （II），（III）BCAxyFODE11. (11.6东城) 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OAAB2，OC3，过点B作BDBC，交OA于点D将DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标答案：（1）（2）由 CFFMCM （3）点P的坐标为（1，）三、与面积有相关12（11.6通县）已知如图，中，与x轴平行，点A在x轴上，点C在y轴上，抛物线经过的三个顶点，（1）求出该抛物线的解析式；（2）若直线将四边形面积平分，求此直线的解析式.（3）若直线将四边形的周长和面积同时分成相等的两部分，请你确定中k的取值范围.13（11.6顺义）已知，如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，对称轴是（1）求该抛物线的解析式；（2）点是线段上的动点，过点作，分别交轴、于点P、，连接当的面积最大时，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，求的值.四、与最值相关14（09石景山）平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），D是BC边上的动点（与点B、C不重合）如图,将COD沿OD翻折，得到FOD；再在AB边上选取适当的点E，将BDE沿DE翻折，得到GDE，并使直线DG，DF重合（1）图中，若COD翻折后点F落在OA边上，求直线DE的解析式（2）设（1）中所求直线DE与x轴交于点M，请你猜想过点M、C且关于y轴对称的抛物线与直线DE的公共点的个数，在图的图形中，通过计算验证你的猜想图图（3）图中，设E（10，b），求b的最小值答案：（1）直线DE的解析式：y=-x+12（2）直线DE:y=-x+12与抛物线:只有一个公共点（3）b 15已知抛物线的图像经过点A和点B（1）求该抛物线的解析式；(2) 把(1)中的抛物线先向左平移1个单位，再向上或向下平移多少个单位能使抛物线与直线AB只有一个交点? 求出此时抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线向右平移个单位，再向下平移t个单位（t0），此时，抛物线与轴交于M、N两点，直线AB与轴交于点P，当t为何值时，过M、N、P三点的圆的面积最小？最小面积是多少？答案：（1）抛物线的解析式为.(2)析式为（）当时，过M、N、P三点的圆的面积最小，最小面积为16（09海淀）如图13，在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x轴、y轴于C、A两点.将射线AM绕着点A顺时针旋转45得到射线AN.点D为AM上的动点，点B为AN上的动点，点C在MAN的内部.（1） 求线段AC的长；（2） 当AMx轴，且四边形ABCD为梯形时，求BCD的面积；（3） 求BCD周长的最小值；（4） 当BCD的周长取得最小值，且BD=时,BCD的面积为 .答案：（1） AC=4.（2）当AMx轴，且四边形ABCD为梯形时，SBCD= 2-2.（3）BCD的周长的最小值为4. （4）.五、与四边形及圆相关17(12.1年西城)已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为，（其中n0），点B在x轴的正半轴上动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿OABC的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动设点P移动的路径的长为l，POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形 （1）结合以上信息及图2填空：图2中的m= ； （2）求B，C两点的坐标及图2中OF的长； （3）在图1中，当动点P恰为经过O，B两点的抛物线W的顶点时， 求此抛物线W的解析式； 若点Q在直线上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标 答案：（1）中的m= （2） （3）符合题意的点Q的坐标是，18.（12.年1石景山）如图，矩形是矩形绕点B顺时针旋转得到的其中点在轴负半轴上，线段在轴正半轴上，点的坐标为 （1）如果二次函数的图象经过两点且图象顶点的纵坐标为求这个二次函数的解析式； （2）求边所在直线的解析式； （3）在（1）中求出的二次函数图象上是否存在点P，使得,若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由答案：（1） （2） （3） ， 19（12.1怀柔）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）. （1）求此抛物线的解析式； （2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明；(第19题)（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积. 答案：（1）抛物线为. (2) 答：与相交.（3）的面积最大为. 此时，点的坐标为（3，）. 20（11.6朝阳）在ABC中，D为AB边上一点，过点D作DEBC交AC于点E，以DE为折线，将ADE翻折，设所得的ADE与梯形DBCE重叠部分的面积为y.(1)如图(甲)，若C=90，AB=10，BC=6，则y的值为 ；(2)如图(乙)，若AB=AC=10，BC=12，D为AB中点，则y的值为 ；(3)若B=30，AB=10，BC=12，设AD=x.求y与x的函数解析式；y是否有最大值，若有，求出y的最大值；若没有，请说明理由. 图(甲) 图(乙) 备用图 答案：（1）. （2）12. （3） 当时，值最大，最大值是10 11a教育试题
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