44用待定系数法确定一次函数表达式

用待定系数法确定用待定系数法确定一次函数表达式一次函数表达式本课内容本节内容4.4 许多实际问题的解决都需要求出一次函数的许多实际问题的解决都需要求出一次函数的表达式表达式.怎样才能简便地求出一次函数的表达式呢？怎样才能简便地求出一次函数的表达式呢？如图如图4-14，已知一次函数的图象经过，已知一次函数的图象经过P（0，-1），Q（1，1）两点两点.怎样确定这个一次函数的表达式呢？怎样确定这个一次函数的表达式呢？探究探究图图4-14 因为一次函数的一般形式是因为一次函数的一般形式是y=kx+b（k，b为常数，为常数，k0），要求出一次函数的表达式，关键是要确定，要求出一次函数的表达式，关键是要确定k和和b的值的值（即待定系数即待定系数）.函数解析式函数解析式y=kx+b满足条件的两点满足条件的两点(x1,y1),(),(x2,y2)一次函数的图象一次函数的图象直线直线l选取选取解出解出画出画出选取选取 因为因为P（0，-1）和和Q（1，1）都在该函数图象上，都在该函数图象上，因此它们的坐标应满足因此它们的坐标应满足y=kx+b，将这两点坐标代入该将这两点坐标代入该式中，得到一个关于式中，得到一个关于k，b的二元一次方程组：的二元一次方程组：k0+b=-1，k+b=1.解这个方程组，得解这个方程组，得k=2，b=-1.所以，这个一次函数的表达式为所以，这个一次函数的表达式为y=2x-1.像这样，通过先设定函数表达式（确定函数模型），像这样，通过先设定函数表达式（确定函数模型），再根据条件确定表达式中的未知系数，从而求出函数再根据条件确定表达式中的未知系数，从而求出函数的表达式的方法称为的表达式的方法称为待定系数法待定系数法.议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议要确定正比例函数的表达式需要几个条件？要确定正比例函数的表达式需要几个条件？举例和大家交流举例和大家交流.温度的度量有两种：摄氏温度和华氏温度温度的度量有两种：摄氏温度和华氏温度.水的沸点温度是水的沸点温度是100，用华氏温度度量为，用华氏温度度量为212 ；水的冰点温度是；水的冰点温度是0，用华氏温度，用华氏温度度量为度量为32 .已知摄氏温度与华氏温度的关已知摄氏温度与华氏温度的关近似地为一次函数关系，你能不能想出一个近似地为一次函数关系，你能不能想出一个办法方便地把华氏温度换算成摄氏温度？办法方便地把华氏温度换算成摄氏温度？例例1 举举例例 用用C,F分别表示摄氏温度与华氏温度，由于摄分别表示摄氏温度与华氏温度，由于摄氏温度与华氏温度的关系近似地为一次函数关氏温度与华氏温度的关系近似地为一次函数关系，因此可以设系，因此可以设 C=kF+b，解解由已知条件，得由已知条件，得212k+b=100，32k+b=0 .解这个方程组，得解这个方程组，得k,b.516099因此摄氏温度与华氏温度的函数关系式为因此摄氏温度与华氏温度的函数关系式为CF516099 在上述例子中，由于我们求出了摄氏温度与在上述例子中，由于我们求出了摄氏温度与华氏温度的函数关系式，因此可以方便地把任何华氏温度的函数关系式，因此可以方便地把任何一个华氏温度换算成摄氏温度一个华氏温度换算成摄氏温度.小提示 某种拖拉机的油箱可储油某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量作后，油箱中的剩余油量y（L）与工作时间与工作时间x（h）之间为一次函数关系，函数图象如图之间为一次函数关系，函数图象如图4-15所示所示.（1）求）求y关于关于x的函数表达式；的函数表达式；（2）一箱油可供拖拉机工作几小时？）一箱油可供拖拉机工作几小时？例例2 举举例例图图4-15解这个方程组，得解这个方程组，得k,b.540所以所以 y=-5x+40.（1）求）求y关于关于x的函数表达式；的函数表达式；（1）解解 设一次函数的表达式为设一次函数的表达式为y=kx+b，由于，由于 点点P （2，30），Q（6，10）都在一次都在一次 函数图象上，将这两点坐标代入表达式，得函数图象上，将这两点坐标代入表达式，得2k+b=30，6k+b=10.（2）解解 当剩余油量为当剩余油量为0时，时，即即y=0 时，时，有有 -5x+40=0，解得解得 x=8.所以一箱油可供拖拉机工作所以一箱油可供拖拉机工作8 h（2）一箱油可供拖拉机工作几小时？）一箱油可供拖拉机工作几小时？练习练习1.把温度把温度84华氏度换算成摄氏温度华氏度换算成摄氏温度.解解由摄氏温度与华氏温度的函数关系得由摄氏温度与华氏温度的函数关系得51608499C解得解得 C28.9()因此，把温度因此，把温度84华氏度换算成摄氏温华氏度换算成摄氏温度约为度约为28.9度度.2.已知一次函数的图象经过两点已知一次函数的图象经过两点A(-1，3)，B(2，-5)，求这个函数的解析式，求这个函数的解析式.解解设设y=kx+b，由于两点，由于两点A，B都在这个都在这个函数的图象上函数的图象上.因此因此-k+b=3，2k+b=-5.因此所求一次函数的解析式为因此所求一次函数的解析式为解得解得 k=，b=.1383-y=x+.83-133.酒精的体积随温度的升高而增大，体积与温度之间酒精的体积随温度的升高而增大，体积与温度之间 在一定范围内近似于一次函数关系，现测得一定量在一定范围内近似于一次函数关系，现测得一定量 的酒精在的酒精在0 时的体积为时的体积为5.250 L，在，在40 时的体积时的体积 为为5.481 L，求这些酒精在，求这些酒精在10 和和30 时的体积各是时的体积各是 多少？多少？因此所求一次函数的解析式为因此所求一次函数的解析式为 y=0.005775x+5.250.解得解得 k=0.005775，b=5.250.解解设体积与温度之间的函数关系为设体积与温度之间的函数关系为y=kx+b，由已知得：，由已知得：k0+b=5.250，k40+b=5.481.在在10，即，即x=10时，时，体积体积y=0.00577510+5.250=5.30775(L).).在在30，即，即x=30时，时，体积体积y=0.00577530+5.250=5.42325(L).).答：答：这些酒精在这些酒精在10 和和30 时的体积各是时的体积各是 5.30775L 和和5.42325L.中考中考 试题试题例例 百舸竞渡，激情飞扬，端午节期间，某地举行龙舟比百舸竞渡，激情飞扬，端午节期间，某地举行龙舟比赛赛.甲、乙两支龙舟队在比赛时路程甲、乙两支龙舟队在比赛时路程y(米米)与时间与时间x(分分)之间之间的函数图象如图的函数图象如图.根据图象回答下列问题：根据图象回答下列问题：（1）1.8分钟时，哪支龙舟队处于领先位置？分钟时，哪支龙舟队处于领先位置？（2）在这次龙舟赛中，哪支龙舟队先到达终点？提前多）在这次龙舟赛中，哪支龙舟队先到达终点？提前多 少时间到达？少时间到达？（3）求乙队加速后，路程）求乙队加速后，路程y(米米)与时间与时间x(分分)之间的函数之间的函数 关系式关系式.300O1234600105015054.5乙乙 甲甲y(米米)x(分分)（1）（）（2）观察图象可得）观察图象可得.（3）用待定系数法解）用待定系数法解.分析分析解解 由图象可知，由图象可知，（1）1.8分钟时甲龙舟队处于领先位置分钟时甲龙舟队处于领先位置.（2）在这次龙舟赛中，）在这次龙舟赛中，乙龙舟队先到达终点，比甲提前乙龙舟队先到达终点，比甲提前0.5分钟分钟.（3）设乙队加速后，）设乙队加速后，y与与x的关系式为：的关系式为：y=kx+b.将将(2，300)、(4.5，1050）分别代入上式，得）分别代入上式，得 解得解得 y=300 x-300(2x4.5)2+=300 4.5+=1050.k bk b,=300=300.kb-,300O1234600105015054.5乙乙 甲甲y(米米)x(分分)结结 束束