用样本的频率分布估计总体分布—频率分布表、频率分布直方图

在统计中，用样本的有关情况估计总体的在统计中，用样本的有关情况估计总体的相应情况大体上有两类：相应情况大体上有两类：一是用样本的一是用样本的频率分布频率分布去估计总体分布；去估计总体分布；二是用样本的某种二是用样本的某种数字特征数字特征去估计总体相去估计总体相应数字特征应数字特征.?数理统计数理统计?的核心问题的核心问题如何根据样本的情况对总体的情况作出推断如何根据样本的情况对总体的情况作出推断频率分布直方图频率分布直方图用样本频率分布估计总体分布用样本频率分布估计总体分布频数：频数：是指一组数据中是指一组数据中,某范围内的数据出现的次数；某范围内的数据出现的次数；频率频率：把频数除以数据的总个数：把频数除以数据的总个数.样本容量样本容量频数频数频率频率 例例 一个容量为一个容量为4040的样本，把它分成的样本，把它分成6 6组，组，第一组到第四组的频数分别为第一组到第四组的频数分别为5,6,7,10.5,6,7,10.第五组的频率是第五组的频率是0.20.2，那么第六组的频数，那么第六组的频数是是 ，频率是，频率是 .4 4 0.10.1 某市政府为了节约生活用水，方案在本市试某市政府为了节约生活用水，方案在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准水量标准a,a,用水量不超过用水量不超过a a的局部按平价收费，的局部按平价收费，超过超过a a的局部按议价收费的局部按议价收费.为了使大局部居民的日为了使大局部居民的日常生活不受影响，标准常生活不受影响，标准a a就应该定的比较合理就应该定的比较合理.为了较合理地确定这个标准，为了较合理地确定这个标准，你认为你认为需需要做哪些工作？要做哪些工作？问题问题1 问题问题2 2 由上表，大家可以得到什么信息？由上表，大家可以得到什么信息？通过抽样，我们获得了通过抽样，我们获得了100100位居民某年的月平均用位居民某年的月平均用 水量水量(单位：单位：t)t)，如下表：，如下表：步骤：步骤：如何画频率分布直方图如何画频率分布直方图 1.1.求极差求极差：4.3 4.3-0.2=4.10.2=4.1 2.2.决定组距与组数决定组距与组数：组数组数=4.14.10.50.5=8.2=8.2组距组距极差极差=3.3.将数据分组将数据分组0 0，0.50.5)，0.50.5，1 1)，4 4，4.54.5 4.4.列列频率分布表频率分布表100100位居民月平均用水量的频率分布表：位居民月平均用水量的频率分布表：当总体很大或不便于获得时，可以用样本的当总体很大或不便于获得时，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布频率分布估计总体的频率分布.我们把反映总体我们把反映总体频率分布的表格称为频率分布的表格称为频率分布表频率分布表.组距组距频率频率0.08频率频率/组距组距月平均用水量月平均用水量/t0.500.400.300.200.10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5.5.画频率分布直方图画频率分布直方图小长方形的面小长方形的面积积=?小长方形的面小长方形的面积总和积总和=?月均用水量最月均用水量最多的在哪个区多的在哪个区间间?当地政府就可以根据这个频率分布直方图制定月用水量标当地政府就可以根据这个频率分布直方图制定月用水量标准准 频率分布直方图有什么优缺点？频率分布直方图有什么优缺点？频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种不同表示形式，前者准确，后者直观，将它们合在一起，可不同表示形式，前者准确，后者直观，将它们合在一起，可对一组数据的频率分布有一个清晰的了解。对一组数据的频率分布有一个清晰的了解。频率频率/组距组距月平均用水量月平均用水量/t0.500.400.300.200.10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 注意：直方图的纵轴表示频率与组距的比值，注意：直方图的纵轴表示频率与组距的比值，总结画频率分布直方图频率分布直方图的操作步骤1.求求极差极差，即数据中最大值与最小值的差即数据中最大值与最小值的差2.决定决定组距与组数组距与组数 组数组数=极差极差/组距组距3.将将数据分组数据分组,通常对组内数值所在区间，取通常对组内数值所在区间，取左闭右左闭右开开区间区间,最后一组取闭区间最后一组取闭区间4.登记登记频数频数,计算计算频率和频率组距频率和频率组距,列出列出频率分布表频率分布表5.画出频率分布直方图纵轴表示频率组距画出频率分布直方图纵轴表示频率组距请同学们尝试以另外的组距重新作图请同学们尝试以另外的组距重新作图.同样一组数据，如果组距不同，得到的图同样一组数据，如果组距不同，得到的图的形状也会不同。的形状也会不同。频率条形图频率条形图频率分布直方图频率分布直方图频率折线图频率折线图总体密度曲线总体密度曲线历史上所做的抛掷硬币试验：历史上所做的抛掷硬币试验：试验结果试验结果频频 数数频频 率率正面向上正面向上(0)361240.5011反面向上反面向上(1)35 9640.4989频频率率分分布布的的注意点：注意点：各直方长条的各直方长条的宽度要相同；宽度要相同；相邻长条之间相邻长条之间的间隔要适当的间隔要适当.频率折线图频率折线图0.020.040.060.08组距组距频率频率150.5153.5156.5159.5162.5165.5168.5171.5174.5177.5180.5身高身高/cm149182频率频率组距组距产品产品尺寸尺寸（mm）ab 当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近一条光滑曲线频率分布直方图就会无限接近一条光滑曲线总体密总体密度曲线度曲线总体在区间总体在区间 内取值的频率内取值的频率),(ba总体密度曲线总体密度曲线问题问题:绿色阴影局部的面积之和等于？绿色阴影局部的面积之和等于？用样本分布直方图去估计相应的总体分布时，用样本分布直方图去估计相应的总体分布时，一般样本容量越大，一般样本容量越大，频率分布直方图频率分布直方图就会无限接就会无限接近近总体密度曲线总体密度曲线，就越精确地反映了总体的分布，就越精确地反映了总体的分布规律，即越精确地反映了总体在各个范围内取值规律，即越精确地反映了总体在各个范围内取值概率。概率。总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的概率概率,精确地反映了总体的分布规律。是研究总体精确地反映了总体的分布规律。是研究总体分布的工具分布的工具.总体密度曲线总体密度曲线1.1.为了了解某校学生视力状况，该校校医在上学为了了解某校学生视力状况，该校校医在上学期每月抽检一次，并统计两眼视力均在期每月抽检一次，并统计两眼视力均在0.80.8以上以上的学生人数的学生人数.由于某种原因，记载表中某些数据由于某种原因，记载表中某些数据丧失丧失(见下表见下表)，请同学们帮助复原此表，请同学们帮助复原此表.抽样序号频 数样本容量频 率1(05、9)621002(05、10)480.603(05、11)2000.614(05、12)30505(06、1)900.590.620.608012253练习练习2.2.将容量为将容量为100100的样本数据，按由从小到大排列分成的样本数据，按由从小到大排列分成8 8个组如下表：个组如下表：组组 号号1 12 23 34 45 56 67 78 8频频 数数10101313141414141515131312129 9 第三组频率为 A.0.14 B.1/14 C.0.03 D.3/143.样本：12，7，11，12，11，12，10，10，9，8，13，12，10，9，6，11，8，9，8，10,那么频率为0.25的样本的范围是.，.，.，.，.4.一个容量为的样本，某组样本的频率为.，那么该组样本的频数为.练习练习5.5.关于频率直方图中的有关数据以下说法正确的选项是关于频率直方图中的有关数据以下说法正确的选项是.直方图的高表示取某数的频率直方图的高表示取某数的频率n n.直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率n n.直方图的高表示该组上的个体数与组距的比值直方图的高表示该组上的个体数与组距的比值.直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与 组距的比值组距的比值6.6.一个容量为一个容量为n n的样本分成假设干组，某组的频数和频率的样本分成假设干组，某组的频数和频率 分别为和分别为和.，那么，那么n n_._.对于样本频率分布直方图与总体密度曲线的关系，以下说法正确对于样本频率分布直方图与总体密度曲线的关系，以下说法正确的是的是、频率分布直方图与总体密度曲线无关、频率分布直方图与总体密度曲线无关、频率分布直方图就是总体密度曲线、频率分布直方图就是总体密度曲线、样本容量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线、样本容量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线、如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布、如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布直方就会无限接近与总体密度曲线。直方就会无限接近与总体密度曲线。茎叶图茎叶图A.5 B.6C.7 D.8解析解析:选选D.1777(180181170173178179)178,x82.某中学高二某中学高二(2)班甲、乙两名同学自上高中以来班甲、乙两名同学自上高中以来 每场数学考试成每场数学考试成 绩绩情况如下情况如下:甲的得分甲的得分:95,81,91,86,89,71,65,76,88，110,107;乙的得分乙的得分:83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.画出两人数学成绩的茎叶图画出两人数学成绩的茎叶图,并根据茎叶图对两人的成绩进行比较并根据茎叶图对两人的成绩进行比较,说明甲、乙两人谁发挥比较稳定说明甲、乙两人谁发挥比较稳定.【解】甲、乙两人数学成绩的茎叶图如下图【解】甲、乙两人数学成绩的茎叶图如下图:从这个茎叶图上可以看出从这个茎叶图上可以看出,乙同学的得分情况是大致对称的乙同学的得分情况是大致对称的,中位数中位数是是98;甲同学的得分情况除一个特殊得分外甲同学的得分情况除一个特殊得分外,也大致对称也大致对称,中位数是中位数是88.因此乙同学发挥比较稳定因此乙同学发挥比较稳定,总体得分情况比甲同学好总体得分情况比甲同学好.【点评】【点评】绘制茎叶图的关键是分清茎和叶绘制茎叶图的关键是分清茎和叶.一般地一般地说说,如果数据是整数如果数据是整数(至少为两位数至少为两位数)的的,除除个位数字以外的其它数字为个位数字以外的其它数字为“茎茎,个位数个位数字为字为“叶叶;如果是小数的如果是小数的,通常把整数局通常把整数局部作为部作为“茎茎,小数局部作为小数局部作为“叶叶.解题时解题时要根据数据特点合理选择茎和叶要根据数据特点合理选择茎和叶.3.(2021高考福建卷高考福建卷)假设某校高一年级假设某校高一年级8个个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,那那么这组数据的中位数和平均数分别是么这组数据的中位数和平均数分别是()91.5和和91.5B.91.5和和92C.91和和91.5 D.92和和924.在育才中学举行的电脑知识竞赛中在育才中学举行的电脑知识竞赛中,将九年级两个班参赛的学生成将九年级两个班参赛的学生成绩绩(得分均为整数得分均为整数)进行整理后分成五组进行整理后分成五组,绘制频率分布直方图绘制频率分布直方图.图中从图中从左到右的第一、三、四、五小组的频率分别是左到右的第一、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05,组组距为距为10,那么第二小组的小长方形的高为那么第二小组的小长方形的高为()A.0.04 B.0.40 C.10 D.0.025解析解析:选选A.各小组的频率之和为各小组的频率之和为1.00,第一、三、四、五小组的频率分别是第一、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05.第二小组的频率为第二小组的频率为:1.00(0.300.150.100.05)0.40.5.甲、乙两组数据用茎叶图表示如图甲、乙两组数据用茎叶图表示如图,中间一列的数字表示该数据的中间一列的数字表示该数据的十位数十位数,两边的数字表示该数据的个位数两边的数字表示该数据的个位数,那么甲组数据的平均数是那么甲组数据的平均数是_,乙组数据的中位数是乙组数据的中位数是_.频率分布表频率分布表频率分布表在数量表示上比较确切，但频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，分析数据分布的总体不够直观、形象，分析数据分布的总体态势不太方便态势不太方便频率分布直方图频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，能够看到分布表中地表明分布的形状，能够看到分布表中看不清楚的数据模式，但看不出原始数看不清楚的数据模式，但看不出原始数据内容据内容频率分布折线图频率分布折线图（密度曲线）（密度曲线）反映数据的变化趋势，如果样本容量不反映数据的变化趋势，如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，折线图断增大，分组的组距不断缩小，折线图就趋向于总体分布的一条密度曲线。就趋向于总体分布的一条密度曲线。茎叶图茎叶图优点：一是所有信息都可以从图中找到；优点：一是所有信息都可以从图中找到；二是便于记录和表示，能够表示数据分二是便于记录和表示，能够表示数据分布情况；但当样本数据较多或数据位数布情况；但当样本数据较多或数据位数较多时，就不太方便了较多时，就不太方便了了解各种方法的优劣了解各种方法的优劣