南京市2016届第一次高三学情调研考试(数学)

南京市2016届高三学情调研考试 数 学 2015.09注意事项：1本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级写在答题纸上试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸参考公式样本数据x1，x2，xn的方差s2 (xi)2，其中 xi锥体的体积公式：VSh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1已知集合A1，0，1，2，Bx|x210，则AB2已知复数z满足：z(1i)24i，其中i为虚数单位，则复数z的模为3. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为4从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是5已知向量a(1，2)，b(m，4)，且 a(2ab)，则实数m的值为6如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为开始k1S0S20kk1SS2kYN输出k结束（第6题图）1333xOy（第7题图）7如图，它是函数f(x)Asin(wxj)(A0，w0，j0，2p) )图象的一部分，则f (0)的值为8已知双曲线1 (a0，b0)的一条渐近线的方程为2xy0，则该双曲线的离心率为9直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为2，E为棱CC1的中点，则三棱锥A1B1C1E的体积为10对于直线l，m，平面，m，则“lm”是“l”成立的条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）11已知函数f(x)x3x22ax1，若函数f(x)在(1，2)上有极值，则实数的取值范围为12已知平行四边形ABCD中，AD2，BAD60若E为DC中点，且1，则的值为13已知等比数列an的公比q1，其前n项和为Sn若S42S21，则S6的最小值为14在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点若以AB为直径的圆与圆x2(y2)21相外切，且APB的大小恒为定值，则线段OP的长为二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15（本小题满分14分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosBbcosA（1）求的值；（2）若sinA，求sin(C)的值 16（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点PABCDE（第16题图）（1）求证：PC / 平面BDE；（2）若PCPA，PDAD，求证：平面BDE平面PAB17（本小题满分14分）某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段（注：一个标段是指一定长度的机动车道）的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足nax5已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍（1）写出新建道路交叉口的总造价y（万元）与x的函数关系式；（2）设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比若新建的标段数是原有标段数的20%，且k3问：P能否大于，说明理由18（本小题满分16分）已知椭圆1(ab0)的离心率e，一条准线方程为x = 2过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P，P关于x轴的对称点为Q（1）求椭圆的方程；（2）若直线AP，AQ与x轴交点的横坐标分别为m，n，求证：mn为常数，并求出此常数xyOPQA（第18题图）19（本小题满分16分）已知函数f(x)ex，g(x)xb，bR （1）若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，求b的值； （2）设T(x)f(x)ag(x)，aR，求函数T(x)的单调增区间；（3）设h(x)|g(x)|f(x)，b1若存在x1，x20，1，使|h(x1)h(x2)|1成立，求b的取值范围20（本小题满分16分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且2a5a313，S416 （1）求数列an的前n项和Sn； （2）设Tn(1)iai，若对一切正整数n，不等式Tnan1(1)n1an2n1 恒成立，求实数的取值范围； （3）是否存在正整数m，n(nm2)，使得S2，SmS2，SnSm成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，说明理由 南京市2016届高三学情调研考试 数学附加题 2015.09注意事项：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共40分，考试时间30分钟3答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题纸上试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸21【选做题】在A、B、C、D四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分请在答题纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2ABEDABCDEO（第21题（A）图）B选修42：矩阵与变换已知点P(3，1)在矩阵A变换下得到点P(5，1)试求矩阵A和它的逆矩阵AC选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（为参数，m为常数）以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos()=若直线l与圆C有两个公共点，求实数m的取值范围D选修45：不等式选讲设实数x，y，z满足x5yz9，求xyz的最小值【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）假定某射手射击一次命中目标的概率为现有4发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完设耗用子弹数为X，求：（1）X的概率分布；（2）数学期望E(X)23（本小题满分10分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF中，AB，CE1，CE平面ABCD（1）求异面直线DF与BE所成角的余弦值； ABCDE F（第23题图）（2）求二面角ADFB的大小南京市2016届高三学情调研考试 数学参考答案及评分标准 2015.09说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 12 2 30.032 4 5265 7 8 9 10必要不充分 11(，4) 123 1323 14二、解答题：本大题共6小题，共90分15解：（1）由acosBbcosA，得sinAcosBsinBcosA， 3分 即sin(AB)0 因为A，B(0，)，所以AB(，)，所以AB0， 所以ab，即1 6分 （2）因为sinA，且A为锐角，所以cosA 8分 所以sinCsin(2A)sin2A2sinAcosA， 10分 cosCcos(2A)cos2A12sin2A12分 所以sin(C)sinCcoscosCsin14分16证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE 因为ABCD是平行四边形，所以OAOC2分 因为 E为侧棱PA的中点，所以OEPC4分 因为PC平面BDE，OE平面BDE，所以PC / 平面BDE6分 （2）因为E为PA中点，PDAD，所以PADE8分 因为PCPA，OEPC，所以PAOEPABCDEO 因为OE平面BDE，DE平面BDE，OEDEE， 所以PA平面BDE12分 因为PA平面PAB，所以平面BDE平面PAB 14分17解：（1）依题意得 ymknmk(ax5)，xN* 4分 （2）方法一 依题意x0.2a 6分所以P 8分 13分 答：P不可能大于 14分方法二 依题意x0.2a 6分所以P8分假设P，得ka220a25k0 10分因为k3，所以100(4k2)0，不等式ka220a25k0无解13分 答：P不可能大于 14分18解： 因为， = 2， 所以a，c1，所以b 故椭圆的方程为y21 4分 解法一 设P点坐标为(x1，y1)，则Q点坐标为(x1， y1) 因为kAP，所以直线AP的方程为yx1令y = 0，解得m. 8分 因为kAQ，所以直线AQ的方程为yx1 令y0，解得n 12分 所以mn 14分 又因为(x1，y1)在椭圆+ y2 = 1上，所以 + y= 1，即1y= ， 所以2，即mn2 所以mn为常数，且常数为2 16分解法二 设直线AP的斜率为k(k0)，则AP的方程为y = kx +1， 令y = 0，得m 6分 联立方程组 消去y，得(12k2)x24kx0，解得xA0，xP =， 8分 所以yPkxP1， 则Q点的坐标为(，) 10分所以kAQ，故直线AQ的方程为yx1令y0，得n2k， 14分 所以mn()(2k)2 所以mn为常数，常数为2 16分19解：(1)设切点为(t，et)，因为函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切， 所以et1，且ettb， 解得b1 2分 （2)T(x)exa(xb)，T(x)exa 当a0时，T(x)0恒成立 4分 当a0时，由T(x)0，得xln(a) 6分 所以，当a0时，函数T(x)的单调增区间为(，)； 当a0时，函数T(x)的单调增区间为(ln(a)，) 8分（3) h(x)|g(x)|f(x)当xb时，h(x)(xb1) ex0，所以h(x)在(b，)上为增函数；当xb时，h(x)(xb1) ex，因为b1xb时，h(x)(xb1) ex0，所以h(x)在(b1，b)上是减函数；因为xb1时， h(x)(xb1) ex0，所以h(x)在(，b1)上是增函数10分 当b0时，h(x)在(0，1)上为增函数所以h(x)maxh(1)(1b)e，h(x)minh(0)b由h(x)maxh(x)min1，得b1，所以b0 12分当0b时，因为bx1时， h(x)(xb1) ex0，所以h(x)在(b，1)上是增函数，因为0xb时， h(x)(xb1) ex0，所以h(x)在(0，b)上是减函数所以h(x)maxh(1)(1b)e，h(x)minh(b)0由h(x) maxh(x) min1，得b因为0b，所以0b 14分当b1时，同理可得，h(x)在(0，b)上是减函数，在(b，1)上是增函数所以h(x)maxh(0)b，h(x)minh(b)0因为b1，所以h(x)maxh(x)min1不成立 综上，b的取值范围为(，) 16分20解：(1)设数列an的公差为d 因为2a5a313，S416， 所以解得a11，d2，2分 所以an2n1，Sn n2 4分(2)当n为偶数时，设n2k，kN*，则T2k(a2a1)(a4a3)(a2ka2k1)2k 5分代入不等式Tnan1(1)n1an2n1 ，得2k4k，从而设f(k)，则f(k1)f(k)因为kN*，所以f(k1)f(k)0，所以f(k)是递增的，所以f(k)min2，所以2 7分当n为奇数时，设n2k1，kN*，则T2k1T2k(1)2ka2k2k(4k1)12k 8分代入不等式Tnan1(1)n1an2n1 ，得(12k)(2k1)4k，从而4k因为kN*，所以4k的最大值为4，所以4综上，的取值范围为42 10分(3)假设存在正整数m，n(nm2)，使得S2，SmS2，SnSm成等比数列，则(SmS2)2S2(SnSm)，即(m24)24(n2m2)，所以4n2(m22)212，即4n2(m22)212， 12分即(2nm22)(2nm22)12 14分因为nm2，所以n4，m3，所以2nm2215因为2nm22是整数，所以等式(2nm22)(2nm22)12不成立，故不存在正整数m，n(nm2)，使得S2，SmS2，SnSm成等比数列 16分南京市2016届高三学情调研考试 数学附加题参考答案及评分标准 2015.0921【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分 A选修41：几何证明选讲证明：连接BD， 因为直线AE与圆O相切，所以EADABD4分 又因为ABCD， 所以BADADE， 所以EADDBA 8分 从而，所以AD2ABED 10分B选修42：矩阵与变换解：依题意得 ，2分所以解得 所以A 6分因为det(A)1(1)021，8分所以A 10分C选修44：坐标系与参数方程解：圆C的普通方程为(xm)2y24 2分直线l的极坐标方程化为 (cossin)，即xy，化简得xy20 4分因为圆C的圆心为C(m，0)，半径为2，圆心C到直线l的距离d，所以d2， 8分解得22m22 10分D选修45：不等式选讲解：由柯西不等式得(xyz)(125212)(1x5y1z)2 6分因为x5yz9，所以xyz3， 8分当且仅当x，y，z时取等号所以xyz的最小值为3 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分22解：耗用子弹数X的所有可能取值为1，2，3，4当X1时，表示射击一次，命中目标，则P(X1)； 当X2时，表示射击两次，第一次未中，第二次射中目标，则P(X2)(1)；2分当X3时，表示射击三次，第一次、第二次均未击中，第三次击中，则P(X3)(1)(1)； 4分当X4时，表示射击四次，前三次均未击中，第四次击中或四次均未击中，则P(X4)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1) X1234P X的概率分布为6分(2)E(X)123+4 10分23解：以，为正交基底，建立如图空间直角坐标系Cxyz，则D(，0，0)，F(，1)，E(0，0，1)，B(0，0)，C(0，0，0)，所以(0，1)，(0，1)，2分ABCDE Fyxz从而cos 4分所以直线DF与BE所成角的余弦值为5分(2)平面ADF的法向量为m (，0，0).6分设面BDF的法向量为n = (x，y，z)又(，0，1)由n0，n0，得yz0，xz0，取x1，则y1，z，所以n = (1，1，)，8分所以cos又因为0，p，所以所以二面角A DF B的大小为 10分高三数学试卷第16页（共4页）