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在数学的天地里，重要的不是我们知道在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。什么，而是我们怎么知道什么。毕达哥拉斯毕达哥拉斯 abcCBA勾股定理：勾股定理：如果直角三角形的两直角边为如果直角三角形的两直角边为a，b，斜边长为斜边长为c，那么，那么a2+b2=c2.反过来，如果一个三反过来，如果一个三角形的三边长角形的三边长a、b、c满足满足a2+b2=c2.那么这个那么这个三角形的形状怎样？三角形的形状怎样？你知道古埃及怎样画直角的吗？如图所你知道古埃及怎样画直角的吗？如图所示，他们用示，他们用1313个等距的结把一根绳子分成等个等距的结把一根绳子分成等长的长的1212段，一个工匠同时握住绳子的段，一个工匠同时握住绳子的第第1 1个结个结和和第第1313个结个结，两个助手分别握住，两个助手分别握住第第4 4个结个结和和第第8 8个结个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第其直角在第4 4个结处个结处.148(13)工匠助手助手方法：方法：用剪刀剪出三条长度分别为以下用剪刀剪出三条长度分别为以下长度的小木棒并摆放成三角形长度的小木棒并摆放成三角形 (1)5cm，12cm，13cm (2)9cm，15cm，12cm (3)2.5cm，6cm，6.5cm1、上面每组中的三条边有什么关系？2、你得到的是什么三角形？勾股定理的逆命题 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为斜边为c，那么，那么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2勾股定理勾股定理 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、b、c满足满足那么这个三角形是直角三角形。那么这个三角形是直角三角形。a a2 2+b+b2 2=c=c2 2互逆命题互逆命题互逆命题:两个命题中两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而而第一个命题的结论又是第二个命题的题设第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做那么这两个命题叫做互互逆命题逆命题.如果把其中一个叫做如果把其中一个叫做原命题原命题,那么另一个叫做它的那么另一个叫做它的逆命题逆命题.互逆定理互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定那么它也是一个定理理,这两个定理叫做这两个定理叫做互逆定理互逆定理,其中一个叫做另一个的其中一个叫做另一个的逆定理逆定理.驶向胜利驶向胜利的彼岸的彼岸定理与逆定理开启 智慧我们已经学习了一些互逆的定理我们已经学习了一些互逆的定理,如如:勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理,两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等;内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行.w想一想:w互逆命题与互逆定理有何关系互逆命题与互逆定理有何关系?w如果一个如果一个定理定理的逆命题经过证明是真命题的逆命题经过证明是真命题,那么它那么它是一个是一个定理定理,这两个定理称为这两个定理称为互逆定理互逆定理,其中一个其中一个定理称另一个定理的定理称另一个定理的逆定理逆定理.(1)两条直线平行，内错角相等两条直线平行，内错角相等(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等如果两个实数相等，那么它们的平方相等(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等(4)全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等说出下列命题的逆命题这些命题的逆命题成立吗说出下列命题的逆命题这些命题的逆命题成立吗?逆命题逆命题:内错角相等，两条直线平行内错角相等，两条直线平行.成立成立逆命题逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.不成立不成立逆命题逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.不成立不成立逆命题逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形对应角相等的两个三角形是全等三角形.不成立不成立感悟感悟:原命题成立时原命题成立时,逆命题有时成立逆命题有时成立,有时不成立有时不成立试一试试一试一个一个命题命题是真命题是真命题,它逆命题却它逆命题却不一定不一定是真命题是真命题.勾股定理的逆命题 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为斜边为c，那么，那么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2勾股定理勾股定理 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、b、c满足满足那么这个三角形是直角三角形。且边那么这个三角形是直角三角形。且边C年所对的角为直角。年所对的角为直角。a a2 2+b+b2 2=c=c2 2互逆命题逆定理逆定理定理定理 C=900 AB2=a2+b2 a2+b2=c2 AB 2=c2 AB=c 边长取正值边长取正值 ABC ABC（SSS）C=C(全等全等三角形对应角相等）三角形对应角相等）C=900BC=a=BCCA=b=CAAB=c=ABcabBCAabBCA已知已知:在在ABC中，中，AB=c BC=a CA=b 且且a2+b2=c2求证求证:ABC是直角三角形是直角三角形证明证明:画一个画一个ABC,使使 C=900,BC=a,CA=b在在 ABC和和 ABC中中 ABC是直角三角形是直角三角形（直角三角形的定义）（直角三角形的定义）勾股定理的逆命题例例1 判断由判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：组成的三角形是不是直角三角形：(1)a15,b 8,c17例题解析例题解析(2)a13,b 15,c14分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条不是直角三角形，只要看两条较小边较小边的平方的平方和是否等于和是否等于最大边最大边的平方。的平方。解：解：1528222564289 172289 15282172 这个三角形是直角三角形这个三角形是直角三角形 下面以下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？么哪一个角是直角？(1)a=25 b=20 c=15 _ _;(2)a=13 b=14 c=15 _ _;(4)a:b:c=3:4:5 _ _;是是是是不是不是 是是 A=900 B=900 C=900(3)a=1 b=2 c=_ _;3 像像25,20,15,能够成为直角三角形能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为三条边长的三个正整数，称为勾股数勾股数.PEQRN远航远航海天海天 随堂练习：随堂练习：1、将下列长度的三木棒首尾顺次连接，能组、将下列长度的三木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（成直角三角形的是（）(A)1,2,3 (B)4,6,8 (C)5,5,4 (D)15,12,9 2 2、如果线段、如果线段a,b,ca,b,c能组成直角三角形能组成直角三角形,则它则它们的比可能是（们的比可能是（）（A A）3:4:7;3:4:7;（B B）5:12:13;5:12:13;（C C）1:2:4;1:2:4;（D D）1:3:5.1:3:5.DB3.3.三角形的三边分别是三角形的三边分别是a,b,ca,b,c,且满足且满足(a+b)(a+b)2 2-c-c2 2=2ab,=2ab,则此三角形是则此三角形是:():()A.A.直角三角形直角三角形;B.;B.是锐角三角形是锐角三角形;C.C.是钝角三角形是钝角三角形;D.;D.是等腰直角三角形是等腰直角三角形.4、一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件、一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中中A和和DBC都应为直角工人师傅量出了这个都应为直角工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗?此时四边形此时四边形ABCD的面积是多少的面积是多少?5、已知已知a，b，c为为ABC的三边的三边,且且 满足满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断试判断ABC的形状的形状.思维训练思维训练6、ABC三边三边a,b,c为边向外作为边向外作正方形，正三角形，以三边为正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若直径作半圆，若S1+S2=S3成立，成立，则则是直角三角形吗？是直角三角形吗？ACabcS1S2S3BABCabcS1S2S3思维训练思维训练活动活动2 2：范例讲解：范例讲解例例7：判断由线段：判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：组成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=m2-n2，b=m2+n2，c=2mn（mn，m、n是正整数）是正整数）解；（解；（1)a2=225，b2=64，c2=289又又 225+64=289 a2+b2=c2即即:三角形是直角三角形三角形是直角三角形(2)a2=(m2-n2)2=m4-2m2n2+n4,b2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4,c2=(2mn)2=4m2n2又又m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+n4 a2+c2=b2即即:三角形是直角三角形三角形是直角三角形知识运用知识运用:AFECBD8如图如图:在正方形在正方形ABCD中中,E是是BC的中点的中点,F是是CD上一点上一点,且且CF=CD.猜想猜想AEF的形状的形状,并证明你的结论并证明你的结论.14解解:AEF是直角三角形；是直角三角形；理由：设正方形理由：设正方形ABCD的边长是的边长是a,则则:22222222222222222113,24415242 51 61521 6B EC EaC FaD FaR TA B EA EA BB EaaR TA D FA FA DD FaaR TC E FE FC EC FaA FA EE FA E F2222在中，由勾股定理得：（a）同理：在中，3（a）；4在中，1（a）（a）4是直角三角形。9.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力。如图所示，千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力。如图所示，据气象部门报道：距沿海城市据气象部门报道：距沿海城市A的正南方向的正南方向220千米千米B处有一处有一个台风中心，其中心最大风力个台风中心，其中心最大风力12级，每远离台风中心级，每远离台风中心20千米，千米，风力会减弱一级。该台风正以风力会减弱一级。该台风正以15km/h的速度沿北偏东的速度沿北偏东30方向往方向往C处移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达处移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称受到台风影响。到或超过四级，则称受到台风影响。（1）该城市是否会受到此次台风的影响？请说明理由。）该城市是否会受到此次台风的影响？请说明理由。（2）若受到影响，那么台风影响该城市的持续时间为多长？）若受到影响，那么台风影响该城市的持续时间为多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？）该城市受到台风影响的最大风力为几级？思考题：思考题：BAC10.已知已知a.b.c为为ABC的三边的三边,且满足且满足 a2c2 b2c2=a4 b4,试判断试判断ABC的形状的形状.解解 a2c2-b2c2=a4 b4 (1)c2(a2 b2)=(a2+b2)(a2-b2)(2)c2=a2+b2 (3)ABC是直角三角形是直角三角形问问:(1)上述解题过程上述解题过程,从哪一步开始出现错误从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号请写出该步的代号(2)错误原因是错误原因是(3)本题正确的结论是本题正确的结论是3a2-b2可能是可能是0直角三角形或等腰三角形直角三角形或等腰三角形11、如图：在、如图：在 ABC中，中，AB=13，BC=10，BC边上的中线边上的中线AD=12，求证：求证：AB=AC。CADB证明：证明：AD是是BC边上的中线，边上的中线，BD=CD=1/2BC=5 在在ABD中，中，AB=13，BD=5，AD=12 BD2+AD2=52+122=169=AB2 ABD是直角三角形。是直角三角形。ACD也是直角三角形。也是直角三角形。根据勾股定理得到：根据勾股定理得到：135122222CDADACAB=AC=13满足满足 的三个的三个 ，称为称为勾股数勾股数。222cba正整数正整数你能写出常用的勾股数吗？你能写出常用的勾股数吗？3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41勾股小常识：勾股小常识：(1)a+b=c，满足，满足(a,b,c)=1则则a,b,c,为基本勾数如：为基本勾数如：3、4、5;5、12、13;7、24、25(2)如果如果a,b,c是一组勾股数，则是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）为正整数）也是一组勾股数，如：也是一组勾股数，如：6、8、10；9、12、15(3)若若a,b,c是一组基本的勾股数，则是一组基本的勾股数，则a,b,c不能同时为奇数不能同时为奇数(4)一组勾股数中必有一个数是一组勾股数中必有一个数是5倍数倍数(5)2mn,m-n,m+n为勾股数组，为勾股数组，mn0,m,n一奇一偶一奇一偶探索探索猜想猜想归纳归纳验证验证应用应用拓展拓展知识源于探索判定一个三角形是直角三角形的方法判定一个三角形是直角三角形的方法有有一个角是直角一个角是直角的三角形是的三角形是直角三角形直角三角形.角：角：边：边：如果三角形的三边长如果三角形的三边长a a，b b，c c满满足足 a2+b2=c2，那么这个三角形是，那么这个三角形是直角三角形直角三角形再再 见见
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