高中数学第三章不等式33基本不等式332基本不等式与最大小值达标练习北师大版必修5

3.3.2 基本不等式与最大（小）值 A基础达标1设x0，则y33x的最大值是()A3B32C32 D1解析：选C.y33x33232，当且仅当3x，即x时取等号2函数ylog2(x1)的最小值为()A3 B3C4 D4解析：选B.因为x5(x1)6268.所以log23，所以ymin3.当且仅当x1，即x2时，等号成立3已知x0，y0，且xy8，则(1x)(1y)的最大值为()A16 B25C9 D36解析：选B.(1x)(1y)25，因此当且仅当1x1y即xy4时，(1x)(1y)取最大值25，故选B.4已知x1，y1且xy16，则log2xlog2y()A有最大值2 B等于4C有最小值3 D有最大值4解析：选D.因为x1，y1，所以log2x0，log2y0.所以log2xlog2y4，当且仅当xy4时取等号故选D.5已知函数yx4(x1)，当xa时，y取得最小值b，则ab()A3 B2C3 D8解析：选C.yx4(x1)5，因为x1，所以x10，所以y252351.当且仅当x1，即x2时，等号成立，即a2，b1，所以ab3.6已知x，y0且xy1，则pxy的最小值为_解析：xyxy3325，当且仅当xy时等号成立答案：57周长为1的直角三角形面积的最大值为_解析：设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b，则1ab2，解得ab，当且仅当ab时取“”，所以直角三角形面积S，即S的最大值为.答案：8若直线1(a0，b0)过点(1，2)，则2ab的最小值为_解析：因为直线1(a0，b0)过点(1，2)，所以1，因为a0，b0，所以2ab(2ab)()4428，当且仅当，即a2，b4时等号成立，所以2ab的最小值为8.答案：89求下列函数的最小值(1)设x，y都是正数，且3，求2xy的最小值；(2)设x1，求y的最小值解：(1)2xy(2xy)(24).当且仅当时等号成立，即y24x2.所以y2x.又因为3，得x，y.所以当x，y时，2xy取得最小值为.(2)因为x1，所以x10.设x1t0，则xt1，于是有yt5259，当且仅当t，即t2时取等号，此时x1.所以当x1时，函数y取得最小值为9.10.桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中ab12.(1)试用x，y表示S；(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？解：(1)由题可得，xy1 800，b2a，则yab63a6，S(x4)a(x6)b(3x16)a(3x16)1 8326xy(x6，y6，xy1 800)(2)法一：S1 8326xy1 83221 8324801 352，当且仅当6xy，xy1 800，即x40，y45时，S取得最大值1 352.法二：S1 8326x1 8321 83221 8324801 352，当且仅当6x，即x40时取等号，S取得最大值此时y45.B能力提升11已知a0，b0，若不等式2ab9m恒成立，则实数m的最大值为()A8B7C6 D5解析：选C.由已知，可得61，所以2ab6(2ab)66(54)54，当且仅当时等号成立，所以9m54，即m6，故选C.12若a，bR，ab0，则的最小值为_解析：，由基本不等式得，24ab4，当且仅当，4ab同时成立时等号成立答案：413已知lg(3x)lg ylg(xy1)(1)求xy的最小值；(2)求xy的最小值解：由lg(3x)lg ylg(xy1)，得(1)因为x0，y0，所以3xyxy121，所以3xy210，即3()2210.所以(31)(1)0.所以1，所以xy1.当且仅当xy1时，等号成立所以xy的最小值为1.(2)因为x0，y0，所以xy13xy3，所以3(xy)24(xy)40，所以3(xy)2(xy)20.所以xy2.当且仅当xy1时取等号所以xy的最小值为2.14(选做题)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB2米，AD1米(1)要使矩形AMPN的面积大于9平方米，则DN的长应在什么范围内？(2)当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值解：(1)设DN的长为x(x0)米，则|AN|(x1)米，因为，所以|AM|，所以S矩形AMPN|AN|AM|.由S矩形AMPN9，得9，又x0，所以2x25x20，解得0x2.即DN的长的取值范围是(2，)(单位：米)(2)由(1)知矩形花坛AMPN的面积为y2x4248(x0)当且仅当2x即x1时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为8平方米