数学教师的“三项基本功”

数学教师的“三项基本功”引入：一个长期的思考 数学教师是否应当具有自己特殊的基本功？数学教师的三项基本功：（1）善于善于举例；（2）善于善于提问；（3）善于善于比较与优化。一个普遍性的建议 面对任一新的主张或时髦潮流，我们都应冷静地思考：什么是这一主张或口号的主要内涵？这一主张或口号能为我们提供什么新的启示和教益，特别是，具有怎样的现实意义？什么是其固有的局限性或可能的消极后果？相应的基本认识“三项基本功”集中反映了数学与数学教学（教育）的特殊性。“三项基本功”不应被理解成单纯的技能；恰恰相反，就只有联系深层次的教学思想和教育思想进行分析思考我们才能真正理解它们的内涵和意义。一、一、“善于举例善于举例”与数学教学与数学教学从“什么是数学”谈起？一个基本论点：“数学：模式的科学”（mathematics：the science of patterns）数学所反映的并不是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。进一步的分析 数学基本特性：抽象性。“善于举例”的两个具体涵义：（1）如何能为抽象的数学概念举出适当的实例？（2）如何能够帮助学生由具体实例抽象出相应的数学概念？学习心理学研究的相关结论“概念定义”与“概念意象”的必要区分。概念意象的多元性：它“由所有的相关实例、反例、事实和关系组成。”（维纳与赫什科威兹，1980）（1）什么是“适当的例子”？标准之一：相对于学生的可接受性；标准之二：典型性，也即能为相应的数学抽象提供必要的基础。这方面的一个基本事实：举例并非一件易事。例“范例教学法”（R.Davis)为了帮助学生掌握负数的概念，特别是有理数的运算（如4-10=?），教师采用了一个装有豆子的口袋，再在桌上摆上一些豆子。教师先在口袋中装入4 棵豆子，同时在黑板上记下“4”这样一个数字；然后，教师从口袋中拿出10棵豆子，这时黑板上就出现了“4-10”这样一个计算式。教师接着提问道：（1）现在口袋里的豆子与一开始相比是变多了还是变少了？（2）少了多少？相关的分析 豆子、口袋以及相关的动作对于学生来说显然都是十分熟悉的。一个好的“认知基础”应当具有这样的性质：它能“自动地”指明相关概念的基本性质或相关的运算法则。这也就是指，借助于所说的实例学生可以顺利地作出相应的发现。例如，学生在此显然就可借助所说实例顺利地实行 4-10、5 8等运算，而无须依赖于对相应法则的机械记忆。（2）如何帮助学生由实例抽象出相应的数学概念？这方面的关键之一：去情境；更为深入的分析:数学抽象的建构性质；相关的理论：“变式理论”（“概念变式”）。核心思想：如何通过适当的变化帮助学生掌握相关概念的本质。例1 正方形的认识 教师：“什么是正方形？”学生：“方方正正就是正方形。”教师：“什么是方方正正？”学生：“就是四边相等。”教师在黑板上画出菱形，问：“这个图形是否是正方形？”学生：“不是，因为它不正。”教师又在黑板上画一个矩形，问：“这是否正方形？”学生：“不是！因为这个图形不方。”这样诸多回答，教师将学生回答得正确的结论都写在黑板上，回答不正确的不写，最后加以补充总结，抽象出正方形的定义。写在黑板上。“概念变式”的主要内容：（1）“标准变式”与“非标准变式”：我们在教学中不应局限于平时经常用到的一些实例，而应有意识地引入一些“非标准变式”，从而就可防止学生将相关实例的一些非本质特性误认为概念的本质特性。（2）“概念变式”与“非概念变式”：“非概念变式”大致地就相当于“反例”，这也就是指，除去“正例”以外，我们在教学中还应给出若干“反例”，这样，通过两者的对照就可帮助学生更好地掌握概念的本质。例2“认识分数”引入：“分蛋糕”。教师并通过简短讨论引出了这样一个结论：“将一个蛋糕平均分成两份，每份是它的1/2。问题：如何以“变式理论”（概念变式）为指导去设计教学从而帮助学生较好掌握分数的本质？（1）分割的对象显然未必一定要是蛋糕，而也可以是纸片或别的什么东西；另外，对于所分割对象的外形也不应作任何限制：它们既可以是圆形，也可以是方形或任何其它形状。（2）对分割方法也可作出一定变化，如就长方形纸片的分割而言，可以横着折，也可以竖着折，还可钭着折；另外，除去各个“正例”以外，我们显然也应引入一定的“反例”，如按照中位线分割的梯形等 （3）作为进一步的抽象，我们显然又应由1/2逐步扩展到1/3，1/4，乃至2/3，3/4，。从而，如果仍然集中于“将一个蛋糕平均分成两份，每份是它的1/2”这一论述，我们就可以说，除去分割的对象与方法以外，我们也应对“平均分成两份”中的“两份”以及所说的“每份”作出适当变化。（4）这事实上也可被看成“非标准变式”的一个实例，即分配的对象也可以是2个蛋糕、3个蛋糕，而未必一定要是1个蛋糕容易看出，这一变化事实上也就意味着我们已经将分析的着眼点由“（平均）分配”这一实际活动转移到了部分与整体之间的关系，后者并就意味着对于分数本质更为深入的认识。新的重要发展：由“变式理论”到“多元表征理论”传统的研究：主要集中于如何能够通过适当的举例帮助学生较好掌握概念的本质（单一表征）。新的认识：更加强调概念内在表征（概念意象）的多元性，以及各方面的必要互补与思维的灵活性回顾：心理学研究的相关结论“概念定义”与“概念意象”的必要区分。概念意象的多元性：它“由所有的相关实例、反例、事实和关系组成。”（维纳与赫什科威兹，1980）一些相关的提法 布鲁纳（1964）的三种意象形式：动作的、图像的，和符号的；Lesh&Laudan（1983）的“五个维度”：实物操作，图像，日常语言，符号语言、现实情景。从教学的角度看 更为一般的思考：如何处理好形式与非形式之间的关系？我们既应高度重视由实例向严格定义的必要过渡，同时又应适当地“淡化形式”，并应高度重视认识活动的复杂性（多元性）与整合性。一些具体的教学建议（1）视觉形象与符号表征的必要互补：当前应当加强的环节：“教师用手势说明自己的表征；或者教师使用空间表征，比如代数学习中的箭头说明自己的表征；教师并有意识地促使学生建构和运用表征；教师要求学生以手臂、手指或身体移动等展现表征的肌体运动；”（普雷斯梅杰，2006）（2）日常语言与数学语言的必日常语言与数学语言的必要互补要互补 教师在教学中不应停留于严格的数学语言，而应注意使用日常语言对相关内容作出必要的解释。这事实上也就是比喻与类比何以在数学教学中同样具有广泛应用的重要原因，教师并应要求学生用自己的语言说出对数学概念的理解，甚至是感受。关键：我们既应对学生的非正规解释持接受与理解的态度，同时又应注意维护数学的正式意义。（3）操作性认识与结构性认识的必要互补 当前应当加强的环节：活动的内化；由操作性认识向结构性认识的必要过渡。相关的论述：“对概念教学，课改以后更为强调概念的生成，这是正确的。但不能忽视对概念本身的分析，这可是基本功。”（陈永明，2008）更为一般的分析 概念教学的不同环节：生成、分析与组织。陈永明：“为了理解一个概念，一般说，一是正反举例；二是扣住定义的关键词语；三是注意特殊情况；四是与有关概念进行比较，找出概念的区别和联系。”相关的理论 从“变式理论”到“变异理论”（植佩敏、马飞龙，“如何促进学生学习变易理论与中国式教学”，人民教育，2009年第8期）注意概念的不同定义；转变概念的表征形式（图形变式与语言变式）；认识概念的多元性质，分析概念与其它概念之间的联系（包括相同点与不同点）转向“问题解决”数学活动的两个基本形式：（1）概念的生成、分析与组织；（2）问题解决的提出与解决。相关的论述“要求学习者解决问题时，必须通过提供相关案例向学习者提供他们不具备的经验通过在学习环境中展示相关案例，向学习者提供了一系列的经验和他们可能已经建构的与这些经验有关的知识，以便与当前的问题进行对比”（乔纳森）进一步的分析“例题”在数学教学中的应用；两种不同的数学传统：（1）不同的典范：古希腊的几何原本与中国的九章算术。（2）不同的范式：“公理演绎”与“问题算法”。相关的经验 李成良（2010）：“我提倡一题一课，一课多题一节数学课做一道题目，以一道题为例子讲解、变化、延伸、拓展，通过师生互动、探讨、尝试、修正，最后真正学到的是很多题的知识。”案例两则 我们应当如何去看待所谓的“植树问题”，特别是，它发挥的究竟是一个案例的作用、还是规律的具体体现？“找次品问题”与特殊化方法。相关的论述梅森（1982）：由随意的特殊化去了解问题；由系统的特殊化为一般化提供基础；由巧妙的特殊化对一般性结论进行检验。参考材料1 郑毓信，“植树问题教学之我见”，小学数学（人教版），2008年第4期2 郑毓信，“找次品问题与数学思维”，小学教学，2011年第7期 一些相关的提法“变式理论”中的“过程变式”。“双基教学”的必要发展：基本技能，不应求全，而应求变；基础知识，不应求全，而应求联。二、“善于提问善于提问”与数学教学与数学教学1.“问题”对于数学教学的特殊重要性。（1）从”双中心的教学”谈起。中国数学教学的一项优秀传统：“教师试图获得一种平衡，教学也就变得既以学生为中心又以教师为中心。”（马飞龙，“什么是好的教学？”，人民教育，2009年第8期）国际上的相关研究“那些自诩为绝对真理的建议，无论认为教学应当完全以学生为中心，还是认为教学应当完全由教师主导，都得不到研究的支持，因此不应当遵循。采取何种教学方法应当根据具体情况来决定。”（美国数学咨询委员会最终报告）进一步的思考 在教学中如何才能真正做到既尊重学生在学习活动中的主体作用，同时又能充分发挥教师的主导作用？问题的重要性（1）“河南省濮阳市第四中学教学改革纪实”（人民教育，2009年第6期）：“老师和学生都应以问题为中心进行双向的互动，实现双主体的双互动。”实现“双主体”的关键：问题引领。教材中的相应做法“由情境串引出问题串。选取密切联系学生生活、生动有趣的素材，构成情境串，引发出一系列的问题，形成问题串，将整个单元的内容串联在一些。”（山东版）“新数学读本主要是通过知识问题化和问题知识化的设置，促使学生完成对数学知识、数学思维、方法的主动建构。”（杭州版）问题的重要性（2）“问题”对于数学的特殊重要性：（1）“问题”在很大程度上可以被看成数学研究活动的实际出发点。数学发展的基本模式：问题问题解决新的研究问题。（2）每个数学分支都有自己的基本问题，相应的理论也是围绕这些问题得到建立的。问题的重要性（3）：聚焦数学教学 一个特殊的研究视角：语文教学反照下的数学教学。语文教学的一个有效手段：通过朗读创设出好的学习情境，也即要求学生“带着感情去读，读出感情来！带着感情去读，读出感情来！”什么是数学教学中调动学生好奇心、上进心的有效手段？数学教学的一个有效手段 教师在教学中应当善于提出既有一定挑战性、同时又与学生的认知水平相适应的问题，从而就能很好调动学生的好奇心，促使他们积极地去进行学习，深入地去进行思考。东西方数学教学思想的比较（张奠宙）（1）“情境设计”与中国的启发性“导入”；中国的数学课堂中有许多独特的导入方式，除了现实“情境呈现”之外，还包括“假想模似”、“悬念设置”、“故事陈述”、“旧课复习”、“提问诱导”、“习题评点”、“铺垫搭桥”、“比较剖析”等手段。相关的结论 从学生的日常生活情境出发进行数学教学，只能是启发性“导入”的一种加强和补充，不能取消或代替“导入”教学环节的设置。“导入的价值和实行的办法是要思考的问题”（2012）例1 “异分母分数加减法”的教学（吴正宪）教师出示了这样3道题：1/4+7/12=？1/4+5/6=？1/4 1/7=？请同学们试做。学生做完订正后，老师又提了这样几个问题：问题1：3道题同学们都把异分母转化为同分母分数，转化时要注意什么？问题2：转化的目的是什么？问题3：通过计算，你认为异分母分数加减法的计算方法是什么？问题4：在计算时要注意什么问题？例2 “百分数的意义”的教学（黄爱华）教学中教师首先要求学生自由地提出各种与百分数直接相关的问题；但与“放任自流”不同，教师通过对学生所提出的问题进行梳理归纳出了以下几个题：问题1：百分数有什么好处？问题2：什么是百分数的意义？问题3：在什么情况下用百分数？问题4：百分数与分数比较有什么不同？聚焦数学教学之二：努力提高课堂提问的水准 课堂提问的重要性：很好处理教学的“预设性”与“生成性”的关键所在，特别是，如何能够围绕核心问题去进行教学，特别是，使之真正成为学生自己的问题；同时又能依据学生的情况作出必要的调整？中国数学教学的又一特色 背景：“大班教学”的现实。现实中的问题：问题多而不精。方向：努力增强问题的“启发性”。“启发性”的基本涵义 既有一定的启示意义，即是有利于促进学生的发展；但又非对于学生的硬性规范，而是具有一定的开放性或自由度，也即能给学生的独立思考留下充分的空间。例 韦达定理的教学 两种不同的提问方式和教学设计：（1）先列表让学生填充，然后问：你认为根与系数有什么关系？（2）直接问：什么是一元二次方程的主要成分？在一元二次方程的根与系数可能存在什么样的关系？如何去作出发现？又应如何去证明？例 韦达定理的教学 方程 X1X2X1+X2X1 X2X2X-12=0X2 6X+5=0X2 2X-35=02.转向教学“教师的工作是通过向学生问他们应当自己问自己的问题来对学习和问题解决进行指导。这是参与性的，不是指示性的；其基础不是要寻找正确答案，而是针对专业的问题解决者当时会向自己提出的那些问题。”（巴拉布与达菲）一些相关的提法 像数学家那样去提出问题、分析问题、解决问题；“帮助学生学会数学地思维”。什么是一堂好的数学课？超越知识达到更高的水平。数学教学所应发挥的重要作用：给人以智慧！智性教学。插入：教师的三个境界 仅仅停留于知识的层面：教师匠；能够体现数学的思维：智者；无形的文化熏陶：大师！聚焦“问题解决”（1）波利亚的贡献：波利亚：“问题解决”现代研究的主要奠基者。代表性著作：怎样解题；数学的发现；数学与猜想。主要工作：“数学启发法”（解题策略）的研究 实质：“一些定型的问题和建议”。解题过程的四个步骤：（1）弄清问题；（2）拟定计划；（3）实现计划；（4）回顾。（1）“弄清问题”。未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？（2）对于波利亚的“超越”背景：20世纪80年代的改革运动：“问题解决”实践中的问题：为什么学了“数学启发法”学生还是不会解题？认识的重要发展：对于“解题活动”与“解题策略”的正确理解。一些不应被忽略的环节：元认知的发展；观（信）念的重要性。一项比较研究：聚焦“元认知”不成功的解题者往往采取“盲目干”的作法，即是不加思考地采取某一方法或解题途径，或总是在各种可能的“解题途径”之间徘徊，而对自己在干什么、特别是为什么要这样干始终缺乏明确的认识；另外，在沿着某一解题途径走下去时，又往往不能对自己目前的处境作出清醒的评估并由此而作出必要的调整，却只是“一股劲地往前走”，直至最终陷入了僵局而一无所措。“好的解题者”在采用某一方法或解题途径前能对各种可能性进行仔细的考虑；在整个解题过程中也能始终作到“心中有数”，即清楚地知道自己在干什么和为什么要这样干；他们并能对目前的处境作出清醒的自我评估，从而就能够及时作出必要的调整；即使出现了错误他们也不会轻易地抛弃已有的工作，而是力图从中吸取有益的成分；最后，在成功地解决了问题以后，他们又能自觉地对所已进行的工作作出回顾，特别是深入地思考是否还存在更为有效的解题途径 相应的教学措施 元认知：对于自身所从事的认识活动的自我意识、自我评估与及时调整。元认知与教师的适当提问：什么？为什么？如何？更高的目标：帮助学生养成相应的提问习惯。（3）求得解答，继续前进，“问题解决”这一数学教育改革运动的又一重要启示或教训。聚焦数学思维：提出问题的重要性。数学家们总是不满足于某些具体结果或结论的获得，而是希望能够获得更为深入的理解，后者不仅直接导致了对于严格的逻辑证明的寻求，也促使数学家积极地去从事进一步的研究，如在这些看上去并无联系的事实背后是否隐藏着某种普遍的理论？这些事实能否被纳入某个统一的数学结构？等等；数学家们也总是希望能达到更大的简单性和精致性，如是否存在更为简单的证明？能否对相应的表述方式（包括符号等）作出改进？等等。提出问题的具体策略 一般化。求变（加大难度）。反向思维（focus backward）例1“找次品问题”原先的问题：如果243个螺丝钉中有一个次品较轻，用天平至少称几次能保证将把它找出来？一般化：如果n个螺丝钉中有一个次品较轻，用天平至少称几次能保证将把它找出来？求变（1）如果事先只知道“次品重量不一样”，而不是“次品较轻”，结果有什么不同？（2）如果事先知道有两个次品，而不是只有一个次品较轻，结果有什么不同？例2 钱币问题（反向思维）原题：试计算出3个5角的硬币与4个1元的硬币的总面值。问题1：如何用5角的硬币与1元的硬币合成5元5角？问题2：能否完全用5角的硬币合成5元5角？问题3：能否完全用1元的硬币合成5元5角？问题4：如果用5角与1元的硬币合成5元5角，怎样搭配可以使得所使用的硬币的数目最少？（4）进一步的分析 数学教育的一个重要目标：努力提高学生提出问题的能力。创造性的集中表现。对于中国学生的特殊意义。应当注意纠正的一些现象（1）简单模仿；（2）将“创新”等同于“标新立异”。基本立场：正如解决问题的能力，提出问题的能力也有一个后天学习和不断提高的过程，教师更应在这方面发挥重要的示范与引导作用。例“提问与“从众”（祝家林）（1）相关信息：故事书每套12元，连环画每套15元，科学书每套18元。原题：买5套故事书和2套连环画，一共要付多少钱？解答：125+152=60+30=90（元）（2）教师：谁还能再提一个问题？买3套故事书和5套连环画，一共要付多少钱？买4套故事书和3套连环画，一共要付多少钱？买2套故事书和6套连环画，一共要付多少钱？一个新的视角：“提出问题”与帮助学生学会学习 相应的提问策略：（1）为什么？（2）同与不同？（3）回头看。三、“善于优化善于优化”与数学教学与数学教学 1.“优化”对于数学学习的特殊重要性。数学学习主要是一个文化继承的过程，特别是，我们即应清楚地看到数学思维与相应的“情感、态度与价值”的后天获得性。学生思维发展过程的主要形式：“同化”与“顺应”？语文教学与数学教学的对照“如果说语文教学是一种以情感带动知识学习的情知教学，那么，数学教学就主要是以知贻情”，即是希望通过数学学习“帮助学生养成一种新的精神；一种新的认识方式；一种新的追求；一种不同的美感；一种深层次的快乐：由智力满足带来的快乐；一种新的情感：超越世俗的平和；一种新的性格：善于独立思考，不怕失败，勇于坚持。”参考材料 郑毓信、王宪昌、蔡仲，数学文化学，四川教育出版社，2000 郑毓信，“数学的文化价值何在、何为？”，人民教育，2007年第6期 相关的理论分析 数学发展的两个不同方向：“水平方向”上的发展，与“垂直方向”上的发展。“数学的学习不是一个连续过程，它必须重新组织、重新认识，有时甚至要与以前的知识和思考模式真正决裂。”（M.Artique，2004）插入：一些值得思考的问题“学生主动探究”作为一种教学方法是否有其一定的局限性或适用范围？我们应当如何看待所谓的“过程教学”？结论 应当明确肯定“优化”对于数学学习的特殊重要性，反对放任自流。具体涵义：（1）显性层面：方法的改进；结论的推广；更好的表述方法的引入；（2）隐性层面，观念的更新，新的品格的养成；例 学生的“规律性错误”有理数乘除法教学中经常可以看到的一个现象：尽管两个问题具有完全相同的数学结构，学生却采用了不同的运算去进行求解：（1）某种奶酪的售价为每公斤28元，5公斤这样的奶酪售价是多少？（2）某种奶酪的售价为每公斤27.5元，0.92公斤这样的奶酪售价是多少？分析 大多数学生正是通过先前的学习逐渐形成了关于乘除运算的一些观念，特别是，由于学生在开始学习乘除法时所接触到的都是自然数，因此就很容易形成以下的观念：“乘法总是使数变大，除法则总是使数变小。”相关的结论 这正是数学教学中所说的“优化”的一个重要涵义：我们应当帮助学生及时纠正各种不恰当或错误的观念，包括对知识与认知结构等作出必要的调整与发展。2.教学中如何实现“优化”？关键：应使“优化”成为学生的自觉行为，而不应成为外部的强制规范。一些常见的提法：“教师不要太聪明”；“道法自然”；“不着痕迹的引导”；。最为重要的一些环节：（1）多元化；（2）比较；（3）反思。进一步的分析（1）不应为了“多元化”而多元化，特别是，并非越多越好！多元化应当被看成优化、特别是比较的一个必要前提。比较的直接效果：诱发反思与总结，从而能够自觉地实现优化。例1“问题解决”的教学（解题策略：画图）问题：动物车展，第一天卖了65辆车，第二天销量增加了1/5，问：第二天卖了多少？教学重点：画图策略相关的思考在这一内容的教学中我们应当如何去实现学生间的积极互动？特别是，我们在课堂上是否应当充分展示各种不同的画法，如直接画65个小圈，画5个圈去代表65辆车，等等？可能的解答 数学教学中的互动应当真正促进思维（包括方法等）的优化。教学中的常态：学生对于其它方法往往视而不见，根本不予关心，更不用说与自己的方法进行必要的比较。回顾：教学中的关键 第一，加强比较；第二，通过比较诱发反思与总结，从而使得优化成为学生的自觉行为。例2“估算教学实录”（吴正宪）引入（1）：“青青和妈妈一起到超市购物，一共买了五种商品，价格分别为48元、16元、23元、69元、31元。妈妈带了200元钱，不知够不够？”。引入（2）：“曹冲称象：六次称石头所得出的重量分别为328、346、307、377、398和352斤。大象大概重多少？”教学实录：教师以上述实例为背景并通过实际估算和交流总结清楚地展示了估算方法的多样性。几种不同的估算方法：生1采取了所谓的“小估”、即是往小里估的方法3006=1800；生2采取了大估、也即往大里估的方法：4006=2400：也有学生（生3）坚持认为精确计算要比估算好。教学实录 师：“我们继续研究，精确值是2108千克。同学们，看着这个精确计算的结果，再看看同学们估的结果：2400，2100，2080，1800此时此刻，你想对刚才自己的估算结果作一点评价或思考吗？”生1：“我估的是1800。我觉得我估得太少了，那些数当中有一个是398，我把它估成300了，与实际结果差的就远些了，现在我觉得应该估成400就更好了，我估少了。”师：“你很善于思考，其实你估的结果已经可以了，但是你还能在与他人的比较中发现问题，进行调整，老师为你这种精神而感动。”师：“大估在哪呢？你一定由感而发，说说看。”生：“我感觉我估大了。我把307这样的数看成400了，估得有些远了。如果缩小一点，可能就估得准一点。我很佩服凑调估，人家在估算中还能调整调整，这样估比较接近准确值。”师：“其实你已经很不错了，你不仅主动地反思自己结果离得远了点，更让我感动的是你还在反思中发自内心地去欣赏别人，发现同学们好的方法，这样学习进步会更快。”师：“好了，同学们，你们做出了很好的自我评价。那么，用精算的那两个同学你们算对了吗？”生3：“我觉得这些数相加的确不是很好算，再说求大象的体重，没有必要精算。我那样一个数一个数的算太麻烦了，太慢了。这时用估算还是比我的方法好。”师：“你发现这里就问你大象大概重多少不需要精算，估算就得了呗，是吧？（生1点头）感谢你！”一般性的教学措施 教师在必要时可以通过适当的举例与提问促进学生的总结与反思。“三项基本功”的辩证关系：优化是目标；适当的举例与提问则是实现这一目标的有效手段。进一步的分析（2）时代所赋予教育的重要任务：努力培养学生的创新精神（与实践能力）。应有的认识：创新标新立异！创新与优化的关系：创新的合理性！相关的思考：当前的一个缺失 两种不同的思考方式：即兴型的思考与长时间的思考。当前教学中的一个常见问题：集中于即兴型思考能力的培养。应当培养学生的长时间思考。相关的论述“我认为思考问题的态度有两种：一种是花费较短时间的即席思考型；一种是较长时间的长期思考型。所谓的思考能人，大概就是指能够根据思考的对象自由自在地分别使用这两种类型的思考态度的人。但是，现在的教育环境不是一个充分培养长期思考型的环境。没有长期思考型训练的人，是不会深刻地思考问题的。无论怎样训练即席型思考，也不会掌握前面谈过的智慧深度。”（广中平佑）进一步的分析（3）另一应当防止的倾向：强制的统一；恰恰相反，教学中应当允许一定的“路径差”与“时间差”，同时又应坚持“优化”这样一个目标。回顾：“教师不要太聪明”；“道法自然”；“不着痕迹的引导”。教学工作艺术性的重要体现。一个相关的论题：学习活动中的“再创造”数学教学的一个基本原则（弗洛登特尔）：“再创造原则”。关键：“再”。并非历史的简单重现，而应是“历史的重构（建）”。什么是数学教育中所说的“历史重建”的主要涵义？一个可能的提法：数学史的“方法论重建”与“文化重建”。数学史“方法论重建”所谓“方法论的重建”，即是指如何能够使得相关内容真正成为可以理解的、可以学到手和可以加以推广利用的，从而将数学课真正“教活、教懂、教深”。教活：教师应当通过自己的教学活动向学生展现活生生的数学研究工作，而不是死的数学知识；教懂：教师应当帮助学生真正理解有关的教学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；教深，教师在教学中不仅应使学生掌握具体的数学知识，而且也应帮助学生领会内在的思维方法。数学史的“文化重建”我们应当跳出“内史”，并从“文化史”、也即数学与整体性文化的关系这一角度去展现数学的历史；而且，我们又不仅应当清楚地指明数学对于个人发展乃至整体性社会进步的积极意义，也应清楚地看到其局限性，乃至可能的消极影响。弗洛登特尔的数学教学原则“再创造原则”（“指导下的再创造”）；“数学现实原则”；“数学化原则”；“严谨性原则”。插入：现实中的又一问题 中间环节的“缺失”：（1）从“教育目标”到“教学方法”；（2）从“宏观的文化研究”到“课堂文化”。参考材料 郑毓信数学教育论丛（江苏教育出版社）（1）开放的小学数学教学，2008（2）数学思维与小学数学，2008（3）数学教师的三项基本功，2011 郑毓信，数学教育新论：走向专业成长，人民教育出版社，2011欢迎批评与指正 谢谢！()结束语：三项基本功与教师的专结束语：三项基本功与教师的专业成长业成长一、善于举例与教师的专业成长（1）理论学习的关键。例“关于数学教育若干重要问题的探讨对话特级教师王凌的读书笔记”（王凌、余慧娟，人民教育，2008第7期）主要内容：对于若干“语录”的解读。按“这些笔记（指所摘录的一些语录注）的确很精辟，但是我觉得您的解读更精彩，从某种角度讲，能用恰到好处的实例来解读理论的人，比只会给出抽象理论的人更伟大，因为这不但表明消化理论的能力，也代表了思考的透彻与思想的成熟。您使我们看到了浓缩的理论后面丰富的实践风景，同时也引发了新的思维风暴。”（2）教学研究的具体方法 学会用案例说话。A.Bishop：“教学法有关的研究叙述不宜精简或压缩，它的威力在于它的丰富，这些教育家的智慧表现在高度理论化了的和精巧的创新做法上面，表现在对教育情境的带有感情色彩的详尽描述和对经验的有见识的分析之中。”相关的建议：努力做到“小中见大”。（3）教学工作的新定位：“反思性实践”与“实践性智慧”“实践性智慧”的主要特征：“借助于案例进行思维”。注意案例的积累与分析。案例分析应重在分析。二、善于提问与教学专业成长（1）关于教学研究的又一建议：增强问题意识：问题应当成为教师教学研究的直接出发点。回顾：另外两个建议：努力做到“小中见大”。用案例说话。进一步的建议（1）对于热点问题的必要关注。相关的论述：你们应当“设法去了解人们现在在科学上讨论些什么。找出困难所在，把兴趣放在不一致的地方。这些就是你应从事研究的问题。”（波普尔）值得思考的问题 什么是当前最应关注的一些问题？例 教学中应当如何去看待与处理“学生间所存在的巨大差异”？进一步的建议（2）关注基本问题。研究的艺术：必要的平衡。（1）研究工作的基础性和重要性；（2）研究工作的先进性和前沿性。例 如何帮助学习者对同一数学概念的视觉表征和象征性符号之间建立联系？意象和直观符号的使用如何促进或阻碍了数学对象的具体化过程？如何利用视觉化促进数学抽象化与一般化？在联系数学符号的不同寄存器时，隐喻的作用是什么？（2）理论学习的又一关键 带着问题进行学习！心中有音乐，才会产生共鸣。三、关于比较与优化与教师的专业成长（1）从理论学习谈起：必要的优化 理论思想的多元化与必要的比较同样应当被看成努力提高教师自身理论水准的一个基本途径。“当两个隐喻相互竞争并不断相映证可能的缺陷，这样就更有可能为学习者和教师提供更自由的和坚实的效果。”（斯法德）必要的提醒 加强独立思考，加强批判意识，不要盲从，不要迷信专家；加强学习，特别是经典著作的学习。中国数学教师的成长道路。（2）教学研究的一个很好切入点 教学研究的一个永恒主题：教学方法的研究与改革。一个很好的切入点：不同教学方法的比较。改革前后的比较 东西方不同教学方法的比较。