高等数学：3-1 微分中值定理

3-1 3-1 微分中值定理微分中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题利用导数解决实际问题罗尔中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理泰勒公式泰勒公式(第三节第三节)推广推广费马(fermat)引理,)(0有定义在xU且)(0 xf 存在,)()(0 xfxf)(或0)(0 xf证证:设,)()(,)(0000 xfxxfxUxx则)(0 xf xxfxxfx)()(lim000)0(x)(0 xf)0(x)(0 xf000)(0 xf)(xfy 证毕xyO0 x一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理罗尔罗尔（R Rolleolle）定理）定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间 ,ba上连续上连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,且在区间端点的函数且在区间端点的函数值相等，即值相等，即)()(bfaf,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ,使得函数使得函数)(xf在该点的导数等于零，在该点的导数等于零，即即0)(f)1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3(xx,3,1上连续上连续在在 ,)3,1(上可导上可导在在 ,0)3()1(ff且且)3,1(1(,1 取取.0)(f),1(2)(xxf点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停物理解释物理解释:变速直线运动在变速直线运动在折返点处折返点处,瞬时速瞬时速度等于零度等于零.几何解释几何解释:ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CABC证证.)1(mM 若若,)(连连续续在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 则则.0)(xf由由此此得得),(ba .0)(f都都有有.)2(mM 若若),()(bfaf.取取得得最最值值不不可可能能同同时时在在端端点点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内内至至少少存存在在一一点点则则在在),()(fxf,0)()(fxf,0 x若若;0)()(xfxf则有则有,0 x若若;0)()(xfxf则有则有;0)()(lim)(0 xfxffx;0)()(lim)(0 xfxffx,)(存存在在 f).()(ff.0)(f只只有有注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,;2,2,xxy,)0(2,2的一切条件的一切条件满足罗尔定理满足罗尔定理不存在外不存在外上除上除在在f .0)(2-2 xf使使内内找找不不到到一一点点能能，但但在在区区间间;0,01,0(,1 xxxy.1,0,xxy又例如又例如,例例1 1.10155的正实根的正实根有且仅有一个小于有且仅有一个小于证明方程证明方程 xx证证,15)(5 xxxf设设,1,0)(连续连续在在则则xf.3)1(,1)0(ff且且由介值定理由介值定理.0)(),1,0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.,),1,0(011xxx 设设另另有有.0)(1 xf使使,)(10件件之间满足罗尔定理的条之间满足罗尔定理的条在在xxxf使得使得之间之间在在至少存在一个至少存在一个),(10 xx.0)(f)1(5)(4 xxf但但)1,0(,0 x矛盾矛盾,.为唯一实根为唯一实根二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函数如果函数 f(x)在在闭区间闭区间,ba上连续上连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立.)1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了与与罗罗尔尔定定理理相相比比条条件件中中注注意意).()()(fabafbf结论亦可写成结论亦可写成ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧证证分析分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差弦弦AB方程为方程为).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf减去弦减去弦曲线曲线.,两端点的函数值相等两端点的函数值相等所得曲线所得曲线ba作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件xF.0)(,),(Fba使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在0)()()(abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,),(,)(内可导内可导在在上连续，上连续，在在设设babaxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可写写成成.的的精精确确表表达达式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理推论推论.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数IxfIxf例例2 2).11(2arccosarcsin xxx证明证明证证1,1,arccosarcsin)(xxxxf设设)11(11)(22xxxf .0 1,1,)(xCxf0arccos0arcsin)0(f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx例例3 3.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 设设,0)(上满足拉氏定理的条件上满足拉氏定理的条件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(,0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln(xxx 0又又x 111,11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理柯西（柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xF 在闭区间在闭区间,ba上连续上连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,且且)(xF在在),(ba内每一点处均不为零，那末在内每一点处均不为零，那末在),(ba内内至少至少有一点有一点)(ba ,使等式使等式 )()()()()()(FfaFbFafbf 成立成立.几何解释几何解释:)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 证证作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x.0)(,),(使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在ba,0)()()()()()(FaFbFafbff即即.)()()()()()(FfaFbFafbf.0)(,),(使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在ba,)(xxF 当当,1)(,)()(xFabaFbF)()()()()()(FfaFbFafbf).()()(fabafbf例例4 4).0()1(2)(),1,0(:,)1,0(,1,0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数证证分析分析:结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 设设,1,0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内内至至少少存存在在一一点点在在,)1,0(2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即四、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF)()()(bfaf 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.思考题思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的条件试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可缺一不可.思考题解答思考题解答 1,310,)(21xxxxf不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续的条件；的条件；,1)(2baxxxf 且且0 ab不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的条件；的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.)(111nnf作业P134 7,8,10,12,14 提示提示:xxfxe)()(题*15.)(nxxf)0(f 0)0(f0题14.考虑一、一、填空题：填空题：1 1、函数函数4)(xxf 在区间在区间1,21,2上满足拉格朗日中值上满足拉格朗日中值定理，则定理，则=_=_ _ _.2 2、设设)4)(3)(2)(1()(xxxxxf，方 程方 程0)(xf有有_个根，它们分别在区间个根，它们分别在区间_上上.3 3、罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是_._.4 4、微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的_与函数在这区间内某点处的与函数在这区间内某点处的_之间之间的关系的关系.5 5、如果函数如果函数)(xf在区间在区间I上的导数上的导数_ _，那，那么么)(xf在区间在区间I上是一个常数上是一个常数.练练 习习 题题二、试证明对函数二、试证明对函数rqxpxy 2应用拉氏中值定理应用拉氏中值定理 时所求得的点时所求得的点 总是位于区间的正中间总是位于区间的正中间.三、证明等式三、证明等式21arctan1arcsin22 xxx )1,0(x.四、设四、设0 ba，1 n，证明，证明 )()(11banababanbnnnn .五、五、证明下列不等式：证明下列不等式：1 1、baba arctanarctan；2 2、时时当当1 x，exex .六六、设函数、设函数)(xfy 在在0 x的某邻域内且有的某邻域内且有n阶导数，阶导数，且且)0()0()0()1(nfff试用柯西中值定理试用柯西中值定理 证明：证明：!)()()(nxfxxfnn ，（，（10 ）.七七、设、设)(xf在在 ba,内上连续，在内上连续，在(ba,)内可导，若内可导，若 ba 0,则在则在(ba,)内存在一内存在一 点点，使，使 )()()()(baffabfbaf .一、一、1 1、3415；2 2、3,(1,2),(2,3),(3,4)3,(1,2),(2,3),(3,4)；3 3、前者是后者的特殊情形、前者是后者的特殊情形,加加)()(bfaf 即可；即可；4 4、增量、增量,导数；导数；5 5、恒为零、恒为零.练习题答案练习题答案