20212022学年新教材高中数学课时练十七第二单元等式与不等式224第2课时均值不等式的应用含解析新人教B版必修第一册

十七均值不等式的应用基础全面练 (15分钟35分) 1.已知正数x，y满足x2yxy0，则x2y的最小值为()A8 B4 C2 D0【解析】选A.由x2yxy0，得1，且x0，y0.所以x2y(x2y)4448，当且仅当x2y时等号成立2(2021鞍山高一检测)若实数x，y 满足xy6x4，则的最小值为()A4B8C16D32【解析】选B.因为xy6x4，故y6，因为0x0，故y68，当且仅当y1，x时等号成立，故的最小值为8.3对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于()A B C25 D5【解析】选A.设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，由题意知c5，则a2b225，则三角形的面积Sab，因为25a2b22ab，所以ab，则三角形的面积Sab，当且仅当ab时取等号，即这个直角三角形面积的最大值等于.4已知正实数a，b满足a2，则2b的最小值为_.【解析】由题意，正实数a，b满足a2，则2b4，当且仅当2ab，即ab1时，取得最小值，其最小值为4.答案：45某公司购买抗击新冠肺炎疫情物资200 t用于支援抗疫一线，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是_【解析】设每次购买抗疫物资x t，则需要购买次，则一年的总运费为2，一年的总存储费用为x万元，所以一年的总运费与总存储费用为x240，当且仅当x，即x20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20 t.答案：206(2021北京高一检测)围建一个面积为40 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(旧墙足够长)，利用的旧墙需维修，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为5元/米，新墙的造价为20元/米，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)(1)将y表示为x的函数；【解析】设矩形的另一边长为a m，则y5x20202a25x40a40，由已知ax40，得a，所以y25x40.(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用【解析】 因为x2，所以25x2400，所以y25x40360，当且仅当25x，即x8时，等号成立即当x8 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是360元【补偿训练】国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企业原有100名技术人员，年人均投入m万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名(xN*且x45，60)，调整后研发人员的年人均投入增加2x%，技术人员的年人均投入调整为m万元(1)要使这100x名研发人员的年总投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同，求调整后的技术人员的人数【思路引导】根据题意列式，并求解即可；【解析】由题，可列方程为(100x)m(12x%)100m，则x50，故调整后的技术人员的人数为50.(2)是否存在这样的实数a，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出a的范围，若不存在，说明理由【思路引导】需满足两个不等关系：技术人员的年人均投入不减少，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，列出不等式求解即可【解析】存在，a的范围为.由题意得(100x)m(12x%)mx，则a1，在xN*且x45，60上恒成立，因为112145，当且仅当即x50时取等号，所以a5.又因为mm即a1，设t1，则t在xN*且x45，60上为增函数，当x60时，t取得最大值为，所以a，综上，a的范围为.综合突破练(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1(2021兰州高一检测)若a0，b0且2ab4，则的最小值为()A2BC4D【解析】选B.因为a0，b0，所以2ab2，当且仅当2ab时等号成立，又2ab4，所以24即00，b0，abab，则ab的最小值为()A2 B4 C6 D8【解析】选B.因为a0，b0，abab，所以ab4，当ab2时取等号，则ab的最小值为4.3若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是()A BC D【解析】选A.因为对任意x0，a恒成立，所以对x(0，)，a，又因为x(0，)，所以，当且仅当x1时等号成立，所以a.【补偿训练】已知正实数x，y满足x4yxy0，若xym恒成立，则实数m的取值范围为_【解析】由于x4yxy0，即x4yxy，等式两边同时除以xy得，1，由均值不等式可得xy(xy)5259，当且仅当，即当x2y6时，等号成立，所以，xy的最小值为9.因此，实数m的取值范围为m9.答案：m94已知正实数m，n满足mn1，且使取得最小值若y，x是方程yx的解，则 ()A1 B C2 D3【解析】选C.(mn)1161717225.当且仅当又mn1，即m，n时，上式取等号，即取得最小值时， m，n，所以y25，x5, 255.得2.【误区警示】本题易错之处在于不能灵活的利用均值不等式得到m与n的解，从而无法代入方程的所求结果二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5下列不等式一定成立的是()Ax2xBx2Cx212|x| D1【解析】选BC.对于选项A，当x时，x2x，所以A不一定成立；对于选项B，当x0时，不等式x2成立，所以B一定成立；对于选项C，不等式x212|x|(|x|1)20，即x212|x|恒成立，所以C一定成立；对于选项D，因为 x211，所以 00，b0)，则取最小值时下列结论正确的是()Aa Bab1C D【解析】选AC.因为ab2，所以21.当且仅当，即b24a2时等号成立又因为a0，b0，ab2，所以解得a，b，所以的最小值为.三、填空题(每小题5分，共10分)7已知一次函数yx1的图像分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值是_，取得最值时a的值为_【解析】因为A(2，0)，B(0，1)，所以0b1，由题意得a22b，ab(22b)b2(1b)b2.当且仅当1bb，即b时等号成立，此时a1，因此当b，a1时，ab的最大值为. 答案：18如图有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是_dm2.【解析】设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.由题意，得y(x4)728282256(dm2).当且仅当x，即x12 dm时等号成立答案：56四、解答题(每小题10分，共20分)9已知a0，b0，ab1，求证：(1)8.【证明】因为ab1，a0，b0，所以2.所以2224，所以8(当且仅当ab时等号成立).(2)9.【证明】方法一：因为a0，b0，ab1，所以112，同理12，所以52549.所以9(当且仅当ab时等号成立).方法二：1，由(1)知，8，故19.当且仅当ab时取等号10经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y(v0).(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？【解析】y，因为v220，所以y.当且仅当v，即v10时等号成立所以当汽车的平均速度v10千米/小时时车流量y最大(2)为保证在该时段内车流量至少为12千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？【解析】令12，则可化为v270v1 0000，即(v20)(v50)0，解得20v50.所以汽车的平均速度应控制在20千米/小时到50千米/小时范围内应用创新练1某种商品原来每件售价为25元，年销售量为8万件(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？【解析】设每件定价为x元，依题意得x258，整理得x265x1 0000，解得25x40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元公司拟投入(x2600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价【解析】依题意不等式ax25850(x2600)x有解，等价于x25时ax有解，因为x210(当且仅当x30时，等号成立)，所以a10.2.所以当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元2我们学习了二元均值不等式：设a0，b0，当且仅当ab时，等号成立利用均值不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值(1)对于三元均值不等式请猜想：设a0，b0，c0，_，当且仅当abc时，等号成立(把横线补全).【解析】设a0，b0，c0， 当且仅当abc时，等号成立答案：(2)利用(1)猜想的三元均值不等式证明：设a0，b0，c0，abc1，求证：(a2b2c2)(abc)9abc.【解析】设a0，b0，c0，因为abc30，a2b2c230，所以(a2b2c2)(abc)99abc，即(a2b2c2)(abc)9abc.(3)利用(1)猜想的三元均值不等式求最值：设a0，b0，c0，abc1，求(1a)(1b)(1c)的最大值【解析】设a0，b0，c0，所以abc，又因为abc1，01a1，01b1，01c1，所以(1a)(1b)(1c)，当且仅当abc时，等号成立所以(1a)(1b)(1c)的最大值为.