《方程的根与函数的零点》教学设计

本文为本文为 WordWord版本，下载可任意编辑版本，下载可任意编辑三、教学过程1.创设情境，提出问题一、教学目标问题 1：以下方程有几个实根？你是如何判断的？1.能结合详细函数的图像，理解方程的根、相应函数图像与*设计意图：对于方程1，同学可用十字相乘法、公式法、判别轴的交点以及函数零点的关系，掌控函数零点的概念;2.能借助详细函式法等判断方程根的个数.但对于方程2的“大数据”，假设运用数的图像，掌控“函数零点存在性定理”;3.能利用函数图像和性质判方程1所涉及的方法会很烦琐.因此，可引导同学考虑二次方程与断某些函数的零点个数;4.能将一个方程求根问题转化为一个函数零二次函数的关系，思索能否利用二次函数f*=628*2+529*+107点问题，会判断函数零点所在的区间;5.能体会从非常到一般、从详细的图像来判断根的个数.从同学熟识的二次方程入手，降低起点.问题到抽象的认知学习过程，培育函数与方程、数形结合等思想，提升数学导向从简到繁，充分调动同学探究未知问题的积极性，直截了当，径抽象、直观想象、数学运算、数学建模等数学核心素养.直引入本节课的教学内容.二、教学重难点2.回顾旧知，探究新法教学重点：函数零点的概念;函数零点与方程的根的联系;连续函数问题 2：1结合图1，请观测并说明二次方程*2-2*-3=0的根在某区间上存在零点的判定方法.和二次函数y=*2-2*-3的图像与*轴的交点的关系;2复习二次教学难点：用函数与方程的思想将方程问题转化为函数问题;零点方程a*2+b*+c=0a0的根和二次函数y=a*2+b*+ca0的存在性定理探究过程中“图像特征”转化为“代数表示”.第 1 页 共 6 页方程的根与函数的零点教学设计方程的根与函数的零点教学设计本文为本文为 WordWord版本，下载可任意编辑版本，下载可任意编辑图像与*轴的交点的关系;3 请归纳方程f*=0的根与函数y=f*的图像与*轴的交点的关系.方程f*=0的根就是函数y=f*的图像与*轴的交点的横坐标.设计意图：同学已了解二次函数图像与方程根的关系，通过表格帮助同学梳理“三者”之间的关系，再提出一般问题.三个问题从非常到一般，从详细到抽象，渗透“从最简约、最熟识的问题入手解决较繁复的问题”的讨论思路，有利于培育同学的归纳技能和数学抽象素养.3.抽象概括，形成概念依据概念“对于函数y=f*，把使f*=0的實数*叫作函数y=f*的零点.”向同学阐明函数y=f*的零点问题就是方程 f*=0的根问题，零点的几何意义就是函数图像与*轴交点的横坐标.在建立方程与函数联系的过程中，“方程的根”是一个静态的点，等价转化为求“函数的零点”的动态过程，表达了“动”“静”转化的思想.问题 3：1观测图2，请写出函数图像与*轴交点的坐标及函数的零点;2函数的零点是点吗？设计意图：从详细的二次函数到抽象函数的图像，加深同学对函数零点概念的理解，明确“零点是交点的横坐标，是一个实数，不是一个点，不能用交点的坐标表示”.思索：在这些区间上，函数图像有什么共同的特点？函数值的改变有什么共同点？3已知函数g*=*，-3*-1，-*2+2*+4，-1*3，判断f-3 f 3 的符号，你能由此得到该函数在区间-3，3内有零点吗？为什么？引导同学概括：题12的函数图像是连绵不断的，图像经过*轴，且在区间端点的函数值异号，函数有零点.题3在区间端点的函数值异号，但函数图像如图 5是间断第 2 页 共 6 页本文为本文为 WordWord版本，下载可任意编辑版本，下载可任意编辑的，从-1的左侧到右侧，函数值由负值径直跳到正值，即函数图像没有经过*轴，函数无零点.师生共同提炼函数零点存在性定理：假如函数y=f*在区间a，b上的图像是连绵不断的一条曲线，并且有fafb0，那么函数y=f*在区间a，b内有零点，即存在ca，b，使得fc=0，这个 c 也就是方程f*=0的根.设计意图：探究函数在区间a，b的端点函数值异号与零点存在性的关系，并通过题3强调图像应是“连绵不断的一条曲线”，帮助同学将“图像特征”转化为“代数表示”，归纳出函数存在零点的条件.这个结论直观简洁，没有证明，可作为定理径直运用.5.定理辨析，深化理解问题 5：你能转变定理的条件或结论，得到新的命题吗？请对你给出的命题判断正误，并画草图说明.探究 1对换条件与结论：假如函数y=f*在区间a，b上的图像是连绵不断的一条曲线，且函数y=f*在区间a，b内有零点，则fafb0.结论：逆命题不成立，如图 6 和图 7.函数y=f*在区间 a，b内有零点，但个数不唯一，fafb的符号不能确定.探究 2否定条件与结论：假如函数y=f*在区间a，b上的图像是连绵不断的一条曲线，且fafb0，则函数y=f*在区间a，b内无零点.结论：否命题不成立.如图 6、图 7 和图 8.探究 3加强条件：假如定义在区间a，b上的单调函数y=f*的图像是连绵不断的一条曲线，且fafb0，则函数y=f*在区间a，b内有且只有一个零点.结论：如图9、图10、图11 命题成立，该命题给出连续函数y=f*在区间a，b内有且只有一个零点的判断方法.第 3 页 共 6 页本文为本文为 WordWord版本，下载可任意编辑版本，下载可任意编辑设计意图：通过开放性设问，让同学初步接触改编命题的常用方法，培育同学的发散性思维;对问题的深入探究，让同学体会读书“从薄到厚”的积累过程;通过反例和多角度进行定理辨析，促进同学深刻理解定理的三個留意点：A.函数的图像是连绵不断的;B.定理不可逆;C.至少有一个零点.6.例题解析，学以致用问题 6：函数f*=ln*+2*-6.请问：1函数f*是否有零点，假设有，有几个零点？2函数f*假设有零点，试判断零点所在的大致区间.思路一：函数f*=ln*+2*-6的零点?方程ln*+2*-6=0的根?函数f*=ln*+2*-6的图像与*轴交点的横坐标.用计算器或计算机作出*，f*的对应值表如下表和图像如图 12.由对应值表和图像可知：f20，f30，则f2f30，说明函数f*在区间2，3内有零点.又由于函数f*在定义域0，+内是增函数，所以它只有一个零点.思路二：在没有计算器或计算机可以作图时，应用零点存在性定理，只需找到区间a，b，使fafb0.依据定理，取非常值计算，f1=-40，f3=ln30，所以函数f*在区间 1，3 内有零点.又由于函数f*在定义域 0，+内是增函数，所以它只有一个零点.思索：如何证明函数f*在定义域0，+内是增函数？设计意图：分步设问是为了引导同学先利用图像或定理判断零点是否存在，再思索结合单调性判断零点个数问题.方法一让同学巩固“列表、描点、连线”是画函数图像的基本步骤;方法二是引导同学在没有计算器等设备时，如何尝试取非常值进行估算，依据定理判断零点是否存在，为下一节的二分法做好铺垫.变式：方程ln*=6-2*是否有根？假设有，有几个根？第 4 页 共 6 页本文为本文为 WordWord版本，下载可任意编辑版本，下载可任意编辑分析：思路一：方程ln*=6-2*的根?方程ln*+2*-6=0的根?函数f*=ln*+2*-6的零点.思路二：方程ln*=6-2*的根?函数g*=ln*与h*=6-2*的图像交点的横坐标.利用几何画板，在同一坐标系中画出同学熟识的函数g*与h*的图像如图 13，再画出f*的图像如图 14.观测图像可得结论：一般地，函数f*=g*-h*的零点?方程g*=h*的根?函数g*与h*的图像交点的横坐标.设计意图：让同学理解函数g*与h*的图像交点的横坐标就是函数 f*=g*-h*的零点.为解决比较繁复的、不简单画出图像的函数零点问题提供了新的思路.7.巩固练习，内化提升请同学同桌合作完成书本 P88 的练习.设计意图：练习 1，同学可能用判别式的符号判断根的个数，或径直求出方程的根，但要强调同学用图像判断，可移项成二次函数的图像或径直将“=”左、右两边的代数式分别设为函数 f*，g*.练习 2，应用信息技术作出函数图像，不但要演示给同学看，有条件的还要让同学自己动手，感受信息技术与数学课程的深度融合.8.课堂小结，构建体系1函数零点的概念;2函数零点存在性定理的三个关键词;3判断函数f*=g*-h*零点的方法.9.作业布置，巩固进展1阅读书本 P86-88 和 P91-92;2完成校本练习;3预习下一节 P89-90.第 5 页 共 6 页本文为本文为 WordWord版本，下载可任意编辑版本，下载可任意编辑第 6 页 共 6 页