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第六章 直流电电流密度和欧姆定律的微分形式电源的电动势基尔霍夫定律及其应用电容器的充放电过程电源有两种,直流电源和交流电源.电流的方向和大小都不随时间变化的称直流电;而电流的方向和大小随时间变化的称交流电.本章将讨论直流电的根本规律、复杂电路的计算方法和电容器的充放电过程v 载流子(carrier)形成电流的带电粒子(自由电子,空穴,正负离子)v 导体(conductor):含有大量载流子的物体载流子在电场作用下的定向移动便形成了电流(electric current)v 物体中产生电流的条件:(1)物体内含有可以自由移动的载流子(2)物体内部存在电场一.电流6-1 电流密度和欧姆定律的微分形式v 描述电路中电荷流动强弱的物理量是电流(current intensity)用 I 表示方向:正电荷定向移动的方向大小:以单位时间内通过导体截面的电量来量度tqtqItddlim0单位:库仑/秒,安培(A)它是国际单位中的根本量其他常用单位:毫安(mA),微安(A)电流 I 对电荷流动的描述比较粗糙:如对横截面不等的导体,I 不能反映不同截面处及同一截面不同位置处电流流动的情况.半球形接地电极半球形接地电极附近的电流分布附近的电流分布电疗时电流通电疗时电流通过下肢的情况过下肢的情况电解质内两个点电电解质内两个点电极之间的电流分布极之间的电流分布为此,需要引入新的物理量描述导体中各点电流的分布I二.电流密度v 定义:某一点的电流密度J(current density)是一个矢量,其方向为该点电流的方向,其大小J为通过该点单位垂直截面的电流大小,即SIJddv 电流密度的单位:安培/米2(Am2)v I 与J 的关系cosSSdd其中通过dS 的电流为:ddI JS通过任意截面S 的电流为:ddIIJSJ Sd ddS三.连续性方程 电流的稳恒条件v 电流场:导体中每一点都有一定的J,即J在整个空间形成了一个分布,这个分布称之为电流场.v 在电流场中画出一簇有向曲线,如果这簇曲线上任一点的切线方向都代表这一点的正电荷漂移运动方向(即J 的方向),称这一簇曲线为电流线.在电流场中任取一个闭合曲面S,设S面内的电量为q,并规定S面的外法线为正.SJq通过小面元dS的电流为那么流出S面的总电流(单位时间从S面内流出的电量)为d=d cos=dI J SJSdSSISJd根据电荷守恒定律,在单位时间内通过闭合曲面向外流出的电荷(I),等于此闭合曲面内单位时间所减少的电荷即v 此式叫作电流场中的连续性方程,它是电荷守恒定律的一种表述.v 一般来说,电流密度J既是空间坐标的函数,又是时间的函数.如果空间各点的J 均不随时间变化,这种电流叫做稳恒电流(steady current)tqSdddSJ电流稳恒时,要求空间电场必须是稳恒的,这就要求电荷的空间分布也必须是稳恒的,所以,对空间的任意闭合面S,其中的电荷既不能积累,也不能减少,应有d0dqt即v 此式为电流的稳恒条件,这一结论的物理意义是:在稳恒电流的情况下,流入任意闭合面的电流必然等于从该闭合面流出的电流.0dSSJ四.欧姆定律的微分形式设在导体中取一个小圆柱体,两端的电势差为U1U2,通过横截面S 的电流强度为ISlUURUUI21211S1U2UIl欧姆(Georg Simon Ohm,17871854)德国物理学家,欧姆定律的发现者,为了纪念他的杰出奉献,电阻单位命名为欧姆.EJSI或SESlUI所以写成矢量式JE上式即为欧姆定律的微分形式因为 U1U2 UE l1并令v 欧姆定律的微分形式不仅适用于不规那么形状的载流导体,而且也适用于一切非稳恒情况,因此它比一段导体的欧姆定律IU/R具有更深刻的意义和更广泛的应用.v 它说明,导体中任意一点的电流密度与该处的场强成正比,方向与该点电场强度方向一致.v 是电导率(conductivity),是表征导体导电性质的物理量,单位是Sm1(西门子米1)五.金属与电解质的导电性1.金属的导电性v金属导体中的载流子是自由电子v金属导电就是金属中的自由电子沿逆着电场方向的定向移动 v 在金属导体中取微小横截面积S,设自由电子密度为n,在此时间内通过S 的电量q应为柱体内电子的总电荷,即-EvJtvSqneSvt 考虑到电子运动方向与J 相反,写成矢量式v 此式说明,金属导体中的电流密度与该导体的自由电子密度,自由电子的平均漂移速度成正比.qIne StvIJneSvne Jv2.电解质的导电性v 电解质(electrolyte)溶液中的载流子是正负离子,因此也称为离子导电.v当存在外电场时,除了热运动,正负离子在电场作用下,分别沿电场方向和逆电场方向作定向迁移运动,迁移速度分别是v 和vv离子运动时受到电场力(Ze E)和溶液阻力作用,阻力大小与定向运动速度成正比,以正离子为例,设摩擦系数为k,阻力为kv那么运动方程为 ma=ZeE-kv 当电场力与阻力平衡时 ZeE-kv=0 正离子的漂移速度为:,分别称为正负离子的迁移率 EkZeEv同理负离子的漂移速度为:ZeEEkv总电流密度等于沿电场方向迁移的正离子和逆电场方向迁移的负离子所产生的电流密度之和,即J=J+J-=Zenv+Zenv-=Zen(v+v-)Zen(+)E E由此可得电解质溶液的电导率为:Zen(+)一.电源及其电动势仅有静电场力不能维持稳恒电流,要维持稳恒电流,除静电力之外还必须存在非静电场力v 电源:提供非静电力的装置v 电源外部靠静电力作用使电荷运动.v 电源内部靠非静电力克服静电力作用使电荷运动.+-电源电源+qE EkE6-2 电源的电动势v 电动势:描述非静电力的物理量.v 非静电场:单位正电荷受的非静电力qkkF FE Ev 正电荷在闭合回路中运动一周时,静电力与非静电力作的功为()ddddkkkWqqqqEElElElElv 电动势的定义:dkWqElv 物理意义:单位正电荷绕闭合回路一周时,非静电力所作的功为电源的电动势.v 电动势是标量,但有方向.规定从负极板指向正极板为电动势的正方向.单位:伏特(V)符号:二.一段含源电路的欧姆定律不仅含有电阻,而且含有电源的电路称为含源电路v 当电路中电流方向与电动势的指向相同时,称为电源放电,AB两点间的电势差为()ABUUI Rr,rBIRCAv当电路中电流方向与电动势的指向相反时,称为电源被充电,AB两点间的电势差为,rBIRCA()ABUUI RrBACDr44,r33,r22,r11,R3R2R1I3I2I1v 当某支路含有多个电阻和电源时,任意两点的电势差为两点间各元件上的电势差之和UAUC1+I1R1+I1r1UC UB 2 I2R2 I2r2 3 I2r3UA UB 1+I1R1+I1r1 2 I2R2 I2r2+3 I2r3例题：在图所示的电路中,电池A电动势A=24V,内电阻RiA=2,电池B电动势B=12V,内电阻RiB=1,外电阻R=3.试计算(1)电路中的电流;(2)电池A的端电压U12;(3)电池B的端电压U34;(4)电池A消耗的化学能功率及所输出的有效功率;(5)输入电池B的功率及转变为化学能的功率;(6)电阻R所产生的热功率.IRB3421AIIAA21231224iBiABARRRI(2)设所选定的路径自1经过电池A而到2,应用一段含源电路的欧姆定律得电流的指向如图中箭头所示的方向.解:(1)应用闭合电路的欧姆定律得VV20)24(222112IRUUUIRB3421AII计算结果表示1处的电势U1高于2处的电势U2.VV20)12(1322112IRUUU所得结果与前相同.现在再从1342这一积分路径来计算1、2之间的电势差.得IRB3421AIIVV14)12(124334IRUUU(3)设所选定的积分顺序方向自3经过电池B 而到4,仍应用一段含源电路的欧姆定律得(4)由电动势的定义可知,当电源中通有电流 I 时,电源作功的功率为ItqtWPIRB3421AII电池A所消耗的化学能功率P1=IA=224W=48W,电池A输出功率P2=IU12=220W=40W,消耗于内阻的功率P3=I 2RiA=42W=8W.P3等于P1减去P2IRB3421AII(6)电阻R上的热功率 P7=I 2R=43W=12W(5)输入电池B的功率P4=IU34=142W=28W,其中变化为化学能的功率P5=IB=122W=24W,消耗于内阻的功率P5=P4-P5=I 2RiB=4W.v 最后应当指出:按能量守恒定律,电池A所消耗的化学能功率,应等于电池B中转变为化学能的功率以及消耗在外电阻和两电池内电阻上的热功率.IRB3421AII基尔霍夫(G.R.Gustav Robert Kirchhoff 18241887)德国物理学家、化学家和天文学家,提出基尔霍夫定律、创造分光仪,与本生创立了光谱分析法,发现了元素铯(1860)和铷(1861).6-3 基尔霍夫定律v 复杂电路:不能化解为等效的电阻串、并联电路的组合,含有较复杂的分支和节点的电路.v 简单电路:各个电阻均以串联或并联方式相互连接的电路.v 复杂电路的根本方程:v 基尔霍夫定律一.基尔霍夫第一定律v 节点:三条或三条以上通电导线的会合点.在任一节点处,流向节点的电流和流出节点的电流的代数和等于零.0iiIA、C均为节点ABCD基尔霍夫第一定律:二.基尔霍夫第二定律基尔霍夫第二定律:沿任一闭合回路中电动势的代数和等于回路中电阻上电势降落的代数和.(也称为回路电压方程)IRv 在应用回路电压方程时,首先要选定回路的绕行方向,假设电阻R(或r)中电流I 的方向与绕行相同时,该电阻上的电势降落取正值;相反时,电势降落取负值.假设电动势方向与绕行方向相同时,该电源电动势取正值;相反时,电源电动势取负值.v 应用基尔霍夫定律时的本卷须知:(1)如果电路中有n个节点,那么只有(n1)个相互独立的节点电流方程.(2)新选定的回路中,至少应有一段电路是已选回路中未曾出现过的.(3)独立方程的个数应等于未知数的个数.(4)每一电路上电流的流向可以任意假定,解出的结果假设为负,那么说明电流的方向与假定的相反.例题:如图表示把两个无内阻的直流电源并联起来给一个负载供电,设 1=220V,2=220V,R1=R2=10,R=145,试求每一电源所供给的电流I1以I2及通过负载的电流I.1R1BAR2RI1I2I123 2120III解:利用基尔霍夫定律来解这个问题时,可先根据基尔霍夫第一定律(节点定律)列出电流方程,对节点A:v 由于这电路只有两个节点,所以从节点定律只能得出一个独立的方程,由此对节点B没有必要再列方程式了.为了求出各未知电流,还需要两个方程,这两个方程必须利用基尔霍夫第二定律(回路定律)列出.R1BAR2RI1I2I123 2221121RIRIIRRI222对这三个联立方程求解对回路B2A3B:RRRRRRRRRI21212121)(RRRRRRRRRI21212112)(RRRRRRRRI21212112对回路B1A2B:R1BAR2RI1I2I123 2 1将 1,2,R1,R2,R代入得:1.7A30005100A14510145101010200145220145)(101I1.4A30004200A145101451010102001022010I0.3A3000900-A14510145101010220145200145)(102Iv I2的结果为负值,说明电流方向与图中所假设的方向相反.v 当K接通的瞬间,电源会使C上积累的电荷逐渐增加,电路中有电流流过,这个过程叫做充电(charging)v 电容器充放电时,电容器上的电压变化不是瞬间完成的,而是经历一个渐变过程.这个介于两个稳定状态之间的变化过程称为暂态过程(transient state process)一.电容器的充电过程6-4电容器的充放电过程KIRqC 其中 ddddCuqiCtt上式可写为 ddCCuRCut=这是一个一阶微分方程,它的通解是v 设充电过程中任一时刻t,电容器上的电量为q,电势差为uc,充电电流为i,由基尔霍夫定律,得:qiRCKIRqC RCtCAue式中A是一常数,将初始条件t0时,uC0代入,可求得A,将其代入上式,得)e1(RCtCu电容器上的电压为充电电流为 RctRtuCieddCv 电容器在充电过程中,电容器极板上的电压和电路中的电流的变化都和时间有关.充电的快慢由RC 决定0.63RCuCtO0.37RRiORCtv 令RC=,称为RC电路的时间常数,单位:秒当t 时,uC(1e1)0.632 RRi368.0e1当t2.3时,uC0.9.t3时,uC0.95.t=4.6 时,uC0.99.假设t5,那么可认为充电根本结束.v 越大,i 和uC变化越缓慢,充电时间越长;反之,越小,i 和uC变化越迅速,充电时间越短.因而实际上是表示充电快慢的一个物理量.v当如图电路中的K闭合时,已充满的电容器上的电荷将将通过R泄放掉,这个过程称为放电(discharging)在放电过程中的任一时刻,有 iRuC0二、电容器的放电过程0ddCCutuRC得将代入,ddddCuqiCttKIRCetRCCu该微分方程在初始条件t0,uC 下的解是d()deddtRCCu CqittR 放电电流为uORCt0.370.37RRtiORCv 可以看出,在放电过程中uC和i 随时间t各自从它们的最大值(,/R)按指数规律衰减到零.v 从上面的分析可知,无论是充电还是放电,电容器上的电压均不能突变,只能按指数规律随时间发生变化.电容器的这一特性,在电子技术中用途颇多,利用RC电路产生锯齿波就是一个突出的例子.本章结束谢谢！曾兵
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