控制工程基础第二章ppt课件

第二章 数学模型一、控制系统的运动微分方程二、非线性数学模型的线性化三、拉氏变换和拉氏反变换四、传送函数五、系统方框图和信号流图六、控制系统传送函数推导举例七、小结、数学模型的根本概念、数学模型的根本概念第二章 数学模型、数学模型的根本概念、数学模型的根本概念l 数学模型 数学模型是描画系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它提示了系统构造及其参数与其性能之间的内在关系。静态数学模型：静态条件变量各阶导数为静态数学模型：静态条件变量各阶导数为零下描画变量之间关系的代数方程。零下描画变量之间关系的代数方程。动态数学模型：描画变量各阶导数之间关系动态数学模型：描画变量各阶导数之间关系的微分方程。的微分方程。第二章 数学模型l 建立数学模型的方法 解析法 实验法 根据系统及元件各变量之间所遵照的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出呼应，并用适当的数学模型进展逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简约性和准确性进展折衷思索。应对模型的简约性和准确性进展折衷思索。第二章 数学模型l 数学模型的方式 时间域：微分方程一阶微分方程组、差 分方程、形状方程 复数域：传送函数、构造图 频率域：频率特性 第二章 数学模型一、控制系统的运动微分方程l 建立数学模型的普通步骤 分析系统任务原理和信号传送变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；从输入端开场，按照信号传送变换过程，依 据各变量遵照的物理学定律，依次列写出各 元件、部件的动态微分方程；消去中间变量，得到描画元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程；规范化：右端输入，左端输出，导数降幂排第二章 数学模型l 控制系统微分方程的列写 机械系统机械系统中以各种方式出现的物理景象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：质量mfm(t)参考点x(t)v(t)()()(22txdtdmtvdtdmtfm第二章 数学模型 弹簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)ttKdttvKdttvtvKtKxtxtxKtf)()()()()()()(2121第二章 数学模型 阻尼dttdxCdttdxdttdxCtCvtvtvCtfC)()()()()()()(2121CfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)第二章 数学模型q 机械平移系统)()()()()()()()(22txdtdCtftKxtftxdtdmtftftfoCoKoKCimmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)机械平移系统及其力学模型fC(t)静止平衡任务点作为零点，以消除重力的影响第二章 数学模型)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo式中，m、C、K通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描画。第二章 数学模型显然，微分方程的系数取决于系统的构造参数，而阶次等于系统中独立储能元件惯性质量、弹簧的数量。q 弹簧阻尼系统xo(t)0fi(t)KC弹簧-阻尼系统系统运动方程为一阶常系数微分方程。)()()(tftKxtxdtdCioo)()()(tftftfKCi第二章 数学模型q 机械旋转系统Ki(t)o(t)00TK(t)TC(t)C粘性液体齿轮JJ 旋转体转动惯量；K 改动刚度系数；C 粘性阻尼系数柔性轴第二章 数学模型)()()()()()()()(22tTtTtdtdJtdtdCtTttKtTCKooCoiK)()()()(22tKtKtdtdCtdtdJiooo第二章 数学模型 电气系统 电阻)()(tRitu电气系统三个根本元件：电阻、电容和电感。Ri(t)u(t)第二章 数学模型 电容dttiCtu)(1)(Ci(t)u(t)电感dttdiLtu)()(Li(t)u(t)第二章 数学模型dttiCtudttiCtidtdLtRituoi)(1)()(1)()()(q R-L-C无源电路网络第二章 数学模型LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C无源电路网络普通R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程。)()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo假设L=0，那么系统简化为：)()()(tututudtdRCioo第二章 数学模型)()(0)(21titituaq 有源电网络+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)adttduCRtuoi)()()()(tudttduRCio即：第二章 数学模型 小结 物理本质不同的系统，可以有一样的数学模 型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一 方法进展具有普遍意义的分析研讨信息方 法。从动态性能看，在一样方式的输入作用下，数学模型一样而物理本质不同的系统其输出 呼应类似。类似系统是控制实际中进展实验 模拟的根底；第二章 数学模型 通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等 于元件或系统中所包含的独立储能元惯性 质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容 等的个数；由于系统每添加一个独立储能 元，其内部就多一层能量信息的交换。系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决 于系统的构造及其参数。第二章 数学模型 线性系统与非线性系统可以用线性微分方程描画的系统。假设方程的系数为常数，那么为线性定常系统；假设方程的系数是时间t的函数，那么为线性时变系统；q 线性系统线性是指系统满足叠加原理，即：)()()(2121xfxfxxf 可加性：)()(xfxf 齐次性：)()()(2121xfxfxxf或：第二章 数学模型用非线性微分方程描画的系统。非线性系统不满足叠加原理。q 非线性系统为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处置。实践的系统通常都是非线性的，线性只在一定的任务范围内成立。第二章 数学模型 液体系统节流阀节流阀qi(t)qo(t)H(t)液位系统设液体不可紧缩，经过节流阀的液流是湍流。)()()()()(tHtqtqtqdttdHAooiA：箱体截面积；第二章 数学模型)()()(tqtHtHdtdAi上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为非线性系统。：由节流阀通流面积和通流口的构造方式决议的系数，通流面积不变时，为常数。第二章 数学模型q 线性系统微分方程的普通方式 式中，a1，a2，an和b0，b1，bm为由系统构造参数决议的实常数，mn。)()()()()()()()(111101111txbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn第二章 数学模型二、非线性数学模型的线性化l 线性化问题的提出 线性化：在一定条件下作某种近似或减少系 统任务范围，将非线性微分方程近似为线性 微分方程进展处置。非线性景象：机械系统中的高速阻尼器，阻 尼力与速度的平方成反比；齿轮啮合系统由 于间隙的存在导致的非线性传输特性；具有 铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。第二章 数学模型 线性化的提出q 线性系统是有条件存在的，只在一定的任务q 范围内具有线性特性；q 非线性系统的分析和综合是非常复杂的；q 对于实践系统而言，在一定条件下，采用线q 性化模型近似替代非线性模型进展处置，能q 够满足实践需求。第二章 数学模型l 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 泰勒级数展开法 函数y=f(x)在其平衡点x0,y0附近的泰勒级数展开式为：3003320022000)()(!31)()(!21 )()()()(xxxxdxxfdxxxxdxxfdxxxxdxxdfxfxfy第二章 数学模型)()()(000 xxxxdxxdfxfy略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，那么：0)(xxdxxdfK或：y-y0 =y=Kx，其中：上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。y0=f(x0)称为系统的静态方程；第二章 数学模型增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡任务点上，对于实践系统就是以正常任务形状为研讨系统运动的起始点，这时，系统一切的初始条件均为零。对多变量系统，如：y=f(x1,x2)，同样可采用泰勒级数展开获得线性化的增量方程。第二章 数学模型)()(),(202210112010202101202101xxxfxxxfxxfyxxxxxxxx22110 xKxKyyy增量方程：),(20100 xxfy 静态方程：2021012021012211,xxxxxxxxxfKxfK其中：第二章 数学模型 滑动线性化切线法 0 xy=f(x)y0 x0 xyy非线性关系线性化A线性化增量增量方程为：y y=xtg切线法是泰勒级数法的特例。第二章 数学模型l 系统线性化微分方程的建立系统线性化微分方程的建立 步骤 q 确定系统各组成元件在平衡态的任务点；q 列出各组成元件在任务点附近的增量方程；q 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微q 分方程；第二章 数学模型 实例：液位系统的线性化)()()(tqtHtHdtdAi20022000)(!21)(HHHdHHdHHHdHHdHH0000,ioiqHqq解：稳态时：解：稳态时：)(tH非线性项的泰勒展开为：第二章 数学模型节流阀节流阀qi(t)qo(t)H(t)液位系统HHHHHHdHHdHH0000021)(那么：iiqqHHHHHdtdA000021)(由于：留意到：HdtdHHdtd)(0第二章 数学模型)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi实践运用中，常略去增量符号而写成：)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi所以：此时，上式中H(t)和qi(t)均为平衡任务点的增量。第二章 数学模型l 线性化处置的本卷须知线性化处置的本卷须知 线性化方程的系数与平衡任务点的选择有关；线性化是有条件的，必需留意线性化方程适 用的任务范围；某些典型的本质非线性，如继电器特性、间 隙、死区、摩擦等，由于存在不延续点，不 能经过泰勒展开进展线性化，只需当它们对 系统影响很小时才干忽略不计，否那么只能作 为非线性问题处置。第二章 数学模型inout0近似特性曲线真实特性饱和非线性inout0死区非线性inout0继电器非线性inout0间隙非线性第二章 数学模型三、拉氏变换和拉氏反变换l 拉氏变换拉氏变换 设函数f(t)(t0)在任一有限区间上分段延续，且存在一正实常数，使得：0)(limtfett那么函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：s=+j，均为实数；0)()()(dtetftfLsFst第二章 数学模型0dtest称为拉普拉氏积分；F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数，它是一个复变函数；f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。l 拉氏反变换拉氏反变换 0,)(21)()(1tdsesFjsFLtfjjstL1为拉氏反变换的符号。第二章 数学模型l 几种典型函数的拉氏变换几种典型函数的拉氏变换 q 单位阶跃函数1(t)10tf(t)单位阶跃函数0100)(1ttt)0)(Re(101 )(1)(10ssesdtettLstst第二章 数学模型q 指数函数atetf)(a为常数指数函数0tf(t)1)0)(Re(,1 0)(0asasdtedteeeLtasstatat第二章 数学模型q 正弦函数与余弦函数 正弦及余弦函数10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-10sinsindtettLst0coscosdtettLst由欧拉公式，有：tjtjtjtjeeteejt21cos21sin第二章 数学模型0)Re(112121sin2200ssjsjsjdteedteejtLsttjsttj从而：22cossstL同理：第二章 数学模型q 单位脉冲函数(t)0tf(t)单位脉冲函数1)0(1lim)0(0)(0tttt且)1(1lim1lim)(000sstesdtetL)()1(lim)1(1lim00seesss由洛必达法那么：1lim)(0setL所以：第二章 数学模型q 单位速度函数斜坡函数 10tf(t)单位速度函数1000)(ttttf0)Re(1)(2000ssdtsesetdttetfLststst第二章 数学模型q 单位加速度函数02100)(2ttttf0)Re(121)(302ssdtettfLst单位加速度函数0tf(t)函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或经过一定的转换得到。第二章 数学模型l 拉氏变换积分下限的阐明拉氏变换积分下限的阐明 在某些情况下，函数f(t)在t0处有一个脉冲函数。这时必需明确拉氏变换的积分下限是0还是0+，并相应记为：0)()(dtetftfLst000)()()()(dtetftfLdtetftfLstst第二章 数学模型l 拉氏变换的主要定理拉氏变换的主要定理 叠加定理 q 齐次性：Laf(t)=aLf(t)，a为常数；q 叠加性：Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t)q a，b为常数；显然，拉氏变换为线性变换。第二章 数学模型 实微分定理 0)()0(),0()()(ttfffssFdttdfL00)(0)()(dtsedttdfsetfdtetfststst证明：由于证明：由于dttdfLssfsF)(1)0()(即：第二章 数学模型)0()()(fssFdttdfL所以：)0()0()0()()()0()0()()()1(21222nnnnnnffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdL同样有：式中，f(0)，f(0)，为函数f(t)的各阶导数在t=0时的值。第二章 数学模型)()()()()()(222sFsdttfdLsFsdttfdLssFdttdfLnnn当f(t)及其各阶导数在t=0时辰的值均为零时零初始条件：第二章 数学模型当f(t)在t=0处具有延续点时，df(t)/dt在t=0处将包含一个脉冲函数。故假设f(0+)f(0)，那么：)0()()()0()()(fssFdttdfLfssFdttdfL第二章 数学模型 复微分定理),3,2,1()()1()()()()()(222ntftLsFdsdtftLsFdsdttfLsFdsdnnnn假设Lf(t)=F(s)，那么除了F(s)的极点之外，有：第二章 数学模型 积分定理 0)()0(,)0()()()1()1(tdttffsfssFdttfL)(1)(sFsdttfL当初始条件为零时：假设f(0+)f(0)，那么：sfssFdttfLsfssFdttfL)0()()()0()()()1()1(第二章 数学模型证明：证明：0)()(dtedttfdttfLst00)()(dtsetfsedttfststssFsf)()0()1(0)(10)(1dtetfstdttfsst第二章 数学模型)(1)(sFsdttfLnn)0(1)0(1)(1)()1()1(1nnnnfsfssFsdttfL同样：当初始条件为零时：第二章 数学模型 延迟定理 )()(sFetfLs设当t0时，f(t)=0，那么对恣意0，有：函数 f(t-)0tf(t)f(t)f(t-)第二章 数学模型 位移定理 )()(asFtfeLat例：2222cossinsstLstL2222)()(cos)(sinasasteLasteLatat第二章 数学模型 初值定理 证明：证明：)(lim)0()(lim0ssFftfst初值定理建立了函数f(t)在t=0+处的初值与函数sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关系。0)0()(lim)(lim)(lim0fssFdtedttdfdttdfLsstss)(lim)0(ssFfs即：第二章 数学模型 终值定理 )(lim)()(lim0ssFftfst假设sF(s)的一切极点位于左半s平面，即：)(limtft存在。那么：第二章 数学模型证明：证明：)0()(lim)0()(lim)(lim000fssFfssFdttdfLsss终值定理阐明f(t)稳定值与sF(s)在s=0时的初值一样。)(lim)(0ssFfs第二章 数学模型)0()()()(lim)(lim0000ffdtdttdfdtedttdfdttdfLstss又由于：)0()(lim)0()(0fssFffs即：卷积定理 )()()()(sGsFtgtfLttdtgfdgtftgtf00)()()()()(*)(假设t p=1 -12 0 25 126p=1 -12 0 25 126第二章 数学模型用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式，即：num=b0 b1 bm den =a0 a1 anMATLAB提供函数residue用于实现部分分式展开，其句法为：r,p,k=residue(num,den)其中，r,p分别为展开后的留数及极点构成的列向量、k为余项多项式行向量。第二章 数学模型假设无重极点，MATLAB展开后的普通方式为：)()()()2()1()1()1()(sKnpsnrpsrpsrsF假设存在q重极点p(j)，展开式将包括以下各项：qjpsqjrjpsjrjpsjr)()1()()1()()(2第二章 数学模型例：求例：求的部分分式展开。2450351026523911)(234234sssssssssF num=1 11 39 52 26;den=1 10 35 50 24;r,p,k=residue(num,den)r=1.0000 2.5000 -3.0000 0.5000p=-4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000k=1展开式为：115.02335.241)(sssssF第二章 数学模型例：求例：求的部分分式展开。27956510)(23425ssssssssF num=1 0 0 10 5 6;den=1 5 9 7 2;r,p,k=residue(num,den)r=-4.0000 20.0000 -20.0000 10.0000p=-2.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000k=1 -5展开式为：5)1(10)1(2012024)(32ssssssF第二章 数学模型num,den=residue(r,p,k)函数 residue 也可用于将部分分式合并，其句法为：r=1 2 3 4;p=-1-2-3-4;k=0;num,den=residue(r,p,k)num=10 70 150 96den=1 10 35 50 24例：例：24503510961507010)(23423ssssssssF第二章 数学模型l 运用拉氏变换解线性微分方程运用拉氏变换解线性微分方程 求解步骤q 将微分方程经过拉氏变换变为 s 的代数方q 程；q 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表q 达式；q 运用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。第二章 数学模型原函数微分方程的解象函数微分方程象函数的代数方程拉氏反变换拉氏变换解代数方程拉氏变换法求解线性微分方程的过程第二章 数学模型 实例)()(6)(5)(22txtxdttdxdttxdiooo设系统微分方程为：假设xi(t)=1(t)，初始条件分别为xo(0)、xo(0)，试求xo(t)。解：对微分方程左边进展拉氏变换：解：对微分方程左边进展拉氏变换：)0()0()()(222ooooxsxsXsdttxdL第二章 数学模型)0()0()5()()65()(6)(5)(222ooooooxxssXsstxdttdxdttxdL即：)0(5)(5)(5oooxssXdttdxL)(6)(6sXtxLoo第二章 数学模型stLsXtxLii1)(1)()(323265)0()0()5()65(1)(2132122sBsBsAsAsAssxxsssssXooo对方程右边进展拉氏变换：sxxssXssooo1)0()0()5()()65(2从而：第二章 数学模型61065121sssA212)3(12sssA313)2(13sssA)0()0(323)0()0()5(1ooooxxssxxsB)0()0(232)0()0()5(2ooooxxssxxsB第二章 数学模型)0()0()0(2)0()0(3 312161)(3232texxexxeetxtootootto)0312161)(32teetxtto3)0()0(22)0()0(333122161)(sxxsxxssssXooooo所以：查拉氏变换表得：当初始条件为零时：第二章 数学模型零形状呼应零输入呼应q 运用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始q 条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式q 中，因此，不需求根据初始条件求积分常数q 的值就可得到微分方程的全解。q 假设一切的初始条件为零，微分方程的拉氏q 变换可以简单地用sn替代dn/dtn得到。由上述实例可见：第二章 数学模型q 系统呼应可分为两部分：零形状呼应和零输q 入呼应 作业：2-33,7,8,13,17 2-4 (2,3)四、传送函数l 传送函数的概念和定义传送函数的概念和定义 传送函数 第二章 数学模型在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。零初始条件：q t0时，输入量及其各阶导数均为0；q 输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工q 作形状，即t 0 时，输出量及其各阶导数也q 均为0；第二章 数学模型 传送函数求解例如 q 质量-弹簧-阻尼系统的传送函数)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo)()()()(2sFsKXsCsXsXmsioooKCsmssFsXsGio21)()()(一切初始条件均为零时，其拉氏变换为：按照定义，系统的传送函数为：第二章 数学模型q R-L-C无源电路网络的传送函数)()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo)()()()(2sUsUsRCsUsULCsiooo11)()()(2RCsLCssUsUsGio一切初始条件均为零时，其拉氏变换为：第二章 数学模型q 几点结论 传送函数是复数s域中的系统数学模型，其参数仅取决于系统本身的构造及参数，与系统的输入方式无关。假设输入给定，那么系统输出特性完全由传送函 数G(s)决议，即传送函数表征了系统内在的 固有动态特性。传送函数经过系统输入量与输出量之间的关 系来描画系统的固有特性。即以系统外部的 输入输出特性来描画系统的内部特性。第二章 数学模型 传送函数的普通方式)()()()()()()()()(111101111mntxbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio思索线性定常系统当初始条件全为零时，对上式进展拉氏变换可得系统传送函数的普通方式：第二章 数学模型mmmmbsbsbsbsM1110)(nnnnasasasasN1110)(令：)()()()()(sNsMsXsXsGio那么：N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统的特征根。特征方程决议着系统的动态特性。N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。l 特征方程、零点和极点特征方程、零点和极点 特征方程第二章 数学模型式中，K称为系统的放大系数或增益。当s=0时：G(0)=bm/an=K从微分方程的角度看，此时相当于一切的导数项都为零。因此K 反响了系统处于静态时，输出与输入的比值。第二章 数学模型 零点和极点)()()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsXsXsG将G(s)写成下面的方式：N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根s=pj (j=1,2,n)，称为传送函数的极点；式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根s=zi (i=1,2,m)，称为传送函数的零点；系统传送函数的极点就是系统的特征根。零点和极点的数值完全取决于系统的构造参数。第二章 数学模型 零、极点分布图 将传送函数的零、极点表示在复平面上的图形称为传送函数的零、极点分布图。图中，零点用“O表示，极点用“表示。G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零极点分布图0 12312-1-2-3-1-2j第二章 数学模型l 传送函数的几点阐明传送函数的几点阐明 传送函数是一种以系统参数表示的线性定常 系统输入量与输出量之间的关系式；传送函 数的概念通常只适用于线性定常系统；传送函数是 s 的复变函数。传送函数中的各 项系数和相应微分方程中的各项系数对应相 等，完全取决于系统构造参数；第二章 数学模型 传送函数是在零初始条件下定义的，即在零 时辰之前，系统对所给定的平衡任务点处于 相对静止形状。因此，传送函数原那么上不能 反映系统在非零初始条件下的全部运动规律；传送函数只能表示系统输入与输出的关系，无法描画系统内部中间变量的变化情况。一个传送函数只能表示一个输入对一个输出 的关系，只适宜于单输入单输出系统的描画。第二章 数学模型l 脉冲呼应函数脉冲呼应函数 初始条件为0时，系统在单位脉冲输入作用下的输出呼应的拉氏变换为：)()()()(sGsXsGsY即：)()()()(11tgsGLsYLtyg(t)称为系统的脉冲呼应函数权函数。系统的脉冲呼应函数与传送函数包含关于系统动态特性的一样信息。第二章 数学模型留意到复数域相乘等同于时域内卷积，因此，由：)()()(sXsGsY知线性系统在恣意输入作用下，其时域输出：ttdtgxdtxgtxtgty00)()()()()()()(式中，当t 0时，g(t)=x(t)=0。作业：24 (2,3)26 210 b,d 第二章 数学模型l 典型环节及其传送函数典型环节及其传送函数 环节 具有某种确定信息传送关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。经常遇到的环节称为典型环节。任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成。第二章 数学模型 环节的分类 )()()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsXsXsG假设系统有b个实零点，c 对复零点，d 个实极点，e对复极点和v个零极点，由线性系统传送函数的零、极点表达式：可见：b+2c=m v+d+2e=n第二章 数学模型iiiiiisszs1),1(1jjjjjjTsTTsps1),1(1对于实零点zi=i和实极点pj=j，其因式可以变换成如下方式：第二章 数学模型)12(12)()(2222221ssssjsjszszs对于复零点对z=+j和z+1=j，其因式可以变换成如下方式：2222,1式中，第二章 数学模型对于复极点对pk=k+jk和pk+1=k jk，其因式可以变换成如下方式：)12(1 2 )()(2222221sTsTTssjsjspspskkkkkkkkkkkkk2222,1kkkkkkkT式中，第二章 数学模型ekkkkdjjvcbiisTsTsTssssKsG12211221)12()1()12()1()(于是，系统的传送函数可以写成：ekkdjjcbiiTTabK1211210011式中，为系统放大倍数。第二章 数学模型121,11,1,12,1,2222TssTTsssssK由上式可见，传送函数表达式包含六种不同的因子，即：普通，任何线性系统都可以看作是由上述六种因子表示的典型环节的串联组合。上述六种典型环节分别称为：第二章 数学模型)()(sXesXiso实践系统中还存在纯时间延迟景象，输出完全复现输入，但延迟了时间，即xo(t)=xi(t-)，此时：sesG)(或：se因此，除了上述六种典型环节外，还有一类典型环节延迟环节 。第二章 数学模型比例环节：K一阶微分环节：s+11222ss二阶微分环节：s1积分环节：11Ts惯性环节：12122TssT振荡环节：第二章 数学模型)()(sXesXiso实践系统中还存在纯时间延迟景象，输出完全复现输入，但延迟了时间，即xo(t)=xi(t-)，此时：sesG)(或：se因此，除了上述六种典型环节外，还有一类典型环节延迟环节 。第二章 数学模型 典型环节例如 q 比例环节 输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。其运动方程为：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、xi(t)分别为环节的输出和输入量；K比例系数，等于输出量与输入量之比。第二章 数学模型KsXsXsGio)()()(比例环节的传送函数为：z1z2ni(t)no(t)齿轮传动副R2R1ui(t)uo(t)运算放大器KzzsNsNsGio21)()()(KRRsUsUsGio12)()()(第二章 数学模型q 惯性环节 )()()(tKxtxtxdtdTioo1)()()(TsKsXsXsGio凡运动方程为一阶微分方程：方式的环节称为惯性环节。其传送函数为：T时间常数，表征环节的惯性，和 环节构造参数有关式中，K环节增益放大系数；第二章 数学模型)()()(tKxtKxdttdxCiooKCTTskCsKsG,11)(如：弹簧-阻尼器环节xi(t)xo(t)弹簧-阻尼器组成的环节KC第二章 数学模型q 微分环节 输出量正比于输入量的微分。dttdxtxio)()(运动方程为：ssXsXsGio)()()(传送函数为：式中，微分环节的时间常数在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其它环节一同出现。第二章 数学模型dttdKtuito)()(sKssUsGtio)()()(如：测速发电机uo(t)i(t)测 速 发 电 机式中，Kt为电机常数。无负载时：第二章 数学模型RCui(t)uo(t)i(t)无源微分网络无源微分网络 RtituRtidttiCtuoi)()()()(1)(RCTTsTsRCsRCssG,11)(显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之为惯性微分环节，只需当|Ts|1时，才近似为微分环节。第二章 数学模型)1()()()(sKsXsXsGio除了上述纯微分环节外，还有一类一阶微分环节，其传送函数为：微分环节的输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势，从而给系统以有关输入变化趋势的预告。因此，微分环节常用来改善控制系统的动态性能。第二章 数学模型q 积分环节 输出量正比于输入量对时间的积分。tiodttxTtx0)(1)(运动方程为：TssXsXsGio1)()()(传送函数为：式中，T积分环节的时间常数。第二章 数学模型AtTAdtTtxto11)(0积分环节特点：输出量取决于输入量对时间的积累过程。且具有记忆功能；具有明显的滞后作用。积分环节常用来改善系统的稳态性能。如当输入量为常值 A 时，由于：输出量须经过时间T才干到达输入量在t=0时的值A。第二章 数学模型如：有源积分网络+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a)()(tudttduRCioRCTTsRCssG,11)(第二章 数学模型液压缸 Aqi(t)xo(t)dttqAtxio)(1)(AssQsXsGio1)()()(第二章 数学模型q 振荡环节 含有两个独立的储能元件，且所存储的能量可以相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为：10),()()(2)(222tKxtxtxdtdTtxdtdTiooo12)()()(22TssTKsXsXsGio传送函数：第二章 数学模型式中，T振荡环节的时间常数 阻 尼 比，对 于 振 荡 环 节，01 K比例系数TsssGnnnn1,2)(222振荡环节传送函数的另一常用规范方式为K=1：n称为无阻尼固有频率。第二章 数学模型)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo12/11)(222TssTKKCsmssG如：质量-弹簧-阻尼系统传送函数：mKCKmT2,式中，mkC2当时，为振荡环节。第二章 数学模型q 二阶微分环节 式中，时间常数 阻尼比，对于二阶微分环节，01 K比例系数 10,)()(2)()(222txtxdtdtxdtdKtxiiio运动方程：12)(22ssKsG传送函数：第二章 数学模型q 延迟环节 惯性环节从输入开场时辰起就已有输出，仅 由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要 求的输出值；)()(txtxio运动方程：sesG)(传送函数：式中，为纯延迟时间。延迟环节从输入开场之初，在0 时间内,没有输出，但t=之后，输出完全等于输入。延迟环节与惯性环节的区别：第二章 数学模型ALvhi(t)ho(t)轧制钢板厚度丈量vLththio)()(第二章 数学模型 小结 q 环节是根据微分方程划分的，不是详细的q 物理安装或元件；q 一个环节往往由几个元件之间的运动特性q 共同组成；q 同一元件在不同系统中作用不同，输入输q 出的物理量不同，可起到不同环节的作用。第二章 数学模型五、系统方框图和信号流图l 系统方框图系统方框图 系统方框图是系统数学模型的图解方式。可以笼统直观地描画系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传送、变换过程。留意：即使描画系统的数学关系式一样，其方框图也不一定一样。第二章 数学模型 方框图的构造要素 q 信号线 带有箭头的直线，箭头表示信号的传送方向，直线旁标志信号的时间函数或象函数。X(s),x(t)信号线第二章 数学模型q 信号引出点线 表示信号引出或丈量的位置和传送方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。引出线X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)第二章 数学模型q 函数方框(环节)G(s)X1(s)X2(s)函数方框函数方框具有运算功能，即：X2(s)=G(s)X1(s)传送函数的图解表示。第二章 数学模型q 求和点比较点、综合点信号之间代数加减运算的图解。用符号“及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的“+或“-表示加上此信号或减去此信号。相邻求和点可以互换、合并、分解，即满足代数运算的交换律、结合律和分配律。X1(s)X2(s)X1(s)X2(s)第二章 数学模型ABA-BCA-B+CA+C-BBCAA+CABA-B+CCA-B+C求和点可以有多个输入，但输出是独一的。第二章 数学模型R1Cs1求和点函数方框函数方框引出线Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)方框图例如任何系统都可以由信号线、函数方框、信号引出点及求和点组成的方框图来表示。第二章 数学模型 系统方框图的建立 q 步骤 建立系统各元部件的微分方程,明确信号 的因果关系输入/输出。对上述微分方程进展拉氏变换，绘制各部 件的方框图。按照信号在系统中的传送、变换过程，依 次将各部件的方框图衔接起来，得到系统 的方框图。第二章 数学模型q 例如 RCui(t)uo(t)i(t)无源RC电路网络 无源RC网络)()()(tututRioidttiCtuo)(1)()(1)()()()(sICssUsUsUsRIooi拉氏变换得：)(1)()()(1)(sICssUsUsURsIooi第二章 数学模型从而可得系统各方框单元及其方框图。R1Ui(s)Ui-UoI(s)Uo(s)()(1)(sUsURsIoi(a)Cs1Uo(s)I(s)(1)(sICssUo(b)第二章 数学模型R1Cs1Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)无源RC电路网络系统方框图 机械系统 第二章 数学模型m1fi(t)K1C x(t)0m2K2xo(t)0m1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fC第二章 数学模型)()()()(11tftftftxmKCi)()()(11txtxKtfoKdttdxdttdxCtfoC)()()()()()()(212tftftftxmKCKo)()(22txKtfoKm1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fCx(t)0 xo(t)0第二章 数学模型)()()()()(1)()()()()()()()()()(1)(22212122111sXKsFsFsFsFsmsXsXsXCssFsXsXKsFsFsFsFsmsXoKKCKooCoKKCi第二章 数学模型211smFi(s)X(s)FC(s)FK1(s)(a)()()(1)(121sFsFsFsmsXKCiK1X(s)Xo(s)FK1(s)CsFC(s)(b)()()(11sXsXKsFoK)()()(sXsXCssFoC第二章 数学模型221smXo(s)FC(s)FK2(s)FK1(s)(c)()()(1)(2122sFsFsFsmsXKCKoK2Xo(s)FK2(s)(d)()(22sXKsFoK第二章 数学模型211smFi(s)X(s)FC(s)FK1(s)221smXo(s)FK2(s)K1Xo(s)FK1(s)CsFC(s)K2机械系统方框图第二章 数学模型 系统方框图的简化 q 方框图的运算法那么 串联衔接 G1(s)G2(s)Gn(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Xo(s).G(s)=G1(s)G2(s)Gn(s)Xi(s)Xo(s)第二章 数学模型 并联衔接 Xo(s)G1(s)+Xi(s)G2(s)+Gn(s).Xi(s)Xo(s)G1(s)+G2(s)+Gn(s)第二章 数学模型 反响衔接 G(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)E(s)()()()()()()()()(sXsHsBsBsXsEsEsGsXoio)()(1)()()()(sHsGsGsXsXsioXi(s)Xo(s)()(1)(sHsGsG第二章 数学模型q 方框图的等效变换法那么 求和点的挪动 G(s)ABC求和点后移G(s)ABC求和点前移G(s)ABCG(s)G(s)ABC)(1sG第二章 数学模型 引出点的挪动 引出点前移G(s)ACC引出点后移G(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)AC)(1sGA第二章 数学模型q 由方框图求系统传送函数 根本思绪：利用等效变换法那么，挪动求和点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路。第二章 数学模型例：求以下图所示系统的传送函数。H1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)BH2(s)A第二章 数学模型H1(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)Xo(s)H2(s)G3(s)解：解：1 1、A A点前移；点前移；第二章 数学模型2、消去H2(s)G3(s)反响回路)()()(1)()()(232321sHsGsGsGsGsGH1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)第二章 数学模型)()()()()()()()()()(1)()()(3321232121321sHsGsGsGsHsGsGsHsGsGsGsGsGXi(s)Xo(s)()()()()()(1)()()(232121321sHsGsGsHsGsGsGsGsGH3(s)Xi(s)Xo(s)3、消去H1(s)反响回路4、消去H3(s)反响回路第二章 数学模型2-8 按信息传送和转换过程，绘出图示两机械系统的方框图。K1B2xom输出K2abfi(t)输入KB1xiB2xom输入输出作业：28、210、2112-10 绘出图示无源电网络的方框图，并求各自的传送函数。R1C1C2R2uiuob)C1R1R2uo(t)ui(t)C2d)2-11 基于方框图简化法那么，求图示系统的闭环传送函数。Xi(s)G1G2G3H2H1G4Xo(s)a)第二章 数学模型l 系统信号流图和梅逊公式系统信号流图和梅逊公式 信号流图来源于梅逊S.J.MASON利用图示法来描画一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组成的一种信号传送网络。信号流图及其术语 q 节点 表示变量或信号，其值等于一切进入该节点的信号之和。节点用“表示。第二章 数学模型q 支路 衔接两个节点的定向线段，用支路增益传送函数表示方程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传送。例：542534423312gxcxdxxbxxfxaxxexxxx1x2x3x4x5x51eafbdc1g第二章 数学模型q 输入节点源节点 只需输出的节点，代表系统的输入变量。q 输出节点阱节点、汇点 只需输入的节点，代表系统的输出变量。源节点汇点x1x2x3x4x5x51eafbdc1g第二章 数学模型q 混合节点 既有输入又有输出的节点。假设从混合节点引出一条具有单位增益的支路，可将混合节点变为输出节点。x1x2x3x4x5x51eafbdc1g第二章 数学模型q 通路 沿支路箭头方向穿过各相连支路的途径。q 前向通路 从输入节点到输出节点的通路上经过任何节点不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积，称前向通路总增益，普通用pk表示。x1x2x3x4x5x51eafbdc1g第二章 数学模型q 回路 起点与终点重合且经过任何节点不多于一次的闭合通路。回路中一切支路增益之乘积称为回路增益，用La表示。x1x2x3x4x5x51eafbdc1gq 不接触回路 相互间没有任何公共节点的回路。第二章 数学模型 信号流图的绘制 由系统微分方程绘制信号流图根据微分方程绘制信号流图的步骤与绘制方框图的步骤类似。由系统方框图绘制信号流图两种方法：第二章 数学模型例1：根据微分方程绘制信号流图R1R2C1C2i1(t)u1(t)uo(t)i2(t)uA(t)二级RC电路网络dttiCtuRtututidttitiCtuRtututiooAAAi)(1)()()()()()(1)()()()(222221111第二章 数学模型)(1)()()()()()(1)()()()(222221111sIsCsURsUsUsIsIsIsCsURsUsUsIooAAAi取 U i(s)、I 1(s)、UA(s)、I2(s)、Uo(s)作为信号流图的节点，其中，Ui(s)、Uo(s)分别为输入及输出节点。按上述方程绘制出各部分的信号流图，再综合后即得到系统的信号流图。第二章 数学模型11)()()(RsUsUsIAia)I1(s)UA(s)I2(s)sC11-11Ui(s)I1(s)UA(s)11 R-11)()(1)(211sIsIsCsUAb)第二章 数学模型22)()()(RsUsUsIoAc)UA(s)I2(s)21 R1-1Uo(s)(1)(22sIsCsUod)Uo(s)I2(s)sC21第二章 数学模型Ui(s)I1(s)UA(s)11 R-11I2(s)sC11-1121 R1-1Uo(s)sC211Ui(s)I1(s)I2(s)UA(s)11 R-11I2(s)sC11-121 R1-1Uo(s)sC211第二章 数学模型例2：根据方框图绘制信号流图G(s)H(s)Xi(s)Xo(s)E(s)系统方框图信号流图Xi(s)Xo(s)G(s)E(s)Xo(s)11-H(s)第二章 数学模型G1(s)G4(s)G3(s)G2(s)E1E2E3G1-G2G4G3E3G1(s)G4(s)G3(s)G2(s)E1E2E3G1-G2G4G3E3E11 比较点与节点对应关系：梅逊公式 第二章 数学模型式中，P 系统总传送函数kkkPP1Pk 第k条前向通路的传送函数通 路增益 流图特征式第二章 数学模型aaL一切不同回路的传送函数之和；cbcbLL,每两个互不接触回路传送函数 乘积之和fedfedLLL,每三个互不接触回路传送函数 乘积之和fedfedcbcbaaLLLLLL,1第二章 数学模型k 第k条前向通路特征式的余因子，即对于 流图的特征式，将与第k 条前向通路相 接触的回路传送函数代以零值，余下的 即为k。第二章 数学模型Ui(s)I1(s)I2(s)UA(s)11 R-11I2(s)sC11-121 R1-1Uo(s)sC211例：用梅逊公式求系统传送函数对于二阶RC电路网络，输入Ui(s)与输出Uo(s)之间只需一条前向通路，其传送函数为：sCRsCRP221111111第二章 数学模型Ui(s)I1(s)I2(s)UA(s)11 R-11I2(s)sC11-121 R1-1Uo(s)sC211三个不同回路的传送函数分别为：sCRL11111sCRL22211sCRL12311L1L2L3第二章 数学模型sCRsCRsCRsCRsCRLLLLL221112221121321111111)(1流图特征式为：11前向通路特征式的余因子为：1)(1112122112212111sCRCRCRsCCRRPPPkkk所以，第二章 数学模型l 控制系统的传送函数控制系统的传送函数 思索扰动的闭环控制系统 G1(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)(s)G2(s)N(s)+Xi(s)到Xo(s)的信号传送通路称为前向通道；Xo(s)到B(s)的信号传送通路称为反响通道；第二章 数学模型 闭环系统的开环传送函数 闭环系统的开环传送函数也可定义为反响信号B(s)和偏向信号(s)之间的传送函数，即：)()()()()()(21sHsGsGssBsGK将闭环控制系统主反响通道的输出断开，即H(s)的输出通道断开，此时，前向通道传送函数与反响通道传送函数的乘积G1(s)G2(s)H(s)称为该闭环控制系统的开环传送函数。记为GK(s)。第二章 数学模型 xi(t)作用下系统的闭环传送函数 令n(t)=0，此时在输入xi(t)作用下系统的闭环传送函数为：G1(s)H(s)Xi(s)Xo1(s)B(s)(s)G2(s)xi(t)作用下的闭环系统)()()(1)()()()()(212101sHsGsGsGsGsXsXsii第二章 数学模型 输入作用下系统的偏向传送函数 1H(s)Xi(s)G1(s)G2(s)(s)偏向信号与输入信号之间的关系)()()(11)()()(21sHsGsGsXssiii)(si令n(t)=0，此时系统输入Xi(s)与偏向(s)之间的传送函数称为输入作用下的偏向传送函数。用表示。第二章 数学模型 n(t)作用下系统的闭环传送函数 令xi(t)=0，此时在扰动n(t)作用下系统的闭环传送函数干扰传送函数为：G1(s)H(s)N(s)Xo2(s)G2(s)n(t)作用下的闭环系统)()()(1)()()()(21202sHsGsGsGsNsXsN第二章 数学模型 扰动作用下系统的偏向传送函数 令xi(t)=0，此时系统在扰动作用下的偏向传送函数称扰动偏向传送函数。)()()(1)()()()()(212sHsGsGsHsGsNssNN-1N(s)G1(s)(s)偏向信号与干扰信号之间的关系G2(s)H(s)+第二章 数学模型 结论 q 系统的闭环传送函数 、q 及 具有一样的特征多项式：q 1+G1(s)G2(s)H(s)q 其中G1(s)G2(s)H(s)为系统的开环传送函数。q 即闭环传送函数的极点一样。)(si)(si)(sN)(sNq 系统的固有特性与输入、输出的方式、位置q 均无关；同一个外作用加在系统不同的位置q 上，系统的呼应不同，但不会改动系统的固q 有特性；第二章 数学模型 系统的总输出 )()()()(1)()()()()(1)()()()()(21221210201sNsHsGsGsGsXsHsGsGsGsGsXsXsXio根据线性系统的叠加原理，系统在输入xi(t)及扰动n(t)共同作用下的总输出为：第二章 数学模型)()(1)(sXsHsXio1)()()(21sHsGsG1)()(1sHsG假设且，那么：上式阐明，采用反响控制的系统，适中选择元部件的构造参数，可以加强系统抑制干扰的才干。第二章 数学模型2-13 系统信号流图如下，试求其传送函数。Xi(s)1abc1Xo(s)fghde作业：213、2142-14 系统方框图如下，图中Xi(s)为输入，N(s)为扰动。求传送函数Xo(s)/Xi(s)和Xo(s)/N(s)。假设要消除扰动对输入的影响(即Xo(s)/N(s)=0)，试确定G0(s)值。sK213TsK_K4N(s)K1G0(s)Xi(s)Xo(s)+_第二章 数学模型六、控制系统传送函数推导举例l 机械系统机械系统 电机驱动进给安装