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4.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系1.1.空间直角坐标系空间直角坐标系(1)(1)定义定义:如图如图,OABC-DABC,OABC-DABC为单位正方体为单位正方体,以以O O为原点为原点,分别分别以射线以射线OA,OC,ODOA,OC,OD的方向的方向为正方向为正方向,以线段以线段OA,OC,ODOA,OC,OD的长为单位长的长为单位长,建立三条建立三条数轴数轴:x:x轴、轴、y y轴、轴、z z轴轴,即建立了空间直角坐标系即建立了空间直角坐标系Oxyz.Oxyz.(2)(2)构成要素构成要素:坐标原点坐标原点:O;:O;坐标轴坐标轴:x:x轴、轴、y y轴、轴、z z轴轴;坐标平面坐标平面:xOy:xOy平面平面,yOz,yOz平面平面,xOz,xOz平面平面.(3)(3)右手直角坐标系右手直角坐标系:右手拇指指向右手拇指指向x x轴的正方向轴的正方向,食指食指指向指向y y轴的正方向轴的正方向,中指指向中指指向z z轴的正方向轴的正方向.【思考思考】(1)(1)空间直角坐标系中空间直角坐标系中x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴上的单位长度什轴上的单位长度什么关系么关系?提示提示:相等相等.(2)(2)在平面上画空间直角坐标系在平面上画空间直角坐标系OxyzOxyz时时,一般一般xOy,xOy,yOzyOz分别是多少度分别是多少度?提示提示:xOy=135xOy=135,yOz=90,yOz=90.2.2.空间直角坐标系中点的坐标空间直角坐标系中点的坐标 其中其中xx横坐标横坐标,y,y纵坐标纵坐标,z,z竖坐标竖坐标.【思考思考】空间中点的坐标空间中点的坐标x,y,zx,y,z的顺序能互换吗的顺序能互换吗?提示提示:不能不能,点的坐标为有序实数组点的坐标为有序实数组,顺序不能互换顺序不能互换.【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”,错的打错的打“”)”)(1)(1)每两条坐标轴确定的平面相互垂直每两条坐标轴确定的平面相互垂直.()(2)x(2)x轴上的点的坐标一定为轴上的点的坐标一定为(0,y,z).(0,y,z).()(3)(3)坐标平面坐标平面xOyxOy上的点的坐标一定是上的点的坐标一定是(x,0,z).(x,0,z).()提示提示:(1).(1).因为坐标轴两两垂直因为坐标轴两两垂直,故由坐标轴确定的故由坐标轴确定的平面两两垂直平面两两垂直.(2)(2).x.x轴上的点的坐标一定为轴上的点的坐标一定为(x,0,0).(x,0,0).(3)(3).坐标平面坐标平面xOyxOy上的点的坐标一定是上的点的坐标一定是(x,y,0).(x,y,0).2.z2.z轴上点的坐标的特点是轴上点的坐标的特点是()A.zA.z坐标为坐标为0 0B.xB.x坐标坐标,y,y坐标都是坐标都是0 0C.xC.x坐标为坐标为0,y0,y坐标不为坐标不为0 0D.x,y,zD.x,y,z坐标不可能都是坐标不可能都是0 0【解析解析】选选B.zB.z轴上点的轴上点的x x坐标坐标,y,y坐标都是坐标都是0.0.3.3.如图所示如图所示,已知长方体中已知长方体中OA=AB=2,AAOA=AB=2,AA1 1=3,=3,则点则点C C1 1的坐的坐标为标为_._.【解析解析】因为长方体中因为长方体中OA=AB=2,AAOA=AB=2,AA1 1=3,=3,所以点所以点C C1 1的坐的坐标为标为(0,2,3).(0,2,3).答案答案:(0,2,3)(0,2,3)类型一确定空间中点的坐标类型一确定空间中点的坐标【典例典例】1.1.如图如图,在棱长为在棱长为2 2的正方体的正方体OABC-DABCOABC-DABC中中,点点M M在在BCBC上上,且且M M为为BCBC的中点的中点,若以若以O O为坐标为坐标原点原点,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,则点则点M M的坐标为的坐标为_._.2.2.在棱长为在棱长为2 2的正方体的正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,老师让同学们自主建立空间直角坐标系老师让同学们自主建立空间直角坐标系写出八个顶点的坐标写出八个顶点的坐标.小明同学建立了小明同学建立了如图所示的空间直角坐标系如图所示的空间直角坐标系,但写坐标时感觉有困难但写坐标时感觉有困难,请你帮小明写出八个顶点的坐标请你帮小明写出八个顶点的坐标.【思维思维引引】1.1.先向先向xOyxOy面作垂线面作垂线,再过垂足分别向再过垂足分别向x x轴轴,y,y轴作垂线轴作垂线,利用垂足、高度分别确定利用垂足、高度分别确定x,y,z.x,y,z.2.2.先根据位置确定先根据位置确定A,B,C,DA,B,C,D的坐标的坐标,再根据高度确定再根据高度确定A A1 1,B,B1 1,C,C1 1,D,D1 1的坐标的坐标.【解析解析】1.1.由图形可知由图形可知,M,M点在正方体的上底面上点在正方体的上底面上,所以所以M M点的纵坐标同点的纵坐标同BB的纵坐标的纵坐标,M,M在面在面BCCBBCCB上上,得到点得到点的竖坐标为的竖坐标为2,2,因为因为CM=MB,CM=MB,所以所以M M点的横坐标是点的横坐标是1,1,所所以以M M点的坐标是点的坐标是(1,2,2),(1,2,2),答案答案:(1,2,2)(1,2,2)2.2.因为底面正方形因为底面正方形ABCDABCD的中心为的中心为O,O,边长为边长为2,2,所以所以OB=.OB=.所以点所以点B(,0,0),C(0,0),D(-,0,0),B(,0,0),C(0,0),D(-,0,0),A(0,-,0),BA(0,-,0),B1 1(,0,2),C(,0,2),C1 1(0,2),D(0,2),D1 1(-,(-,0,2),A0,2),A1 1(0,-,2).(0,-,2).222222222【内化内化悟悟】在已知空间直角坐标系中确定点的坐标时在已知空间直角坐标系中确定点的坐标时,主要关注主要关注哪几方面哪几方面?提示提示:过点向平面过点向平面xOyxOy作垂线作垂线,利用垂足的位置确定利用垂足的位置确定x,yx,y值值,利用垂线段的高度确定利用垂线段的高度确定z z的值的值.【类题类题通通】确定空间中点确定空间中点M M的坐标的方法的坐标的方法(1)(1)作垂直平面作垂直平面:过点过点M M分别作分别作x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴的垂面轴的垂面,依依次交于点次交于点P,Q,R,P,Q,R,根据三个点的坐标确定点根据三个点的坐标确定点M M的坐标的坐标.(2)(2)作垂线作垂线:过点过点M M作作xOyxOy的垂线的垂线,垂足为垂足为P,P,过点过点P P分别作分别作x x轴轴,y,y轴的垂线轴的垂线,垂足分别为垂足分别为Q,N,Q,N,根据点根据点Q,NQ,N的坐标确定的坐标确定x,y,x,y,根据根据PMPM的高度确定的高度确定z.z.【习练习练破破】如图如图,在正方体在正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中中,棱长为棱长为1,|BP|=1,|BP|=|BD|,|BD|,则则P P点的坐标为点的坐标为()131 1 12 2 2A.(,)B.(,)3 3 33 3 31 2 12 2 1C.(,)D.(,)3 3 33 3 3设点设点P(x,y,z),P(x,y,z),且点且点B(1,1,0),B(1,1,1),D(0,0,1);B(1,1,0),B(1,1,1),D(0,0,1);因为点因为点P P在正方体在正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD的对角线的对角线BDBD上上,所以所以x=y,x=y,又又|PB|=|BD|,|PB|=|BD|,所以所以 解得解得:z=,z=,解得解得:x=,:x=,故故 131z31，132x31，232 2 1P(,).3 3 3【解析解析】选选D.D.【加练加练固固】在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,已知点已知点P(1,),P(1,),过过P P作平面作平面yOzyOz的垂线的垂线PQ,PQ,则垂足则垂足Q Q的坐标为的坐标为()A.(0,0)A.(0,0)B.(0,)B.(0,)C.(1,0,)C.(1,0,)D.(1,0)D.(1,0)23，223，32【解析解析】选选B.B.由于垂足由于垂足Q Q在在yOzyOz平面内平面内,可设可设Q(0,y,z),Q(0,y,z),因为直线因为直线PQyOzPQyOz平面平面,所以所以P,QP,Q两点的纵坐标、竖坐标两点的纵坐标、竖坐标都相等都相等,因为因为P P的坐标为的坐标为(1,),(1,),所以所以 可得可得Q(0,).Q(0,).23，y2z3，23，类型二空间两点的中点问题类型二空间两点的中点问题【典例典例】1.1.棱长为棱长为2 2个单位的正方体个单位的正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,以以D D为坐标原点为坐标原点,以以DA,DC,DDDA,DC,DD1 1分别为分别为x,y,zx,y,z坐标轴坐标轴,则则B B1 1C C与与BCBC1 1的交点的交点E E的坐标为的坐标为_._.2.2.已知已知ABCDABCD为平行四边形为平行四边形,且且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),7,-5),则点则点D D的坐标为的坐标为_._.【思维思维引引】1.1.点点E E为线段为线段BCBC1 1的中点的中点,先求出点先求出点B,CB,C1 1的的坐标坐标,再利用中点坐标公式求点再利用中点坐标公式求点E E的坐标的坐标.2.2.平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分,可利用对角线的交点可利用对角线的交点求点求点D D的坐标的坐标.【解析解析】1.1.棱长为棱长为2 2个单位的正方体个单位的正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,B,B1 1C C与与BCBC1 1的交点的交点E E是是BCBC1 1的中点的中点,因为因为B(2,2,0),B(2,2,0),C C1 1(0,2,2),(0,2,2),所以所以E(1,2,1).E(1,2,1).答案答案:(1,2,1)(1,2,1)2.2.因为因为ABCDABCD为平行四边形为平行四边形,且且A(4,1,3),C(3,7,-5),A(4,1,3),C(3,7,-5),所所以线段以线段ACAC的中点坐标为的中点坐标为 设点设点D D的坐标为的坐标为(x,y,z),(x,y,z),则对角线则对角线BDBD的中点坐标也为的中点坐标也为 7(41).2，7(41).2，所以所以 解得解得 所以点所以点D D的坐标为的坐标为(5,13,-3).(5,13,-3).答案答案:(5,13,-3)(5,13,-3)2x7,22y54,2z 112，x5,y 13,z3.【内化内化悟悟】怎样利用公式求中点的坐标怎样利用公式求中点的坐标?提示提示:先求出线段两端点的坐标先求出线段两端点的坐标,再利用中点坐标公式再利用中点坐标公式计算中点坐标计算中点坐标.【类题类题通通】空间两点的中点坐标空间两点的中点坐标点点 中点中点P P的坐标为的坐标为 已知端点坐标可以求中点坐标已知端点坐标可以求中点坐标,也可已知一个也可已知一个端点及中点坐标求另一个端点的坐标端点及中点坐标求另一个端点的坐标.111222A(x,y,z)B(x,y,z)，1212xxyy(,22，12zz),2【习练习练破破】点点A(3,-2,4)A(3,-2,4)关于点关于点(0,1,-3)(0,1,-3)的对称点的坐标是的对称点的坐标是()A.(-3,4,-10)A.(-3,4,-10)B.(-3,2,-4)B.(-3,2,-4)C.C.D.(6,-5,11)D.(6,-5,11)31 1(,)22 2【解析解析】选选A.A.设点设点A A关于点关于点(0,1,-3)(0,1,-3)的对称点为的对称点为A(x,A(x,y,z),y,z),则则(0,1,-3)(0,1,-3)为线段为线段AAAA的中点的中点,即即 解得解得x=-3,y=4,z=-10,x=-3,y=4,z=-10,所以所以A(-3,4,-10).A(-3,4,-10).x3y20122，4z32，【加练加练固固】已知已知A(3,2,-4),B(5,-2,2),A(3,2,-4),B(5,-2,2),则线段则线段ABAB中点的坐标为中点的坐标为_._.【解析解析】设中点坐标为设中点坐标为(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0),),则则x x0 0=4,y=4,y0 0=0,z =0,z0 0=-1,=-1,所以中点坐标为所以中点坐标为(4,0,-1).(4,0,-1).答案答案:(4,0,-1)(4,0,-1)352222422 类型三空间中点的对称问题类型三空间中点的对称问题角度角度1 1关于坐标平面的对称点问题关于坐标平面的对称点问题【典例典例】在空间直角坐标系在空间直角坐标系OxyzOxyz中中,点点M M的坐标是的坐标是(2,(2,4,6),4,6),则其关于则其关于yOzyOz平面的对称点的坐标是平面的对称点的坐标是()A.(-2,4,6)A.(-2,4,6)B.(-2,-4,6)B.(-2,-4,6)C.(2,-4,-6)C.(2,-4,-6)D.(-2,-4,-6)D.(-2,-4,-6)【思维思维引引】点点M M与关于与关于yOzyOz平面的对称点坐标的横坐平面的对称点坐标的横坐标互为相反数标互为相反数,纵坐标、竖坐标相等纵坐标、竖坐标相等.【解析解析】选选A.A.在空间直角坐标系在空间直角坐标系OxyzOxyz中中,点点M M的坐标是的坐标是(2,4,6),(2,4,6),可得点可得点M(2,4,6)M(2,4,6)关于关于yOzyOz平面的对称点的坐标平面的对称点的坐标是是(-2,4,6).(-2,4,6).【素养素养探探】在求关于坐标平面的对称点坐标时在求关于坐标平面的对称点坐标时,常常用到核心素常常用到核心素养中的直观想象养中的直观想象,通过对称点间坐标的关系解题通过对称点间坐标的关系解题.本例中本例中,试求点试求点M M关于关于xOzxOz平面的对称点的坐标平面的对称点的坐标.【解析解析】在空间直角坐标系在空间直角坐标系OxyzOxyz中中,点点M M的坐标是的坐标是(2,(2,4,6),4,6),可得点可得点M(2,4,6)M(2,4,6)关于关于xOzxOz平面的对称点的坐标是平面的对称点的坐标是(2,-4,6).(2,-4,6).角度角度2 2关于坐标轴的对称点问题关于坐标轴的对称点问题【典例典例】(2019(2019台州高一检测台州高一检测)在空间直角坐标系在空间直角坐标系OxyzOxyz中中,点点M(1,2,3)M(1,2,3)关于关于x x轴对称的点轴对称的点N N的坐标是的坐标是()A.(-1,2,3)A.(-1,2,3)B.(1,-2,3)B.(1,-2,3)C.(1,2,-3)C.(1,2,-3)D.(1,-2,-3)D.(1,-2,-3)【思维思维引引】点点M M与关于与关于x x轴的对称点的横坐标不变轴的对称点的横坐标不变,纵纵坐标、竖坐标互为相反数坐标、竖坐标互为相反数.【解析解析】选选D.D.一个点关于一个点关于x x轴对称的点的坐标是只有横轴对称的点的坐标是只有横坐标不变坐标不变,纵坐标和竖坐标改变纵坐标和竖坐标改变,因为点因为点M(1,2,3),M(1,2,3),所以所以点点M(1,2,3)M(1,2,3)关于关于x x轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为(1,-2,-3).(1,-2,-3).【类题类题通通】在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,点点P(x,y,z)P(x,y,z)关于坐标轴和坐标关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点如下平面的对称点的坐标特点如下:关于关于xOyxOy平面对称平面对称关于关于yOzyOz平面对称平面对称关于关于xOzxOz平面对称平面对称关于原关于原点对称点对称(x,y,-z)(x,y,-z)(-x,y,z)(-x,y,z)(x,-y,z)(x,-y,z)(-x,-y,-z)(-x,-y,-z)关于关于x x轴对称轴对称关于关于y y轴对称轴对称关于关于z z轴对称轴对称(x,-y,-z)(x,-y,-z)(-x,y,-z)(-x,y,-z)(-x,-y,z)(-x,-y,z)其中的记忆方法为其中的记忆方法为“关于谁谁不变关于谁谁不变,其余的相反其余的相反”.如如关于横轴关于横轴(x(x轴轴)的对称点的对称点,横坐标不变横坐标不变,纵坐标、竖坐标纵坐标、竖坐标变为原来的相反数变为原来的相反数;关于关于xOyxOy坐标平面的对称点坐标平面的对称点,横坐标、横坐标、纵坐标不变纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数竖坐标变为原来的相反数.【习练习练破破】1.1.在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,点点A(1,-2,3)A(1,-2,3)与点与点B(-1,-2,-3)B(-1,-2,-3)关于关于_对称对称()A.xA.x轴轴B.yB.y轴轴C.zC.z轴轴D.D.原点原点【解析解析】选选B.B.因为在空间直角坐标系中因为在空间直角坐标系中,点点(x,y,z)(x,y,z)关关于于y y轴的对称点的坐标为轴的对称点的坐标为:(-x,y,-z),:(-x,y,-z),所以点所以点A(1,-2,3)A(1,-2,3)与点与点B(-1,-2,-3)B(-1,-2,-3)关于关于y y轴对称轴对称.2.2.点点P(1,1,1)P(1,1,1)关于关于xOyxOy平面的对称点为平面的对称点为P P1 1,则点则点P P1 1关于关于z z轴的对称点轴的对称点P P2 2的坐标是的坐标是()A.(1,1,-1)A.(1,1,-1)B.(-1,-1,-1)B.(-1,-1,-1)C.(-1,-1,1)C.(-1,-1,1)D.(1,-1,1)D.(1,-1,1)【解析解析】选选B.B.因为点因为点P(1,1,1)P(1,1,1)关于关于xOyxOy平面的对称点为平面的对称点为P P1 1,所以所以P P1 1(1,1,-1),(1,1,-1),所以点所以点P P1 1关于关于z z轴的对称点轴的对称点P P2 2的坐的坐标是标是(-1,-1,-1).(-1,-1,-1).【加练加练固固】在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyzO-xyz中中,点点P(-2,4,-3)P(-2,4,-3)关于关于yOzyOz平面的对称点的坐标为平面的对称点的坐标为()A.(2,4,-3)A.(2,4,-3)B.(-2,-4,3)B.(-2,-4,3)C.(2,-4,-3)C.(2,-4,-3)D.(-2,4,3)D.(-2,4,3)【解析解析】选选A.A.设所求对称点为设所求对称点为P(x,y,z),P(x,y,z),因为关于坐因为关于坐标平面标平面yOzyOz对称的两个点对称的两个点,它们的纵坐标、竖坐标相等它们的纵坐标、竖坐标相等,而横坐标互为相反数而横坐标互为相反数,点点P(-2,4,-3),P(-2,4,-3),所以所以x=-2,y=4,x=-2,y=4,z=-3,z=-3,即点即点P P关于坐标平面关于坐标平面yOzyOz的对称点的坐标为的对称点的坐标为P(2,4,-3).P(2,4,-3).
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