向量空间及线性方程组的解结构

.向量空间的基本概念向量空间的基本概念定义定义1.设设V是一个由是一个由n维向量构成的一个非空维向量构成的一个非空集合，若集合，若V对向量的加法运算和数字与向量对向量的加法运算和数字与向量的乘法运算封闭，则称的乘法运算封闭，则称V是一个是一个向量空间向量空间。所谓所谓V对向量的加法运算和向量与数字的乘对向量的加法运算和向量与数字的乘法运算封闭是指：法运算封闭是指：对于对于V中的任何元素中的任何元素,，以及任何一个实数以及任何一个实数，+和和仍然属于仍然属于V。若若U是是V的一个非空子集，且的一个非空子集，且U也是一个向量也是一个向量空间，则称空间，则称U是是V的的子空间子空间。1).所有的所有的n维向量组成的集合维向量组成的集合Rn是一个向量空间是一个向量空间.2).设设 =(a,b,c)是一个非零的三维向量是一个非零的三维向量 L()=(x,y,z)|(x,y,z)=(a,b,c),R(x,y,z)|(x,y,z)=(a,b,c)+(1,2,3),R 3).设设 =(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3)是两个线性无关是两个线性无关的三维向量的三维向量 L()=(x,y,z)|(x,y,z)=+,R(x,y,z)|(x,y,z)=+(1,2,3),R 1.向量空间的例子向量空间的例子4).设设 1,2,m是一组是一组n维向量维向量121L(,)|R,1,2,mmiiiiim 12125).V(,)|0nnx xxxxx 1(1,1,0,0,0),2(1,0,1,0,0),.,1(1,0,0,0,1)n 121VL(,.,)n 设设V是一个向量空间，是一个向量空间，1,2,r V若若满足：满足：1)1,2,r线性无关线性无关2)V中的任何一个向量皆可以被中的任何一个向量皆可以被 1,2,r线性表出线性表出 则称则称 1,2,r是是V的一个基，并称的一个基，并称V是是一个一个r维的向量空间，或称维的向量空间，或称V的维数是的维数是r.若若V=0，则称，则称V的维数是的维数是0 例例1 设设 1231222114(,)212,(,)031224 2 证明：证明：1,2,3是是R3的基，并把的基，并把 1,2用该组基用该组基线性表出线性表出 证明：证明：对矩阵对矩阵(1,2,3,1,2)实施初等行变换实施初等行变换 22114212031224 2 122420368706378 1224203687009961 0 24/3 8/30 1 28/3 7/30 0 112/3 1002/34/30102/3100112/3 从中可以看到从中可以看到 1,2,3线性无关，并且：线性无关，并且：112321232242;3333二二.线性方程组的解结构线性方程组的解结构1.线性方程齐次组线性方程齐次组AX=0的解向量组成的集合的解向量组成的集合V=X=(x1,x2,xn)T|AX=0构成构成Rn的一个的一个子空间子空间 2.线性齐次方程组的基础解系线性齐次方程组的基础解系 设设 1,11,21,2,12,22,1,2,Annmmm naaaaaaaaa 设设A的秩的秩r n，且前，且前r个列向量是它列向量组个列向量是它列向量组的一个极大线性无关组。的一个极大线性无关组。1,11,21,2,12,22,1,2,100010A 001000000000000n rn rrrr n rbbbbbbbbb 即：即：11,111,221,22,112,222,11,22,rrn rnrrn rnrrrrrr n rnxb xb xbxxb xbxbxxb xbxbx 令令xr+1=c1,xr+2=c2,xn=cn-r则则:11,1 11,221,22,1 12,222,1 1,22,n rn rn rn rrrrr n rn rxb cb cbcxb cb cbcxb cb cbc 11,11,21,22,12,22,1,2,1212100010001n rn rrrrr n rn rrrnxbbbxbbbxbbbcccxxx 1122Xn rn rc Jc JcJ 简记为简记为:显然，显然，J1,J2,Jn-r是线性无关的，且方程是线性无关的，且方程组的任何一个解向量皆可以被它线性表出。组的任何一个解向量皆可以被它线性表出。称称X=c1J1+c2J2+cn-rJn-r为该齐次线性方为该齐次线性方程组的通解。程组的通解。称称J1,J2,Jn-r是该线性齐次方程组的基础是该线性齐次方程组的基础解系。解系。该齐次线性方程组的基础解系就是向量空间该齐次线性方程组的基础解系就是向量空间V的基，故的基，故V是一个是一个n-r维的向量空间。维的向量空间。例例2 求齐次线性方程组求齐次线性方程组 1234123412340253207730 xxxxxxxxxxxx 的基础解系。的基础解系。解：解：111125327731 11110754014108 1111015/74/70000102/73/7015/74/70000从而从而 13423423775477xxxxxx 令：令：31427,7xc xc 得该齐次线性方程组的通解：得该齐次线性方程组的通解：1122123142235477xccxccxcxc 1223547007cc 由此可知：由此可知：122354,7007 是该齐次线性方程组的基础解系。是该齐次线性方程组的基础解系。例例3 证明证明 1285139,77147 也是上面齐次线性方程组的基础解系也是上面齐次线性方程组的基础解系 证明：验证向量组证明：验证向量组 1,2与与 1,2相互等价便可相互等价便可 238554139707707147 238512317077071471231238570770714712310714701428140714712310714700000000由由R(1,2)=R(1,2)=R(1,2,1,2),得知得知向量组向量组 1,2和和 1,2等价。等价。即即 1,2也是上面齐次线性方程组的基础解系也是上面齐次线性方程组的基础解系 3.线性非齐次方程组的解结构线性非齐次方程组的解结构 1)若若X=1和和X=2皆是非齐次线性方程组皆是非齐次线性方程组AX=B的解，则的解，则X=1-2必然是齐次线性必然是齐次线性方程组方程组AX=0的解的解 2)若若X=是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组AX=B的解的解;X=是对应的齐次线性方程组是对应的齐次线性方程组AX=0的解，的解，则则X=+仍然是非齐次线性方程组的解仍然是非齐次线性方程组的解 3)非齐次线性方程组的通解等于所对应的齐非齐次线性方程组的通解等于所对应的齐次线性方程组的通解加上非齐次线性方程次线性方程组的通解加上非齐次线性方程组的一个特解组的一个特解 证明：证明：设设 1,2,n-r是所对应的齐次线性方程是所对应的齐次线性方程组组AX=0的基础解系，的基础解系，是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组AX=B的一个特解的一个特解 一方面，由一方面，由2）得知：对于任何一组数）得知：对于任何一组数c1,c2,cn-r,X=c1 1+c2 2+cn-r n-r+是非是非齐次线性方程组齐次线性方程组AX=B的解的解 另一方面，若另一方面，若X=是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组AX=B的一个解，则由的一个解，则由1）得知）得知X=-是所对是所对应的齐次线性方程组应的齐次线性方程组AX=0的一个解的一个解 从而存在一组数从而存在一组数c1,c2,cn-r使得使得 -=c1 1+c2 2+cn-r n-r即：即：=c1 1+c2 2+cn-r n-r+综上所述，非齐次线性方程组综上所述，非齐次线性方程组AX=B的通的通解为解为:X=c1 1+c2 2+cn-r n-r+例例4.求方程组求方程组 12341234123403122461xxxxxxxxxxxx 的一个的一个特解以及对应的齐次线性方程组的基础解系特解以及对应的齐次线性方程组的基础解系 解：解：111 1011 13 122461 111100024100241 11011/200121/2000001243412122xxxxx ,即即令令:x2=c1,x4=c2,则则 1122132420.520.5xccxcxcxc 121234110.5100020.5010 xxccxx 非齐次方程的通解为非齐次方程的通解为:对应齐次方程的基础解系为对应齐次方程的基础解系为:1110,0201 ,非齐次非齐次方程的一个特解为方程的一个特解为:0.500.50