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三重积分的概念三重积分的概念 一、三重积分的定义一、三重积分的定义二、三重积分的性质二、三重积分的性质记作记作上的三重积分上的三重积分在闭区域在闭区域则称极限值为则称极限值为时和式的极限存在时和式的极限存在如果如果域直径中的最大值为域直径中的最大值为记各小闭区记各小闭区并作和并作和作出乘积作出乘积对于对于的体积的体积表示表示为为划分划分定义设定义设,),(,0,),(,),(,),(,),(),(11 zyxfvfvfvBzyxfniiiiiiiiiiiiiiin .),(limd),(10 niiiiivfvzyxf 一、三重积分的定义.),(limd),(10 niiiiivfvzyxf .ddd),(,dddd,dzyxzyxfzyxvvvi 从而三重积分记为从而三重积分记为中的体积元素中的体积元素三重积分三重积分在直角坐标系下在直角坐标系下表示表示体积元素体积元素.,),(上的三重积分必定存在上的三重积分必定存在那么它在那么它在上连续上连续在闭区域在闭区域如果函数如果函数 zyxf三重积分三重积分(triple integral)的物理意义的物理意义即即质量质量时的极限就是该物体的时的极限就是该物体的当当这个和这个和的近似值的近似值是该物体质量是该物体质量则则上连续上连续在在闭区域闭区域是该物体所占有的空间是该物体所占有的空间处的体密度处的体密度表示某物体在点表示某物体在点如果如果,0,),(,),(,),(),(1MMvfzyxfzyxzyxfniiiii .d),(vzyxfM 性质性质当当 为常数时，为常数时，k.d),(d),(vzyxfkvzyxkf性质性质 vzyxgzyxfd),(),(.d),(d),(vzyxgvzyxf（三重积分与二重积分有类似的性质）（三重积分与二重积分有类似的性质）二、三重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.d),(d),(d),(21 vzyxfvzyxfvzyxf性质性质.d1 vV则则性质性质),(),(,zyxgzyxf 上上如如果果在在.d),(d),(vzyxgvzyxf特殊地特殊地.d),(d),(vzyxfvzyxf)(21 则有则有 ,的体积的体积是是如果如果 V性质性质性质性质（三重积分中值定理）（三重积分中值定理）.d),(MVvzyxfmV .),(d),(Vfvzyxf （三重积分估值不等式）（三重积分估值不等式）使得使得上至少存在一点上至少存在一点则在则在的体积的体积为为上连续上连续在在如果函数如果函数),(,),(Vzyxf上上则在则在的体积的体积为为和最小值和最小值上的最大值上的最大值在在是函数是函数、设设 ,),(VzyxfMm
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