数学物理方法：第十章 球函数

第十章第十章 球函数球函数10.2 10.2 连带勒让德方程连带勒让德方程10.1 10.1 轴对称球函数轴对称球函数10.3 10.3 一般的球函数一般的球函数YllYY)1(sin1)(sinsin1222称为球函称为球函数方程数方程)()sincos(),(mBmAY01)1()1(222xmlldxdxdxd式中式中cosx连带勒让德连带勒让德方程方程勒让德方程勒让德方程m=0m=00)1()1(2lldxdxdxd0u球坐标系中球坐标系中0)1(2222RlldrdRrdrRdr10.1 10.1 轴对称球函数轴对称球函数勒让德勒让德方程方程m=0,m=0,=常数常数,轴对称轴对称0)1()1(2lldxdxdxd(一）、勒让德多项式一）、勒让德多项式kkakklklka)1)(2()1)(2勒让德方程的级数解勒让德方程的级数解0212)1(alla1323)2)(1(alla0)(kkkxaxy勒让德方程勒让德方程0)1()1(2ylldxdyxdxdkkakklklka)1)(2()1)(2勒让德方程的级数解勒让德方程的级数解0)(kkkxaxy2)1)()1)(2(kkalklkkka在在 x=1 处处勒让德方程有自然边界条件，勒让德方程的勒让德方程有自然边界条件，勒让德方程的级数解若能退化为多项式，则发散问题解决，满足条件级数解若能退化为多项式，则发散问题解决，满足条件为轴对称球函数为轴对称球函数lkkklxaxP0)(ka)()(),(Y)(xPl为勒让德多项式为勒让德多项式l 为最高项为最高项,设设2)!(2)!2(llallllallla)12)(2()1(22)!(2)!2()12)(2()1(llllll)!2()!1(2)!22()1(llll2)1)()1)(2(kalklkkk)(2)1)()1)(2(kkalklkkkal 为最高项为最高项,设设2)!(2)!2(llall)!2()!1(2)!22()1(2lllall24)32)(4()3)(2(llallla)!4()!2(2!2)!42()1(2llll46)52)(6()5)(4(llallla)!6()!3(2!3)!62()1(3llll)!2()!(2!)!22()1(2nlnlnnlalnnl（l 为偶数）为偶数）)!2()!(2!)!22()1(2nlnlnnlalnnllklkklklkklklkklklkkllxaxalxaxaxP102/)1(22002/22,:,:)(奇数偶数2/02)!2()!(2!)!22()1(lkkllkxklklkkl2,2,1,0ln2l2/l2/)1(l（l 为奇数）为奇数）l/2表示不超过表示不超过 l/2的最大整数的最大整数2/02)!2()!(2!)!22()1()(lkkllklxklklkklxP2l2/l2/)1(l1)(0 xPxxP)(1)13(21)(22xxP)35(21)(33xxxPcos)12cos3(41)cos33cos5(812/02)!2()!(2!)!22()1()(lkkllklxklklkklxP0)0(12nP!)!2(!)!12()1(!2!2)!2()1()0(2nnnnnPnnnnn)(1)1(可用微分式证明lPnl2)(xPl)(xPl12 nl)(xPl)(xPlllP)1()1(二）、勒让德多项式的微分式二）、勒让德多项式的微分式证明：证明：lllllxdxdlxP)1(!21)(2knkknnbaknknba0)!(!)(lkklklxklklx0222)!(!)1()1(lkklklllllllxklkldxdlxdxdl0222)!(!)1(!21)1(!211)1(lPlkklklllllllxklkdxdxdxdl0222)!(!)1(21)1(!212/02)!(2!)12()122)(22()1(lkkllkxklkklklkl)()!2()!(2!)!22()1(2/02xPxklklkklllkkllk2/22lklkl(三）、勒让德多项式的积分式三）、勒让德多项式的积分式证明：证明：ClllldzxzzixP12)()1(2121)(lzzf)1()(2Cllllldzilzdzd122)()1(2!)1(令令由柯西由柯西定理定理即有即有Cllllldxilxdxd122)()1(2!)1(ClllldzxzzixP12)()1(2121)(而而Cllllldxilxdxd122)()1(2!)1(lllllxdxdlxP)1(!21)(2ClllldzxzzixP12)()1(2121)(ClllldzxzzixP12)()1(2121)()1)1(cos|1|1)(02lllPdxixxP1|1，)0,(2x|xxC:为半径为圆心de|xidzexzii1 ,|1|22 1cos cossincos10|xdil1)1()1(Re21 )1()1(2121)1()1(2121)1(112zllCllCllllzzsdzzzidzzziPdxixxPll02cos|1|1)(1cossincos1)(0dixPll(四）、勒让德多项式的正交性四）、勒让德多项式的正交性即有即有)(0)()(11lkdPPlk)(0sin)(cos)(cos11lkdPPlk(五）、勒让德多项式的模五）、勒让德多项式的模以下用微分表示式求解以下用微分表示式求解dxxPNll2112)(dxxPNll2112)(dxdxxddxxdllllllll11222)1()1()!2(11112122)1()1()!2(1llllllldxxdddxxdl11121222)1()1()!2(1lllllllldxxdddxxdlN11121221112122)1()1()!2(1)1()1()!2(1dxdxxddxxddxdldxxddxxdlllllllllllllll11121222)1()1()!2(1dxdxxddxxddxdlNllllllll0)1(12xx0)1(11121llldxxd上式以上式以x=1为一级零点为一级零点111212212)1()1()!2()1(dxdxxddxxddxdlNllllllll1122222)1()1()!2()1(dxdxxdxlllllll)!2()1(222ldxxdlll11222)1()!2()!2()1(dxxllNllll因为因为11222)1()!2()!2()1(dxxllNllll分部分部积分积分112)1()1()!2()!2()1(dxxxllllll11112)1()1(1)1()!2()!2()1(dxxxllllllll11202)1()1(21211)1()!2()!2()1(dxxxlllllllllll122l1222lNl122lNl),2,1,0(l(六）、广义六）、广义FourierFourier级数级数系数系数0)()(lllxPfxfdxxfxPNflll112)()(1dxxfxPll11)()(212系数系数0)()(lllxPfxfdxxfxPlfll11)()(212系数系数0)(cos)(lllPfxfdfPlfll0sin)(cos)(cos212积分带全重积分带全重sinsin 例：求积分例：求积分解：解：dxxPl11)(0dxxPl11)(dxxPxPl110)()(20l0l122)(2112ldxxPNll例：以勒让德多项式为基，在例：以勒让德多项式为基，在-1-1，11上把上把f(x)=2x3+3x2+4 展开为广义傅里叶级数展开为广义傅里叶级数)()()()(4323322110023xPfxPfxPfxPfxx系数系数解：解：1)(0 xPxxP)(1)13(21)(22xxP)35(21)(33xxxP因为因为)35(21)13(2143233221023xxfxfxffxx02120ff40f例：以勒让德多项式为基，在例：以勒让德多项式为基，在-1-1，11上把上把f(x)=x 展开为广义傅里叶级数展开为广义傅里叶级数系数系数解：解：dxxfxPlfll11)()(2120)()(lllxPfxfdxxxPldxxPxlflll1001)(212)()(212dxxxPldxxPxlll1010)(212)(212dxxPxPxlll)()(21210nl2)(xPl)(xPl12 nl)(xPl)(xPldxxPxPxlflll)()(21210dxxPxlfnn)(22122102dxxPxnn)()14(210012nflllllxdxdlxP)1(!21)(2dxxdxdnxnnnnn2222210)1()!2(21)14(dxxPxf)(0100dxx102/1dxxdxdnxnfnnnnn22222102)1()!2(21)14()1()1()!2(2)14(10221212102212122dxxdxdxdxdxnnnnnnnnn0)1(12xx0)1(10122212nnndxxdx因为因为1022121222)1()!2(2)14(dxxdxdnnfnnnnn102222222)1()!2(2)14(nnnnxdxdnn上式以上式以x=1为一级零点为一级零点上式以上式以x=1为二级零点为二级零点1022222222)1()!2(2)14(nnnnnxdxdnnf022222222)1()!2(2)14(xnnnnnxdxdnnfkknnknxkknnx)1()(!)!2()!2()1(222022而而02220222222)1()(!)!2()!2()!2(2)14(xkknnknnnnxkknndxdnnfknn24221nk02220222222)1()(!)!2(12)14(xkknnknnnnxkkndxdnfknn24221nk)1()!1()!1(12)14(122222222nnnnnnxnndxdnf)!1()!1(2)!22)(14()1(21nnnnnn210fnnnnnnnf2122)!1()!1()!22)(14()1(210f)(2)!1()!1()!22)(14()1()(2121210 xPnnnnxPxnnnn(七）、勒让德多项式的母函数七）、勒让德多项式的母函数设设N点放一电量为点放一电量为 q=40 的电的电荷，荷，单位球单位球内任意点内任意点M处的电势为处的电势为),(),(rvrvdroMqNzdq04d12cos211rr1,2112xrrxcosx令令1r单位球单位球droMqNz1,211),(2xrrxrv而而球坐标球坐标系中系中0v其中其中),()(),(YrRrv)()(rR0)1(2222RlldrdRrdrRdr)1()(llBrArrR2222222sin1)(sinsin1)(1vrvrrvrrrv1,211),(2xrrxrv球坐标系中球坐标系中其中其中)()(),(rRrv)1()(llBrArrR0)1()1(2lldxdxdxd满足勒让满足勒让德方程德方程而而)(coslP)(cos211),(0)1(2llllllPrBrArrxrv球内电势有限球内电势有限取取 x=1,)(cos2110)1(2llllllPrBrArrx0lB)(cos21102llllPrArrx1)1(lP因为011lllrAr于是于是)2,1,0(1lAl同理球外电势有限同理球外电势有限1r)(cos21102llllPrArrx)2,1,0(1lAl)(coscos21102lllPrrr)(cos1cos211012lllPrrr1r2cos21/1rr称为勒让德多项式的母函数称为勒让德多项式的母函数对于半径为对于半径为R R的球（伸缩变换的球（伸缩变换）1r)(coscos21102lllPrrr)(cos1cos211012lllPrrr1rRr)(coscos210122llllPRrrrRR)(coscos210122llllPrRrrRRRr(八）、勒让德多项式的递推关系八）、勒让德多项式的递推关系有递推关系有递推关系0)1()1(2lldxdxdxd勒让德方程勒让德方程1 0)()()12()()1(11lxlPxxPlxPllll证明：证明：)(21102lllxPrrrx两边对两边对 r 求导求导)()21)(012/32lllxPlrrrxrx有递推关系有递推关系0)()()12()()1(11xlPxxPlxPllll两边乘以两边乘以两边对两边对 r 求导求导)()21)(012/32lllxPlrrrxrx221rrx)()21()21)(0122/12lllxPlrrrxrrxrx)()21()()(0120llllllxPlrrrxxPrrx比较比较 r l 同幂次同幂次)()1()(2)()1()()(111xPlxlxPxPlxPxxPlllll有递推关系有递推关系例：求积分例：求积分解：解：dxxPxxPkl11)()(递推关系递推关系0)()()12()()1(11xlPxxPlxPllll)()1()(121)(11xPlxlPlxxPllldxxPxxPkl11)()(dxxPxPlxlPlkll1111)()()1()(121dxxPxxPkl11)()(dxxPxPlxlPlkll1111)()()1()(121dxxPxPlldxxPxPllklkl111111)()(121)()(121221)1(21kkk)12)(32()1(2kkk)1(kl1221)1(211kkk)12)(12(2kkk)1(kl)1,1(kkl0例：匀强电场例：匀强电场 E0 0 中，放一接地导体球，球半径中，放一接地导体球，球半径为为a,求球外电场。求球外电场。选择球坐标讨论选择球坐标讨论解：解：0u0aru电势电势u满足满足Laplace方程方程定解问题：定解问题：边界条件：边界条件：（接地）（接地）无限远处为匀强电场无限远处为匀强电场rErzu0EzzEur00u0aru定解问题：定解问题：边界条件：边界条件：轴对称轴对称故故zEur0)()(rRu解为解为)(cos),(0)1(llllllPrBrAru由边界条由边界条件（件（1）得）得12 lllaAB)(cos),(0)1(12llllllPrarAru0u0aru定解问题：定解问题：边界条件：边界条件：展开求系数展开求系数zEur0由边界条由边界条件（件（2）得）得)(cos),(0)1(12llllllPrarAruzEPrAllll00)(coscos0rE展开展开求系求系数数cos)(cos00rEPrAllllcos)(cos)(cos)(cos102221100rAAPrArPAPA01EA)1(,0lAl)(cos),(0)1(12llllllPrarArvcoscos0230ErarEcos0rE例：匀强电场例：匀强电场 E0 0 中，放一均匀介质球，球半径为中，放一均匀介质球，球半径为a,相对相对介电常数为介电常数为，求球外电场。求球外电场。选择极坐标讨论选择极坐标讨论解：解：)(0aru内1）、球内电势）、球内电势u满足满足Laplace方程方程定解问题：定解问题：z)(cos),(0)1(llllllPrBrAru内)(cos0llllPrA)(0aru外2）、球外电势）、球外电势u满足满足Laplace方程方程定解问题：定解问题：无限远处为匀强电场无限远处为匀强电场rErzu0Ez设在导体未放入前，设在导体未放入前，r=0 处处 u=u000uzEur)(cos),(0)1(llllllPrDrCru外000)(cosuzEPrCllll解为解为3）、衔接）、衔接条件条件000)(cosuzEPrCllll00cosurE00uC 01EC)1,0(,0lCl)(cos),(0)1(llllllPrDrCru外)(coscos0)1(00llllPrDurEararuu外内ararDD外内比较系数比较系数)(coscos)(cos0)1(000llllllllPaDaEuPaA3）、衔接条件）、衔接条件araruu外内ararDD外内ararrruru外内00)(cos)1(cos)(cos0)2(001llllllllrPaDlEPalA比较系数比较系数)(coscos)(cos0)1(000llllllllPaDaEuPaA)(cos)1(cos)(cos0)2(001llllllllrPaDlEPalA1000aDuA2101aDaEaA31012aDEAr200aD)1(llllaDaA)2(1)1(llllraDlalA)0(l1000aDuA2101aDaEaA31012aDEAr200aD)1(llllaDaA)2(1)1(llllraDlalA)0(l00D00uA 0123EAr03121EaDrr0lD0lA00D00uA 0123EAr03121EaDrr0lD0lAcos2300rEuur内cos121cos20300rEarEuurr外)(cos0llllPrAu内)(coscos0)1(00llllPrDurEu外例：在点电荷例：在点电荷 40 q 的电场中放置于、的电场中放置于、接地导体球，球半径为接地导体球，球半径为a，球，球内球心与内球心与点电荷相距为点电荷相距为r1(r1a)。求静电场求静电场),(cos2),(2121rvrrrrqruv由感应电荷引起由感应电荷引起2rroq04a1r解：解：)(1ru0 ,rarucu0v2121cos2aarrqcvar0rv2rroq04a1r导体球外导体球外)(cos),(0)1(llllllPrDrCrv0rv)(cos),(0)1(llllPrDrv由边界条件得由边界条件得21210)1(cos2)(cosaarrqcPaDllll)(coscos210122llllPrRrrRRRr 21210)1(cos2)(cosaarrqcPaDllll用母函数关系用母函数关系)(cos)(cos0110)1(llllllllPraqcPaD;0,1112lraqDlll10raqacD),(cos2),(2121rvrrrrqru)(cos),(0)1(llllPrDrv1112lllraqD)(coscos2),(0)1(11122121lllllPrraqrrrrqracru)(cos)()(cos0)1(1210)1(1112lllllllllPrraraqPrraq10raqacD)(coscos2),(0)1(11122121lllllPrraqrrrrqracru)(cos)()(cos0)1(1210)1(1112lllllllllPrraraqPrraq)(coscos210122llllPrRrrRR用母函用母函数关系数关系2122120)1(12cos)(2)(1)(cos)(rrarraPrrallll)(coscos2),(0)1(11122121lllllPrraqrrrrqru21221210)1(121cos)(2)(/)(cos)(rrarrarqaPrraraqllll21221212121cos)(2)(/cos2),(rrarrarqarrrrqracru21221212121cos)(2)(/cos2),(rrarrarqarrrrqracru0 if cos)(2)(/),(2122121crrarrarqarv这相当于电量为这相当于电量为-40 qa/r1 的电荷的电荷放置在球心与本来那个点电荷的联放置在球心与本来那个点电荷的联线上，到球心的距离为线上，到球心的距离为r0=a2/r1(a)。这个假想的电荷叫原电荷的电像这个假想的电荷叫原电荷的电像2rroq04a1r10.2 10.2 连带勒让德方程连带勒让德方程01)1()1(222xmlldxdxdxd令令cosx连带勒让德连带勒让德方程方程（一）、连带勒让德函数（一）、连带勒让德函数（1 1）连带勒让德函数的表示式）连带勒让德函数的表示式令令)()1(2/2xyxm代入代入xyxmyxdxdmm1222/2)1()1(01)1()1(222xmlldxdxdxdcosx)()1(2/2xyxm代入代入xyxmyxdxdmm1222/2)1()1(yxxmmyxmxyxmyxdxdmmmm22221221222/222)1)(2()1()1(2)1(0)1()1()1(2)1(2ymmllxymyx为勒让德方程逐项微分为勒让德方程逐项微分m次的结果次的结果因为勒让德方程因为勒让德方程0)1()1()1(2)1(2ymmllxymyx为勒让德方程逐项微分为勒让德方程逐项微分m次的结果次的结果0)()1(2)()1(2xPllxPxPxlll微分一次微分一次0)(111)1()11(2)()1(2xP)(llPxxPxlll再微分一次再微分一次0)()12(2)1()12(2)()1(2xPllPxxPxlll微分微分m次次正是勒让德方程逐项微分正是勒让德方程逐项微分m次的结果次的结果0)()12(2)1()12(2)()1(2xPllPxxPxlll微分微分m次次0)()1()1()()1(2)()1(2xPmmllxPxmxPxmlmlml0)1()1()1(2)1(2ymmllxymyx是方程是方程)(xPml的特解的特解)()(xPxyml)()1(2/2xyxm)()1(2/2xyxm0)1()1()1(2)1(2ymmllxymyx的特解的特解)()(xPxyml)()1(2/2xPxmlm称为连带勒称为连带勒让德函数让德函数连带勒让德函数的本征值为连带勒让德函数的本征值为),2,1,0()1(lll)(xPml所以所以 l m.,2,1,0lm)()1(2/2xyxm)()1(2/2xPxmlm称为连带勒称为连带勒让德函数让德函数.),2,1,0,2,1,0(lml)(xPl令令为连带勒让德函数为连带勒让德函数)()(00 xPxPll)()1()(12/1211xPxxP2/12)1(xsin)()1()(22/1212xPxxP2sin23)3()1(2/12xx)()1()(2222xPxxP)1(32x)2cos1(23)()1()(2/2xPxxPmlmml(2(2）、连带勒让德多项式的微分式）、连带勒让德多项式的微分式而而)()1()(2/2xPxxPmlmmllmlmllmmlxdxdlxxP)1(!21)1()(22/2mllmlmllmlmmlmldxxddxxdxxPxP/)1(/)1()1()()(222lmlmllmxdxdlx)1(!21)1(22/2)!()!()1(mlmlm称为罗称为罗得里格得里格斯公式斯公式)()!()!()1()(xPmlmlxPmlmmlPlm 与与 Pl-m相关相关(3(3）、连带勒让德多项式的积分式）、连带勒让德多项式的积分式Cmlllmdzxzzilmlx1222/2)()1(21!2)!()1()()1()(2/2xPxxPmlmml/)()1(2121)1(1222/2mClllmmdxdzxzzidx(二）、连带勒让德多项式的正交性二）、连带勒让德多项式的正交性即有即有)(0)()(11lkdPPmkml)(0sin)(cos)(cos0lkdPPmlmk(三）、连带勒让德多项式的模三）、连带勒让德多项式的模以下用微分表示式求解以下用微分表示式求解dxxPNmlml2112)()(dxxPNmlml2112)()()()!()!()1()(xPmlmlxPmlmml利用利用dxxPxPmlmlNmlmlmml)()()!()!()1()(11211222)1()1()!2(1)!()!()1(dxdxxddxxdlmlmlmllmlmllmllmdxxPxPmlmlNmlmlmml)()()!()!()1()(112分部积分分部积分122)!()!()(2lmlmlNml122)!()!(lmlmlNml模模11222)1()1()!2(1)!()!(dxdxxddxxdlmlmllllllll(四）、广义四）、广义FourierFourier级数级数系数系数0)()(lmllxPfxfdxxfxPNfmlmll112)()()(1dxxfxPmlmllml11)()()!()!(212系数系数0)(cos)(lmllPfxfdfPmlmllfmll0sin)()(cos)!()!(212积分带全积分带全重重sinsin 例：以例：以 （l=0,1,2,3)为基，在为基，在x的区间的区间-1，1上上将函数将函数f(x)=sin2theta=1-x2 展开为展开为广义广义FourierFourier级数级数解：解：)(2xPl事实上事实上2m2 ml0)()(lmllxPfxfdxxfxPNflll11222)()()(122)(lllxPf222sin3)(xP)(31)(22xPxf例：球半径为例：球半径为a的球形区域内没有电荷，球面上的电势为的球形区域内没有电荷，球面上的电势为u0 0sinsin2 2 coscos sinsin，u0 0为常数为常数，求求球形区域内的电势球形区域内的电势。解：解：0usincossinu20aru定解问题：定解问题：一般解为一般解为有限0rur=0 处处 u=有限有限)(ar 00)(cossincos),(llmmlmlmllPmBmArru00)1()(cossincosllmmlmlmllPmDmCr0usincossinu20aru定解问题：定解问题：球内解为球内解为利用边利用边界条件界条件)(ar 00)(cossincos),(llmmlmlmllPmBmArrusincossinu)(cossincos2000llmmlmlmllPmBmAa)(cos2sinu61220P)(cos2sinu61)(cossincos22000PPmBmAallmmlmlmll比较比较两边两边系数系数0222u61Ba0222u61aB)2,2(0mlBml0mlA)(cos2sinu61),(22202Praru（一）、球函数（一）、球函数（1 1）、球函数的表示式）、球函数的表示式10.3 10.3 一般球函数一般球函数YllYY)1(sin1)(sinsin1222)sincos)(),(mBmAY)cossin)(cosmmPml记号记号 例举的函数是线性独立的，可任取其一，例举的函数是线性独立的，可任取其一，l为阶为阶),(mlY.),2,1,0,2,1,0(lml（2 2）、复数形式的球函数表示式）、复数形式的球函数表示式)sincos)(cos),(mBmAPYmlml),2,1,0,2,1,0(llm也可表示为复数形式的球函数表示式也可表示为复数形式的球函数表示式)(cos),(imimmlmleBeAPY),2,1,0,2,1,0,1,(llllmimimeBeAmBmAsincosimmleP)(cosY(,)有有 2l+1 个个独立的独立的球函数球函数m 0有有 l个个mPmlcos)(cosm 0有有 l个个mPmlsin)(cosm=0有有 1个个)(cos)(cos0llPP对于对于 m0 的复幂项的复幂项immlimmlePeP)(cos)(cos表示表示复数形复数形式式的的球函数球函数)()!()!()1()(xPmlmlxPmlmml由于由于Plm 与与 Pl-m线性线性相关相关相关与)(cos)(cosmlmlPPimmlmlePY)(cos),(故用故用mmPYmlmlcossin)(cos),(二）、球函数的正交性二）、球函数的正交性因为因为)(0sin),(),(lkddYYSnlmk0cossin)cossin)()(2011dnnmmdxxPxPnlmk)(nmlk或)(nmlk或复数形式复数形式0)()(2011deedxxPxPinimnkml(三）、球函数的模三）、球函数的模ddYNSmlmlsin),()(22利用利用2022211cossin)(dmmdxxPml)0(sin202mdm)0(cos202mdm)0(2cos202mdm（1 1）、三角函数形式的模）、三角函数形式的模令令)0(sin202mdm)0(cos202mdm)0(2cos202mdm)0(1mm)0(2mmdm202cos)0(sin202mdm20222112)cossin)()(dmmdxxPNmlml考虑到考虑到122)!()!()(211lmlmldxxPml模模mdmm2022cossin122)!()!()(2lmlmlNmml122)!()!(lmlmlNmml（2 2）、复数形式的模）、复数形式的模ddYNSmlmlsin|),(|)(2220*211)(deedxxPimimmldxxPml211)(2124)!()!()(2lmlmlNml124)!()!(lmlmlNml(四）、广义四）、广义FourierFourier级数级数系数系数00)sincos)(cos),(llmmlmlmlmBmAPfddmPfmlmllmlmcossin)(cos),()!()!(212020 ddmPfmlmllBmlmlsinsin)(cos),()!()!(212020 dxdmxPxfmlmllAmlmmlcos)(),()!()!(2122011 广义广义FourierFourier级数（复数形式）级数（复数形式）系数系数0)(cos),(lllmimmlmlePCfddePfmlmllCimmlml 020sin)(cos),()!()!(412(五）、正交归一化球函数五）、正交归一化球函数immlmlePY)(cos),(令令),(1mlmllmYNYimmlePmlmll)(cos)!()!(412124)!()!(lmlmlNmlddYYnkml 0*20sin),(),(ddeePPNNinimnkmlnkml 020sin)(cos)(cos1mnlk正交归一正交归一系数系数0)(cos),(lllmimmlmlePCfddYfClmlm 0*20sin),(),(),(0lllmlmlmYC),(1mlmllmYNYimmlePmlmll)(cos)!()!(412独立的独立的 Ylm 有有 2l+1 个个球函数球函数immllmePmlmllY)(cos)!()!(412如如410,0Ycos430,1YieYsin831,1)1cos3(16320,2YieYcossin8151,2ieY222,2sin3215解：解：例：将函数例：将函数 按按球函数展开球函数展开cossin)cos31(),(fcossin)cos31(),(fcos)cossin3(sin 2)cossin3(siniieeieYsin831,1)cossin815cossin815(15823)sin83sin83(3821),(iiiieeeefieYcossin8151,2)(15823)(3821),(1,21,21,11,1YYYYf解：解：例：设有一均匀球体，在球面上温度为例：设有一均匀球体，在球面上温度为（1+3cos)sin cos ,试在稳定状态下求球内温度分布试在稳定状态下求球内温度分布0ucossin)cos31(aru定解问题：定解问题：有限0ru)(ar 法一：法一：00)(cossincos),(llmmlmlmllPmBmArru利用边利用边界条件界条件cossin)cos31()(cossincos00llmmlmlmllPmBmAa00)(cossincos),(llmmlmlmllPmBmArrucos2sin23cossin比较系比较系数数2sin23sin)(cos011llllPAa)1(0mAml0mlB2sin23sin)(cos011llllPAasin)(11xP由由2sin23)(12xP111aA1122AaaA1112121aA)(coscos)()(coscos),(12211ParParru2sincos)(23sincos2arar00)(cossincos),(llmmlmlmllPmBmArru法二：法二：),(),(0,lllmmllmlYrCru利用边利用边界条件界条件cossin)cos31(),(0,lllmmllmlYaC因为因为)(15823)(3821cossin)cos31(1,21,21,11,1YYYY)(15823)(3821),(1,21,21,11,100,YYYYYaCllmmllml)(15823)(3821),(1,21,21,11,10,YYYYYaClllmmllml)1;2,1(056,32,21,221,21,11,1mlaCaCaCaCaClml)1;2,1(0561,321,21,21,21,11,1mlCaCCaCCml)1;2,1(0561,321,21,21,21,11,1mlCaCCaCCml),(),(0,lllmmllmlYrCru)()(56)(32),(1,21,221,11,1YYarYYarru)(2sin3215)(56)(sin83322iiiieeareear2sincos)(23sincos2arar