原子物理学：第3章 第5节 量子力学问题的一个简例

3.5 一维问题的薛定谔方程解一维问题的薛定谔方程解一维无限深势阱一维无限深势阱 考虑一个理想情况考虑一个理想情况粒子在无限深势阱中的运动。用这粒子在无限深势阱中的运动。用这个简单例子可以说明能量量子化是怎么自然地出现在量子体个简单例子可以说明能量量子化是怎么自然地出现在量子体系中的。将势阱表示为系中的。将势阱表示为:dxxdxxV ,)(000在在势阱内势阱内(0 x0，令，令222kEm方程化为：方程化为：0222kdxd)r(E)r()r(Vm222 0222kdxd它它类似于谐振子方程，其一般解是：类似于谐振子方程，其一般解是：)sin()(kxAx在势阱外在势阱外(x(x0,xd)0,xd)由于势壁无限高，从物理上考虑，粒子由于势壁无限高，从物理上考虑，粒子是不会出现在该区域内的，阱壁上和阱外的波函数应为零。是不会出现在该区域内的，阱壁上和阱外的波函数应为零。式式中中A、k和和 为待定常数为待定常数基于波函数的连续性要求基于波函数的连续性要求，应有，应有:(x=0)=0和和(x=d)=0n取零（取零（n0)0)，给出给出0，无物理意义，无物理意义，n取负值，也给不出取负值，也给不出新的波函数。从而能量本征值新的波函数。从而能量本征值(能级能级)为为 00)0(x),2,1(0)(nnkddx321822222222,nnmdhnmdEnmkE222 上式说明，只有当能量取上式给出的分立能值时，相应的上式说明，只有当能量取上式给出的分立能值时，相应的波函数才是可接受的合理解。波函数才是可接受的合理解。这就自然地给出了能量量子化这就自然地给出了能量量子化，En称为能量本征值称为能量本征值,En对对应的态称为本征态，对应的波函数应的态称为本征态，对应的波函数n称为能量本征称为能量本征波函数。波函数。321822222222,nnmdhnmdEn由归一化条件由归一化条件 12)/(sin220220dAdxdxnAdxddndxxdxdxndxn,000)sin(2)(归一化条件波函数为归一化条件波函数为(1)(1)能量的特征能量的特征由这个简单的例子可了解到量子体系的一些特征：由这个简单的例子可了解到量子体系的一些特征：体系的能量是体系的能量是量子化的能级量子化的能级，它由整数，它由整数n表征，表征，n又称能量量又称能量量子数。能级的分布子数。能级的分布E EnE En.E1=2/8md2称基态能称基态能(n)。这表明量子体系的最低能量不为零，所以又称这表明量子体系的最低能量不为零，所以又称零点能零点能。这与。这与经典粒子截然不同。经典粒子截然不同。能级之间的间隔能级之间的间隔(在这些间隔内的能量是禁戒的在这些间隔内的能量是禁戒的)是不均匀的是不均匀的,En=(2n+1)E1。对于高能态。对于高能态En2nE1，能量间隔的相对值为，能量间隔的相对值为E En n/E En n2/2/n。如果。如果d、m很大，很大，E E1很小，而且能级间距也很小，很小，而且能级间距也很小，能级十分密集。能级十分密集。321822222222,nnmdhnmdEnn=1的态，称基态，除的态，称基态，除x=0,d 外，基态无节点；外，基态无节点；n2的态称激发态；的态称激发态；第一激发态第一激发态2(n=2)=2)有一个节点，有一个节点，n态有态有n-1-1个节点。个节点。节点的出现意味着本征态对节点的出现意味着本征态对应的德布罗意波呈驻波形式，应的德布罗意波呈驻波形式，节点多意味波长短，频率高，节点多意味波长短，频率高，能量大。驻波、节点是量子能量大。驻波、节点是量子化的表现。化的表现。dxxdxdxndxn,000)sin(2)(2)(2)本征态的特征本征态的特征(3)(3)如果把坐标原点如果把坐标原点0 0取在势阱中心，那么无限深势阱具有反取在势阱中心，那么无限深势阱具有反演对称性，即演对称性，即U(x)=U(-x)，那么波函数将分成两类。那么波函数将分成两类。量子力学中用量子力学中用“宇称宇称”来表征波函数的这种反演对称性。来表征波函数的这种反演对称性。奇函数对应的态称奇宇称态，偶函数对应的态称偶宇称态奇函数对应的态称奇宇称态，偶函数对应的态称偶宇称态。()()xx 一类经一类经x-x变换后，改变符号，称奇函数变换后，改变符号，称奇函数另一类经另一类经x-x变换后，不改变符号，称偶函数变换后，不改变符号，称偶函数2cos,1,3,5,22sin,2,4,6,202nn xdnxddn xdnxdddx()()xx0 x