直线与抛物线的位置关系

第3课时直线与抛物线的位置关系一、直线与抛物线的位置关系1. 直线与抛物线公共点的个数可以有0个、1个或2个.将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若 =0，则直线与抛物线相切，若乙。，则直线与抛物线相交，密时，A0，l与C无公共点.,1寸3 , ，一 一，、，当k=时，A=0，l与C有且只有一个公共点.,.1 一、寸 31 +13 一当 2 k0，l与C有两个公共点.、13 ,1+气：3 ,综上知，k或k时，l与C无公共点；13 ,、, 一，一，k= 2或k=0时，l与C只有一个公共点；1 一、./3，1 + ，3k0或0k-时，l与C有两个公共点.例2、巳知点A(0,2)和抛物线C： V 2 =6x，求过点A且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程.解析当直线l的斜率不存在时，由直线l过点4(0,2)可知，直线l就是V轴，其方程为x=0.x=0由 ，得y2=0.因此，此时直线l与抛物线C只有一个公共点0(0,0).3 = 6x如果直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=kx+2.这个方程与抛物线C的方程联立得方程组V = kx+2，由方程组消去x得方程，kV26v+12=0V2 = 6x(2 )当k=0时，得一6v+12=0，可知此时直线l与抛物线相交于点、；，.当k#0时，关于V的二次方程的判别式A=3648k., ,一 33 一由A=0得k=4，可知此时直线l与抛物线C有且仅有一个公共点，直线l的方程为V=：x+2，即3x4v+8=0.因此，直线l的方程为x=0，或3x4v+8 = 0，或v=2.题型二、弦长问题_例3、顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2xv+1 = 0所得弦长为屈，则抛物线方程为.答案V2=12x 或 v2=4x例4、巳知抛物线y2 = 4x的一条过焦点的弦AB, A(x1, y1)、B(x2, y2), AB所在直线与y轴交点坐标(0,2),则;+：=.答案1y1 y2题型三、对称问题例5、巳知抛物线y2=x上存在两点关于直线l： y = k(x1) + 1对称，求实数k的取值范围.k- = 1y2-y2解析设抛物线上的点A(y2, y1)、B(y2, y2)关于直线l对称.Jyi+，2=k，得更工i i ，lyiy2= 2 +2一、 妲 11 处 11 .一.叫、y2是方程 t2+kt+ 2 +k2=0 的两个不同根./Hk24“ +k2) 得一2k0.故实数k的取值范围是一2k0.例6、求过点尸(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程.x=0.即直线x=0y=0正解(1)若直线斜率不存在，则过点尸(0,1)的直线方程为x=0,由sly2=2xx=0与抛物线只有一个公共点.(2)若直线的斜率存在，设为k,则过点尸(0,1)的直线方程为y = kx+1,由方程组-y=kx+1，0,.y2+y28，综上可知，y2+y28,故+y2的最小值为8.6. 已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C： y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点.若FAI.1A.3B圭c2D泣B. 3C.3D. 3答案D解析设A、B两点坐标分别为(*1，y1) (*2,.= 2FB,则 k=()y=k(.x 2)由消去 y 得，k2x2+4x(k22)+4k2=0,y2=8x.4(2k2).%+%k ，X1X2 = 4-由抛物线定义得AFI=X+2, BFI=x2+2,又.AFI = 2IBFI,.x1+2=2x2+4,.1 = 22+2 代入产2=4，得 *2+*22=0,.x2=1 或一 2(舍去)，.X=4,4(2k2)82 包. k2 = 5,.k2=6,k0,.k=.二、填空题6.已知F是抛物线y2=4x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P(3,1)是一个定点，则 IMPI + IMFI的最小值是.答案4解析过P作垂直于准线的直线，垂足为N,交抛物线于M,则IMPI + IMFI = IMPI + IMNI = IPNI=4为所求最小值.9 .7. 在已知抛物线y=x2上存在两个不同的点M、N关于直线y=kx+2对称，则k的取值范 围为.答案ki或kv49解析设M(x1，*1), N(x2, *2)关于直线y=kx+2对称， 42= 一 艮口 * +x = 设 MN 的中点为 P(x ) 则 x = v =kX (一) .*1 一*2k，即x1+x2k设 MlN的中点为 P(*0，y0)，则 *02k，yokA(2k)因中点 P 在 y=x2 内，有 4(一土)2 k2-16, 三、解答题8. 已知抛物线y2=6x的弦AB经过点P(4,2),且OA OB(O为坐标原点)，求弦AB的长.解析由A、B两点在抛物线y2=6x上，可设A(y：2，y1)、B(, y2).因为OALOB，所以OA0B=0.由OA=（?，y1），OB=（?，y2），#y2y2+y-y2=0.*;y-y20,.y-y2=36，.点A、B与点P（4,2）在一条直线上，.U=42F4 y2y2，6 4 6 6化简得方=志，即 y1y22(y-+y2)= 24.将式代入，得y1+y2= 6.由和，得y1= 3 3,寸5, y2= 3 + 3%5,从而点A的坐标为(9+3%5， 3 3气：5)，点B的坐标为(9 3舄5， 3 + 3-5)，所以 IABI =寸(气一x2)2+S y2)2=6山0.9. 已知抛物线 C： y2=2px(p0)过点 A(1,2).(-)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线Z,使得直线l与抛物线C有公共点，且直 线OA与l的距离等于孕？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.解析(-)将(1， 2)代入 y2=2px，得(2)2=2p.-，.p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x，其准线方程为x=-.(2)假设存在符合题意的直线I，其方程为y= 2x+rfy= 2x+t，由消去 x 得 y2+2y2t=0.、y2=4x.因为直线l与抛物线C有公共点，所以A=4+8tN0，解得tN 2.另一方面，由直线OA与l的距离d=g可得%=,解得t=1.综上知：t=1.所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y1=0.10. 已知抛物线y2=x与直线y=k(x+1)相交于A, B两点.(1) 求证：OAOB；,(2) 当OAB的面积等于./W时，求k的值.,A, B在抛物线y2=x上.y2=x1，y2=X2，Ay2-y2=x1x2.k - km=%&=毛=上=1，.OA1OB.OA OB X1 X2 X1X2 罕2(2)设直线与x轴交于点N,显然k/0.令 y=0,得 x= 1,即 N(1,0).,SAOAB = SAOAN+ SAOBN= 2lONIIy1l+2lONIIy2l=2|ONI-ly1y2l,二 Saoab=2 LJ31+y2)24y1y2=J(-k)2+4.VS, L面，OAB1+4，解得 k=7.k26