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第五章第五章 数学运用举例数学运用举例5.15.1、数学模型运用、数学模型运用生活中的数学 引例引例1.1.一个矩形的灶台面是由一个矩形的灶台面是由7 7块大小和外块大小和外形完全一样的矩形瓷砖铺成，知矩形形完全一样的矩形瓷砖铺成，知矩形ABCDABCD的的周长为周长为68cm68cm，求它的面积，求它的面积.点拨：找出标题中隐含的等量关系.生活中的数学【点拨】首先，设每块瓷砖的长为【点拨】首先，设每块瓷砖的长为xcm,宽宽为为ycm.根据矩形长相等和矩形周长列方程根据矩形长相等和矩形周长列方程组，求出组，求出x、y;其次，矩形面其次，矩形面积积s=7xy.s=7xy.生活中的数学 例例1.1.小明周末去郊游，他于上午小明周末去郊游，他于上午8 8：0000从家出从家出发，先以发，先以4 4千米千米/时的速度走过一段平路，又以时的速度走过一段平路，又以2 2千米千米/时的速度登山，到达山顶为时的速度登山，到达山顶为9 9：30.30.休憩休憩半小时后，他从山顶以半小时后，他从山顶以6 6千米千米/米的速度下山，米的速度下山，又以又以4.54.5千米千米/时的速度走完平路，这时的时间时的速度走完平路，这时的时间为为1010：55.55.求小明到山顶的路程求小明到山顶的路程.小明小明ABC提示：此题是复杂提示：此题是复杂的行程问题的行程问题.首先弄首先弄清题意，找出题中清题意，找出题中每段走的时间和题每段走的时间和题中隐藏的等量关系。中隐藏的等量关系。ABC如假设设平路长为如假设设平路长为x千千米，那么去时平路和回米，那么去时平路和回来时平路用时分别为多来时平路用时分别为多少？少？.根据山路长不变根据山路长不变列方程列方程.【点拨】：【点拨】：假设设平路假设设平路长为长为x千米，千米，山路长为山路长为y千千米。米。怎样列方程怎样列方程组？组？特点：直接设元特点：直接设元ABC还有其它作法吗？如假设设小明上山如假设设小明上山用时用时x小时，那么小时，那么山坡的路程为山坡的路程为2x千千米，那么下坡用的米，那么下坡用的世间为世间为2x/6小时小时.根根据平路长不变列方据平路长不变列方程程.特点：间接设元特点：间接设元思索w 他是怎样把实践问题转化为数学问题的？他是怎样把实践问题转化为数学问题的？w 什么是数学模型和数学建模？什么是数学模型和数学建模？数学模型：是指用数数学模型：是指用数学言语符号或图形学言语符号或图形模拟现实，由现实问模拟现实，由现实问题笼统、转化成的某题笼统、转化成的某种数学问题种数学问题.简化：表现现实的数简化：表现现实的数学问题学问题数学建模：数学建模：经过建立数学经过建立数学模型来处理实模型来处理实践问题的过程践问题的过程.简化为：建模简化为：建模解题解题运用数字、字母、运算符号等运用数字、字母、运算符号等数学言语、数学方法，对实践数学言语、数学方法，对实践问题中的数量关系进展描写问题中的数量关系进展描写.即即数学化数学化思索：问题1、2分别属于哪类数学模型？类型类型1 1 建立方程组模型：建立方程组模型：特点：当标题中有明确特点：当标题中有明确的相等关系或隐含的相的相等关系或隐含的相等关系或差倍关系时选等关系或差倍关系时选用用.例例2 某单位方案购买一批办公桌椅，总数某单位方案购买一批办公桌椅，总数为为120件件.其中椅子的数量至少是桌子数量其中椅子的数量至少是桌子数量的的2倍，预算开支为倍，预算开支为7200元元.知椅子每把知椅子每把40元，桌子每张元，桌子每张100元元.在不超越预算开支的在不超越预算开支的情况下，最多可以买多少张桌子？情况下，最多可以买多少张桌子？提示：找出标题中的关键词，建立数学模型.解法点拨：设可以买解法点拨：设可以买x张桌子，那么买椅张桌子，那么买椅子的数量为子的数量为120-x把把.根据题设条件：根据题设条件：“椅子的数量至少是桌子椅子的数量至少是桌子数量的数量的2倍和倍和“不超越预算开支列不等不超越预算开支列不等式组式组.他列对了吗？类型类型2 2 建立不等式组模型：建立不等式组模型：特点：当标题中有明确的特点：当标题中有明确的不等关系，如大于、低于不等关系，如大于、低于、不超越、至少、存在等、不超越、至少、存在等或者在数量上的一些限制或者在数量上的一些限制条件时选用条件时选用.例例3 某商场用某商场用36万元购进万元购进A、B两种商品，全部两种商品，全部售后共获利售后共获利6万元，其进价与售价如表：万元，其进价与售价如表：1该商场购进该商场购进A、B两种商品各多少件？两种商品各多少件？A A种商品种商品B B种商品种商品每件进价每件进价/元元1200120010001000每件售价每件售价/元元1380138012001200属于哪属于哪一类数一类数学模型学模型解法点拨：设商场购进解法点拨：设商场购进A种商品种商品x件，购进件，购进B种商品种商品y件件.根据进价和利润列方程组求解根据进价和利润列方程组求解.结果：结果：A为为200件，件，B为为120件件.例例32该商场第二次以原进价购进该商场第二次以原进价购进A、B两种商品两种商品.购进购进B种种的件数不变，而购进的件数不变，而购进A种的件数是第一次的种的件数是第一次的2倍倍.A种售价种售价不变，而不变，而B种按原售价打折销售种按原售价打折销售.假设两种商品全部销售假设两种商品全部销售后，使第二次运营活动获利不少于后，使第二次运营活动获利不少于81600元，那么元，那么B种商种商品打折后的最低售价为每件多少元？品打折后的最低售价为每件多少元？A A种商品种商品B B种商品种商品每件进价每件进价/元元1200120010001000每件售价每件售价/元元1380138012001200属于哪属于哪一类数一类数学模型学模型解法点拨：弄清题中，解法点拨：弄清题中，A种商品的购进价，售价和件数种商品的购进价，售价和件数.B种商品的购进价、售价和件数种商品的购进价、售价和件数.设设B种商品的售价为种商品的售价为m元，根据元，根据“第二次运营活动获利不少第二次运营活动获利不少于于81600元列不等式元列不等式.点拨：列不等式点拨：列不等式0-12000-1200400+120400+120m-1000m-10009600,9600,解不等式得解不等式得 m1080.m1080.所以，所以，B B种商品打折后每件的最低售价为种商品打折后每件的最低售价为10801080元元.此题有什么特点此题有什么特点?方程和不方程和不等式模型等式模型的组合题的组合题运用数学模型解实践问题的步骤：明确实践问题，并熟习问题背景；明确实践问题，并熟习问题背景；构建数学模型：如根据等量关系构建方程组构建数学模型：如根据等量关系构建方程组模型、根据不等量关系构建不等式组模型模型、根据不等量关系构建不等式组模型.求解数学问题，获得数学模型的解答求解数学问题，获得数学模型的解答.回到实践问题，检验结果的合理性，解释结果回到实践问题，检验结果的合理性，解释结果.小结 拓展
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