第4章土中应力计算

第四章第四章土土 中中 应应 力力 计计 算算土中土中应应力力计计算算4.1 4.1 概述概述 土体在本身的重量、建筑荷载、交通荷载或其他因素的作用下，均可产生土中应力。和材料力学中所研究的受力体(梁、板、柱)一样，土体受力后也要产生应力和变形。土中应力将引起地基发生沉降、倾斜变形甚至破坏等，如果地基变形过大，将会危及建筑物的安全和正常使用。土中土中应应力力计计算算4.2 4.2 土的自重应力计算土的自重应力计算 由于土体本身重力引起的应力称为自重应力自重应力。自重应力是在外部荷载作用前存在于地基中的初始应力，一般自土体形成之日起就产生于土中。4.2.1 4.2.1 均匀土体时均匀土体时 自重应力随深度线性增加，呈三角形分布图形，并且在任何一个水平面上，其自重应力大小相等。czWzFzFF土中土中应应力力计计算算4.2.2 4.2.2 成层土体时成层土体时4.2.3 4.2.3 土层中有地下水时土层中有地下水时 若地下水位以下的土受到水的浮力作用，则水下部分土的容重应按浮容重计算，其计算方法如同成层土的情况。1 122121i ncziiihhFWWhFF土中土中应应力力计计算算4.2.4 4.2.4 水平向自重应力计算水平向自重应力计算例题4.1 某成层土层，其物理性质指标如图4.5所示，计算土中自重应力并绘制分布图。0cxcyczK土中土中应应力力计计算算4.3 4.3 基础底面的压力分布与计算基础底面的压力分布与计算 作用在地基表面的各种分布荷载，都是通过建筑物的基础传到地基中的，在基础底面和地基之间存在接触应力，称基础底面传递给地基表面的压力为基底压力基底压力，计算地基应力首先要计算基底压力。计算基底压力的目的，是为了计算地基中的附加压力。在地基计算中，一般采用简化的方法，即在中心荷载作用下，假定地基压力为均布分布；偏心荷载作用下，假定压力分布为直线变化，也即按材料力学公式计算。土中土中应应力力计计算算4.3.1 4.3.1 基底压力简化计算方法基底压力简化计算方法 作用在基底上的荷载合力通过基底形心，基底压力假定为均匀分布(图4.6)，平均压力设计值(kPa)可按下式计算：1.1.中心荷载作用时中心荷载作用时AGFp土中土中应应力力计计算算2.2.偏心荷载作用时偏心荷载作用时AGFmaxminP 根据偏心距e的大小，基底压力的分布可能出现下述三种情况：根据偏心荷载和基底反力相等平衡，荷载合力通过三角形反力分布图的形心，则可求得：AGFmaxminP)61(leAGFWM)-2/(3)(2maxelbGFp土中土中应应力力计计算算4.3.2 4.3.2 基底压力分布的分析基底压力分布的分析有限刚度基础基础柔性基础刚性基础根据EI的大小土中土中应应力力计计算算4.4 4.4 地基附加应力的计算地基附加应力的计算 地基中的附加应力地基中的附加应力是由建筑物荷载在土中引起的应力增量，通过土粒之间的传递，向水平与深度方向扩散，如图4.10所示集中应力作用于地面处，图左半部分表示各深度处水平面上各点垂直应力大小，图右半部分为各深度处的垂直应力大小，可以看出，随着水平距离与深度的增加附加应力逐渐减小。附加应力的存在，会引起地基产生变形，导致沉降。土中土中应应力力计计算算4.4.1 4.4.1 竖向集中力作用下的土中应力计算竖向集中力作用下的土中应力计算 法国数学家布西奈斯克(J.Boussinesq)1885年给出了弹性力学的解答。是的(r/z)函数，可制成表格查用。见表4-1。土中土中应应力力计计算算4.4.2 4.4.2 竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算 若在半无限土体表面作用一分布荷载p(x,y)。为了计算土中某点M(x,y,z)的竖应力值，可以在基底范围内取元素面积 ，作用在元素面积上的分布荷载可以用集中力dQ表示。这时土中M点的竖应力值可以用公式(4.16)在基底面积范围内进行积分求得，即:dddAAAAzZzpzRdQzd5222353)-(y)-(x(dy)d(x,2323土中土中应应力力计计算算 几种常见的基础底面形状及分布荷载几种常见的基础底面形状及分布荷载作用时，土中应力的计算公式作用时，土中应力的计算公式 平面问题 竖向分布荷载作用下，土中应力计算空间问题 圆形面积上作用均布荷载时 矩形面积上作用均布荷载时 均布线性荷载作用时 均布条形荷载作用时 中点下 角点下 任一点 矩形面积上作用三角形分布荷载时 任一点竖向应力 任一点主应力 三角形分布条形荷载作用时土中土中应应力力计计算算1.1.空间问题空间问题 若作用的荷载是分布在有限面积范围内，那么从公式(4.17)知道，土中应力是与计算点的空间坐标(x,y,z)有关，这类解均属空间问题。(1)(1)圆形面积上作用均布荷载时，圆形面积上作用均布荷载时，土中竖向应力的计算土中竖向应力的计算 设圆形荷载面积的半径为r0，以圆形荷载的中心点为坐标原点O。并在荷载面积上取元素面积 ，以集中力 代替微面积上的分布荷载，那么可以由公式(4.17)在圆面积范围内积分求得值。rdrddAdQ 圆形面积上作用均布荷载P0，计算土中任一点M的竖向应力。rdrdPdAp00土中土中应应力力计计算算同理，可以计算圆形面积中点下任何深度处的附加应力：计算土中任一点的竖向应力：005/222220300)z2r/cos-(r23plrdrdzpdcrAzz005/22220300)z(r23prdrdzpdrrAzz土中土中应应力力计计算算(2)矩形面积上作用均布荷载时土中竖向应力计算1)矩形面积中点下土中竖向应力计算 在矩形面积表面作用均布荷载P0，假设矩形截面的长边为l l，短边为b，求矩形面积中点下土中深度处竖向应力值。将坐标原点取在矩形面积的中点处，确定x,y,z轴的方向，由公式(4.17)解得：=22-522222-35222353)(23)-(y)-(x(dy)d(x,2323bbllAAAzZzddpzzpzRdQzd22022222222182arctan21414144mnnmpnpmnmnmmnm土中土中应应力力计计算算2)2)矩形面积角点下土中竖向应力计算矩形面积角点下土中竖向应力计算 求出图中均布荷载P0作用下，矩形面积角点C下深度z处N点的竖向应力。利用公式(4.17)解得：22-2/522222-3)-2()-2b(23bbllAzzzlddpzd222222222122arctan111cmnnmpnpmnmmnnmm土中土中应应力力计计算算3)3)矩形面积均布荷载作用时，土中任意点矩形面积均布荷载作用时，土中任意点的竖向应力计算的竖向应力计算角点法角点法 在实际的计算中，经常遇到计算点既不是位于矩形面积的中点下，也不是位于矩形面积的角点下这样的特殊点，所计算点可能是矩形内或者矩形外的任何一点。在这种情况下，可以加几条辅助线，通过所计算的点，把图形分成若干个小矩形，使计算点成为各个小矩形的角点，然后利用叠加方法，将各个矩形内荷载在该点引起的应力叠加即可，这种方法称为角点法角点法。土中土中应应力力计计算算 计算点位于矩形面积的四条边上，如图(a)所示。在计算中应该特别注意的是进行矩形面积角点和中点下的附加应力计算时，l总是代表长边，b总是代表短边，在应用角点法时，尤其要注意这一点。计算点位于矩形面积角点的外侧，如图4.18(d)所示。计算点位于矩形面积内部的任意点，如图(b)所示。计算点位于矩形面积边缘的外侧，如图4.18(c)所示。土中土中应应力力计计算算(3)(3)矩形面积上作用三角形分布荷载时，土矩形面积上作用三角形分布荷载时，土中竖向应力计算中竖向应力计算 在地基表面作用矩形面积(lb)三角形分布荷载，计算荷载为零的角点下深度z处点M的竖向应力时，可以用公式(4.17)求解。将坐标原点取在荷载为零角点上，z轴通过点M。取元素面积 dA=dxdy，其上作用元素集中力 ，则得：d dxdPp x ybblAzzzydxdybxpzd05/222203)x(23土中土中应应力力计计算算 同理，可以求得荷载最大值边的角点下深度z处点的竖向应力的公式为：212222212(1)1tmnpmpmnmnmz2tp土中土中应应力力计计算算2.2.平面问题平面问题 若在半无限弹性体表面作用无限长条形的分布荷载，荷载在宽度的方向分布是任意的，但在长度方向的分布规律则是相同的，如图所示。在计算土中任一点M的应力时，只与该点的平面坐标(x,y)有关，而与荷载长度方向Y轴坐标无关，这种情况属于平面应变问题。虽然在工程实践中不存在无限长条分布荷载，但研究表明，当l/b10时，将其视为平面问题的计算结果所导致的误差很小，有时，当l/b 5时，按平面问题计算，也能满足足够的精度。所以工程上一般常把路堤、堤坝、挡土墙以及长宽比l/b 10的条形基础等，均视作平面应变问题计算。土中土中应应力力计计算算(1)(1)均布线荷载作用时土中应力计算均布线荷载作用时土中应力计算 在地基土表面作用无限分布的均布线荷载p,如图所示，计算土中任一点M的应力时，可以用布西奈斯克公式积分求得：上式在弹性理论中称为弗拉曼弗拉曼(Flalnant)解解。335/22222223d22zzyz ppxyzxz22222zxzpxx22222zxpxzxz土中土中应应力力计计算算若用极坐标表示时，从图可知：代入公式(4.24)(4.26)即得：00cos,sinzRxR302coszpRsin2sin0Rpx0cossinxzpR土中土中应应力力计计算算(2)(2)均布条形荷载作用下土中应力计算均布条形荷载作用下土中应力计算 在土体表面作用均布条形荷载p，其分布宽度为b，如图所示。计算土中任一点M(x,z)的竖向应力，可以将弗拉曼公式在荷载分布宽度b范围内积分求得:1)1)计算土中任一点的竖向应力计算土中任一点的竖向应力 322222dbbzz pxz22222244411212arctanarctan2244116umnmpnnpmmnmm土中土中应应力力计计算算2)2)计算土中任一点的主应力计算土中任一点的主应力 ddcosRxcospRdpdxq取元素荷载宽度dx，可知 ,其上的荷载 用线荷载代替，利用极坐标表示的弗拉曼公式，在荷载分布宽度范围内积分，即可求得M点的应力表达式：)cos()sin(2121210）（px)sin()sin(21210pzxxz00112212121211sin2sin2sin()cos()22zpp（）00112212121211sin2sin2sin()cos()22zpp（）土中土中应应力力计计算算 确定了一点的4个应力分量后，可以用材料力学中有关主应力与法向应力及剪应力间的关系式计算，即：212012123sin()22xzxzxzp（）000sinp1212xzxz22tan21tan 最大主应力的作用方向与竖直线间的夹角可按下式计算：土中土中应应力力计计算算3)3)三角形分布条形荷载作用下的土中应力计算三角形分布条形荷载作用下的土中应力计算 在地基表面作用三角形分布条形荷载，其最大值为Pm，计算土中点M(x，z)的竖向应力(如图所示)，可按公式(4.17)在宽度范围内积分即得：322022212d1(a r c ta n a r c ta n)1bzsm nzppnnnpbmmnmxz 322022212d1(arctanarctan)1bzsmnzppnnnpbmmnmxz 土中土中应应力力计计算算4.5 4.5 其他条件下的地基应力计算其他条件下的地基应力计算 前面所提出的布西奈斯克课题，以及其分布荷载作用下的土中附加应力计算公式，都是假定荷载是作用在半无限土体表面，但是实际的建筑物基础均有一定埋置深度，基础底面荷载是作用在地基内部深度处。因此，按前述公式计算将有误差，一般浅基础的埋置深度较小，所引起的计算误差不大，可不考虑，但对深基础则应考虑其埋深影响。4.5.1 4.5.1 建筑物基础下地基应力计算建筑物基础下地基应力计算QDFzcz基础施工前自重应力Dcz基础开挖后，挖去的土体重力QDF基础施工完，基础底面增加的荷载NQDPDFNFDFNFQNp0基础底面产生的附加应力土中土中应应力力计计算算 在公路桥涵地基与基础设计规范中，给出了专门的计算公式及相应的应力系数值，如图所示。4.5.2 4.5.2 桥台后填土引起的基底附加应力计算桥台后填土引起的基底附加应力计算QDFzcz 台背路基填土对桥台基础底或桩端平面处地基土引起的附加压应力：埋置式桥台，因台前锥体对基底或桩端平面处的前边缘引起的附加应力1111Hp2222Hp土中土中应应力力计计算算4.6 4.6 影响土中附加应力分布的因素影响土中附加应力分布的因素 各向异性的地基各向异性的地基是指由同一种土组成，但其物理力学特性是各向异性的。在泊松比相同时，如果 ，则在各向异性的地基中将会出现应力集中现象，如图4.30(a)所示；如果 ，则在各向异性的地基中将会出现应力扩散现象，如图4.30(b)所示。4.6.1 4.6.1 各向异性的影响各向异性的影响XZEEXZEE土中土中应应力力计计算算 当地基由不同土层组成时，地基中附加应力受各土层性质的影响，各土层性质差异愈大，则对附加应力的影响也愈大。下面根据两种情况来分析。4.6.2 4.6.2 非均质地基的影响非均质地基的影响1.1.双层地基双层地基(1)(1)上层为可压缩土层，下层为不可压缩坚硬层上层为可压缩土层，下层为不可压缩坚硬层(岩层岩层)由于下卧层刚度大，不变形，使得上层土中的附加应力值比均质土时有所增大，出现应力集中现象，如图所示。应力集中的程度与荷载面的宽度b及压缩层厚度h有关，同时也与压缩层的泊松比、上下层交界面上的摩擦系数有关。压缩土层厚度与荷载面的宽度之比(即h/b)越大，应力集中现象越显著。土中土中应应力力计计算算(2)(2)上层为坚硬土层，下层为软弱土层上层为坚硬土层，下层为软弱土层 由于坚硬土层刚度大，对应力有扩散作用，使得本身及下卧层中的附加应力值减小，出现了应力扩散现象，如图4.30(b)所示。在坚硬的上层及下卧层中引起的应力扩散现象随上层坚硬土层厚度的增大而更加显著。由于土的泊松比变化不大(一般 =0.30.4)，因此应力集中和扩散现象主要与上下两层土的变形模量比 /有关，模量比越大，土中应力的变化越显著(与均质情况土中应力相比较)。1E2E土中土中应应力力计计算算 地基土的变形模量随深度增加时，沿荷载对称轴上的应力有增大的现象，这已被理论和实践研究结果所证实。这种现象在砂类土中尤为显著，一般认为较深处的土体，侧向变形受较大限制，因此沿外力作用线附近的附加应力出现应力集中现象。2.2.变形模量随深度增大的地基变形模量随深度增大的地基 在考虑地基变形模量对地基附加应力影响时，弗洛列希()等提出采用集中因数对布辛奈斯克公式加以修正：nzRnpcos22土中土中应应力力计计算算 均布荷载P0分别作用在宽度为b、长度为无限长的条形基础上和宽度为b、长度a为的矩形基础上，这表明荷载的作用面积不同。可以比较这两种情况下土中应力的分布。4.6.3 4.6.3 荷载作用面积的影响荷载作用面积的影响 图4.31为条形荷载和矩形荷载作用下地基附加应力等值线图。土中土中应应力力计计算算 由图4.31知，矩形荷载中心点下z=2b处z0.1p0；而在条形荷载下z0.1p0的等值线在中心点下z=6b处通过。这表明荷载作用面积越大附加应力传递越深。当条形荷载在宽度方向增加到无穷大时，这相当于大面积荷载(无限均布荷载)，此时地基中附加应力分布仍可按条形均布荷载下土中应力的公式计算。因为条形荷载的宽度b，则不论z为何值均有z/b0，因此应力系数恒等于1.0，任意深度处的附加应力均等于p0，也即在大面积荷载作用下，地基中附加应力分布与深度无关。如图4.32所示。土中土中应应力力计计算算4.7 4.7 本章小结本章小结1.土中应力是指土体在本身重力作用下产生的自重应力、建筑物荷载或其他外荷载引起的附加应力、土中渗透水流引起的渗流应力等等。2.土的自重应力计算包括下面几种情况：均质土体、成层土体、土中有地下水及水平向自重应力的计算。3.基础底面传递给地基表面的压力为基地压力，基底压力的大小与分布形式受荷载性质、基础刚度、尺寸等因素影响。4.地基附加应力的计算分为两种情形：一种是空间问题，一种是平面问题。5.建筑物基底附加压力是指基础底面处地基土单位面积上压力的增量，注意与基底压力的区别与联系。6.影响土中附加应力的分布的因素主要包括：土的各向异性、非均质地基、荷载作用面积等。