连续化方法计算联肢剪力墙祥解

5.3.3 连续化方法计算联肢剪力墙连续化方法计算联肢剪力墙5.3.3.1 基本方法与假定 对联肢墙而言，连续化方法是一种相对比较精确的手算方法。连续化方法是指把连梁看做分散在整个高度上的连续连杆，见图5-24。该方法假定如下：(1)忽略连梁轴向变形，即假定两墙肢水平位移完全相同；(2)两墙肢各截面的转角和曲率都相等，连梁两端转角相等，连梁反弯点在梁的中点；(3)墙肢截面、连梁截面、层高等几何尺寸沿全高是相同的。5.3.3 连续化方法计算联肢剪力墙连续化方法计算联肢剪力墙5.3.3.1 基本方法与假定 (a)结构尺寸 (b)计算简图 (c)基本体系 图5-24 连续化方法计算简图及基本体系5.3.3 连续化方法计算联肢剪力墙连续化方法计算联肢剪力墙5.3.3.1 基本方法与假定 连续化方法适用于开洞规则、由下到上墙厚及层高都不变的联肢墙。当实际工程中各楼层变化不多时，可取各楼层的平均值作为计算参数，如果是很不规则的剪力墙，本方法不适用。层数愈多，本方法计算结果愈好，对低层和多层剪力墙，计算误差较大。5.3.3 连续化方法计算联肢剪力墙连续化方法计算联肢剪力墙5.3.3.1 基本方法与假定 连续化方法求解的基本思路(力法)：沿连杆中点(反弯点)切开，以连杆中点剪力(x)为未知数，得2个静定悬臂墙的基本体系通过切口的变形协调（相对位移为0）建立(x)的微分方程（力法）求解微分方程的(x)，积分得剪力Vl再通过平衡条件求出连梁梁端弯矩，墙肢轴力及弯矩。5.3.3.2 连续连杆法的基本方程及求解连续连杆法的基本方程及求解切口处沿(x)方向的变形连续条件可用下式表达：123()()()0 xxx(5-4)式中，分别为由墙肢弯曲变形产生的相对位移、由墙肢轴向变形产生的相对位移和由连梁弯曲和剪切变形产生的相对位移。由墙肢和连梁的变形产生的示意图见图5-25。123()()()xxx、和5.3.3.2 连续连杆法的基本方程及求解连续连杆法的基本方程及求解(a)墙肢转角变形(转角以顺时针为正)(b)墙肢轴向变形5.3.3.2 连续连杆法的基本方程及求解连续连杆法的基本方程及求解(c)连梁弯曲及剪切变形图5-25 墙肢和连梁的变形5.3.3.2 连续连杆法的基本方程及求解连续连杆法的基本方程及求解123()()()xxx、和的计算式见下：1201233320()2111()3()21233mHxxllllxcxxx dxdxEAAx hax haEIxEIAGaEI （(5-5)位移协调方程：300121112)203Hxmxlx hacxx dxdxEAAEI（对x求导一次：300121112)203xmlx hacxx dxEAAEI（5.3.3.2 连续连杆法的基本方程及求解连续连杆法的基本方程及求解将式(5-5)代入式(5-4)，并微分两次，可得位移协调方程如下：30122111203mlhaxcxEAAEI(5-6)上式称为双肢墙连续化方法的基本微分方程。在x处截断双肢剪力墙，由平衡条件可得：120()()()()2()2xppMxMxMxN xcMxcx dx(5-7)式中，分别为外荷载产生的倾覆力矩、墙肢1截面上的弯矩、墙肢2截面上的弯矩、墙肢的轴力、洞口两侧墙肢轴向间距，见图5-26。12()pMxMxMxc、25.3.3.2 连续连杆法的基本方程及求解连续连杆法的基本方程及求解图5-26 墙肢内力5.3.3.2 连续连杆法的基本方程及求解连续连杆法的基本方程及求解由梁的弯曲理论，可得：22012121212xmmpmpd yMxcx dxdxE JJVxcxE JJ (5-8)()pVx与外荷载形式有关，对于常用的三种荷载，有：(5-9)200011()pxVHxVxVHV倒三角形荷载均布荷载顶点集中荷载5.3.3.2 连续连杆法的基本方程及求解连续连杆法的基本方程及求解将式(5-9)代入式(5-8)，可得：(5-10)20120120121112()12()12()mxVcxE JJHxVcxE JJHVcxE JJ 5.3.3.2 连续连杆法的基本方程及求解连续连杆法的基本方程及求解将式(5-10)代入式(5-6)，并令：0232211212122222212111221122120()6()()2()6(1)()22,22lAAAI cDaHaDh IIcA ASAAIIaHaaDahScScTITIA yA yIIIIImxTVHcc 连梁刚度系数未考虑墙肢轴向变形的整体参数双肢组合截面形心轴的面积矩考虑墙肢轴向变形的整体参数5.3.3.2 连续连杆法的基本方程及求解连续连杆法的基本方程及求解 的物理意义都是连梁与墙肢的刚度比，前者未考虑墙肢轴向变形，后者计入了墙肢轴向变形。当墙肢有轴向变形时，相当于墙肢变“软”了，因此 称为轴向变形影响系数。1aa和1,1,aa TT5.3.3.2 连续连杆法的基本方程及求解连续连杆法的基本方程及求解基本微分方程可化为：2222211aaaa (5-11)非齐次微分方程的解由通解和特解组成：2212112/chsh1aCaCa(5-12)C1和C2是待定参数，由边界条件确定(墙顶弯矩为0，墙底弯曲转角为0)。5.3.3.2 连续连杆法的基本方程及求解连续连杆法的基本方程及求解最终可求的三种典型水平荷载下 的解：22222sh2ch2111shchshchsh1chch1chaaaaaaaaaaaaaaaa 倒三角分布荷载均布荷载顶点集中荷载 三种典型荷载下 的都是相对坐标 及整体系数 的函数，可按直接按公式计算或由整体系数及截面的相对坐标查表得到。P138 a5.3.3.2 连续连杆法的基本方程及求解连续连杆法的基本方程及求解 多肢墙也可以用连续化方法计算，基本方法与双肢墙相同，由于有s列洞口和连梁，就有s个未知剪力，就可建立s个微分方程，需要求解多元联立方程，比较麻烦。一般用与双肢墙公式相近的近似公式，具体可参考教材P152。多肢墙的整体系数表达式为：2013116silisiiiicaHIaThI(5-13)式中，s为联肢墙洞口列数；s+1为墙肢列数；2ai和2ci分别为第i个洞口的净宽及相邻墙肢重心到重心的距离。多肢墙中计算墙肢轴向变形影响比较困难，T常近似：34肢时取，57肢时取，8肢及以上时取。5.3.3.2 连续连杆法的基本方程及求解连续连杆法的基本方程及求解 整体系数a只与联肢剪力墙的几何尺寸有关。a愈大表示连梁刚度与墙肢刚度的相对比值愈大，连梁刚度与墙肢刚度的相对比值对联肢墙内力分布和位移的影响很大，是一个重要的几何参数。5.3.3.2 连续连杆法的基本方程及求解连续连杆法的基本方程及求解 考虑到连续化方法将墙肢及连梁简化为杆件体系，在计算简图中连梁应采用带刚域杆件，见图5-27。连梁刚域长度为墙肢轴线以内宽度减去连梁高度的1/4，刚域为不变形部分，除刚域外的变形段为连梁计算跨度，取为2al2a+2*hl/4。图5-27 连梁计算跨度5.3.3.2 连续连杆法的基本方程及求解连续连杆法的基本方程及求解 令GE，矩形截面连梁剪应力不均匀系数，则连梁折算惯性矩可近似为：0222311 0.7lllllllIIIEIhAGaa(5-14)5.3.3.3 联肢剪力墙的内力联肢剪力墙的内力(1)第一种方法：(a)连杆内力；(b)连梁剪力、弯矩；(c)墙肢轴力及弯矩图5-28hhbiV)(ibiV0abiMim)()(iM1iM2)(im5.3.3.3 联肢剪力墙的内力联肢剪力墙的内力按下式计算沿高度分布连杆的约束弯矩：2102amVa(5-15)求出连杆沿高度连续分布的约束弯矩 ，乘以层高，可得该连梁的近似约束弯矩值，进而可计算连梁剪力与弯矩，示意图见图5-28，具体为：m j层连梁约束弯矩：顶层：一般层(顶层也可按此式计算)：j层连梁剪力：j层连梁端弯矩：()/2nnnmmh()jjjmmh/2bjjVmcbjbjMV a5.3.3.3 联肢剪力墙的内力联肢剪力墙的内力 由平衡条件可知，某截面处墙肢轴力为该截面以上所有连梁剪力之和。两个墙肢轴力必然大小相等、方向相反。即：j层墙肢轴力：njbjjNV由基本假定可知，两墙肢的弯矩按刚度分配：1112()njpjjjIMMmII2212()njpjjjIMMmII假定墙肢剪力也按墙肢刚度分配，则j层墙肢剪力为：0110012jpjIVVII0220012jpjIVVII式中惯性矩采用考虑剪切变形影响后的墙肢折算惯性矩。5.3.3.3 联肢剪力墙的内力联肢剪力墙的内力 对于多肢墙，求出连梁基本未知量后，按分配系数将连梁总约束弯矩分配给各列连梁。()jijjimmhiiiiiDD11 1.5(1)1/4iiirrBBi多肢墙连梁约束弯矩分布系数；ri第i列连梁中点距墙边的距离，示意图见图5-29；B总宽；a为整体系数。5.3.3.3 联肢剪力墙的内力联肢剪力墙的内力图5-295.3.3.3 联肢剪力墙的内力联肢剪力墙的内力多肢墙墙肢轴力：边墙肢：中间墙肢：弯矩：剪力：11,nnjb jmjbmjjjNVNV,1,()nijbijb ijjNVV1()niijpjjjiIMMmI00iijpjiIVVI5.3.3.3 联肢剪力墙的内力联肢剪力墙的内力(2)第二种方法由连续化方法分析得到的墙肢内力可以表达成下列公式：1iiippiIIMkMk MII(5-16)()iiipA yNkMI(5-17)式中，k为系数，与荷载形式有关，在倒三角形分布荷载下，k值计算公式为：222223222sh2sh11ch133chaakaaaaaaa(5-18)在均布荷载作用下，k值计算公式为：22222sh1ch(sh)2chaakaaaaa(5-19)5.3.3.3 联肢剪力墙的内力联肢剪力墙的内力(2)第二种方法 联肢剪力墙的截面应力分布，可分解为两部分(见图5-30)：沿截面直线分布的应力，称为整体弯曲应力，组成每个墙肢的部分弯矩及轴力，分别对应公式(5-16)和公式(5-17)的第一项。局部弯曲应力组成每个墙肢上的另一部分弯矩，对应于公式(5-16)的第二项。图5-30 联肢墙截面应力的分解5.3.3.3 联肢剪力墙的内力联肢剪力墙的内力 系数k的物理意义为两部分弯矩的百分比，k值较大，则整体弯曲及轴力较大，局部弯矩较小，此时截面上总应力分布更接近直线，可能一个墙肢完全受拉，另一个墙肢完全受压；k值较小时则反之，截面上应力锯齿形分布更明显，每个墙肢都有拉、压应力。5.3.3.4 联肢剪力墙的位移和等效刚度联肢剪力墙的位移和等效刚度 联肢剪力墙的侧向位移应由墙肢的弯曲变形及剪切变形侧移叠加，即：2222012121()mvmvlllmPPvd ydyyyyd ddddd yMmddE IIVdydG AA 5.3.3.4 联肢剪力墙的位移和等效刚度联肢剪力墙的位移和等效刚度积分并引入边界条件后可得：30303011601813eqeqeqV HEIV HEIV HEI 倒三角形荷载均布荷载集中荷载式中，为联肢墙的等效刚度，三种荷载下分别为：eqEI2221 3.64141 3iaieqaiaEITTEIEITTEITT5.3.3.4 联肢剪力墙的位移和等效刚度联肢剪力墙的位移和等效刚度其中，为墙肢剪切变形影响系数：222/iiiEIH GA当H/B的剪力墙中，剪切变形影响约在10%以内，一般可以忽略，此时可取0。系数 是a的函数，可查表4-8(P146)，也可按公式计算，三种荷载下分别为：a232222260 122sh2sh113chchch8111sh2chch3sh1chaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa倒三角形荷载均布荷载集中荷载5.3.3.5 联肢剪力墙的位移和内力分布规律联肢剪力墙的位移和内力分布规律 图5-31给出了按连续化方法计算得到联肢墙的侧移、连梁剪应力、墙肢轴力、墙肢弯矩沿高度分布曲线，其特点是：图5-31 双肢墙侧移及内力分布图5.3.3.5 联肢剪力墙的位移和内力分布规律联肢剪力墙的位移和内力分布规律(1)联肢墙的侧移曲线呈弯曲型，a值愈大，墙的抗侧刚度愈大，侧移曲线减小；(2)连梁最大剪力不在底层，a愈大连梁剪力愈大，最大值下移；(3)墙肢轴力即为该截面以上连梁剪力之和，向下逐渐加大；当a值愈大，连梁剪力愈大，墙肢轴力也加大。(4)当a值愈大，墙肢弯矩愈小。可从平衡要求得到解释：M1+M2+N*2c=MP。总之，在相同Mp作用下，a愈大，则连梁愈强，连梁的M、V愈大；而墙肢轴力N愈大，墙肢弯矩M愈小。5.3.3.5 联肢剪力墙的位移和内力分布规律联肢剪力墙的位移和内力分布规律 连续化方法计算的内力沿高度是连续变化的，实际上连梁是不连续的，连梁剪力和对墙肢的约束弯矩也不是连续的，在连梁与墙肢交接处，墙肢弯矩、轴力会有突变，形成锯齿形分布。连梁约束弯矩愈大，弯矩突变也愈大，墙肢容易出现反弯点，反之，弯矩突变较小，此时，在剪力墙很多层墙肢中都没有反弯点。5.3.3.5 联肢剪力墙的位移和内力分布规律联肢剪力墙的位移和内力分布规律图5-32给出了剪力墙弯矩及截面应力分布图。5.3.3.5 联肢剪力墙的位移和内力分布规律联肢剪力墙的位移和内力分布规律剪力墙的内力及侧移有如下特点：(1)悬臂墙弯矩沿高度都是一个方向(没有反向弯矩)，截面应力分布按材料力学假定为直线，墙为弯曲型变形。(2)当整体系数a很小时，连梁很小，其约束弯矩很小而可忽略，可假定其为铰接杆，则墙肢是两个单肢悬臂墙，每个墙肢弯矩图和应力分布图和悬臂墙相同。(3)当a10时，连梁刚度较大，则截面应力分布接近直线，由于连梁约束弯矩而在楼层处形成锯齿形弯矩图，如果锯齿不太大，大部分层墙肢弯矩没有反弯点，截面应力接近直线分布，侧移曲线主要是弯曲型。(4)当10a1时为典型的联肢墙，连梁约束弯矩造成的锯齿较大，截面应力不再是直线分布，墙的侧移仍然是弯曲型。(5)当a10时，剪力墙开洞较大，墙肢相对较弱，极端情况是框架。此时，墙肢会出现反弯点，截面的拉、压应力较大，两墙肢的应力图相连几乎是一条直线，变形以剪切型为主。5.3.4 算例算例例5-4 计算12层剪力墙的墙肢内力及顶点位移。该剪力墙层高，总高，每层开两个门洞，洞口高均为。截面如图5-26所示，用C20级混凝土，各层等效地震力见表5-8。图5-26 例5-4图(一)5.3.4 算例算例解：用连续化方法计算。墙肢几何参数计算见表5-7。5.3.4 算例算例解：总形心位置 05.9254.571.296xm组合惯性矩 41.429.110.52Im轴向变形影响系数29.10.86510.52iiA yTI连梁惯性矩（160*680，两个连梁相同）3344.2 1012llbhIm连梁计算跨度（两个连梁相同）0.68220.91.2442llihalm 5.3.4 算例算例解：连梁折算惯性矩 整体系数 用公式(5-29)计算k值后，代入公式(5-28)计算墙肢弯矩M和轴力N。现以底层截面为例计算如下，其余各层底截面的计算结果列于表5-8。322223316 2.28 102.321.47634.812.20.865 2.9 1.42 0.62liiiiiI caHThIa%33422224.2 102.28 100.681 0.71 0.70.62lililliIImha%5.3.4 算例算例解：底层底截面，外荷载产生的倾覆力矩Mp=7268.2kN*m212.2,148.84aa99394.03286,99395.11828shacha222223222sh2sh11ch10.87933chaakaaaaaaa由式(5-28)计算各墙肢弯矩和轴力：5.3.4 算例算例解：墙肢11111ppiIIMkMk MII7268.2 0.879 0.082(1 0.879)0.611060.3kN m1110.643 2.560.879 7268.2999.6kN10.52pA yNkMI墙肢22221ppiIIMkMk MII7268.2 0.879 0.053(1 0.879)0.389680.7kN m7268.2 0.879 0.053(1 0.879)0.389680.7kN m2220.5542.080.879 7268.2699.8kN10.52pA yNkMI5.3.4 算例算例解：墙肢3 3331ppiIIMkMk MII7268.2 0.879 0.0003(1 0.879)0.0023.68kN m3330.099 5.020.879 7268.2301.8kN10.52pA yNkMI5.3.4 算例算例解：5.3.4 算例算例解：用公式(5-30b)计算剪力墙的等效刚度，取C20级混凝土弹性模量：722.55 10 kN/m,0.42EGE2221.420.00261.296/34.80.421.2iiiEIH GAT=0.865,由表5-6查,0.022aa 5.3.4 算例算例解：用公式(5-32)计算剪力墙等效刚度：21 3.64ieqaEIEITT7822.55 101.422.21 10 kN m1 3.64 0.00260.865 1 0.022用公式(5-31)计算剪力墙顶点位移：33081111 292.7 34.80.0102m6060 2.21 10eqV HEI