梅氏定理塞瓦定理

梅氏定理梅涅劳斯（Menelaus）定理及其逆定理梅涅劳斯（Menelaus ）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。他 指出：如果一条直线与厶ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E 点，那么 AF/FBXBD/DCXCE/EA=1。它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延 长线上，且满足AF/FBXBD/DCXCE/EA=1,则F、D、E三点共线。利用这个 逆定理，可以判断三点共线。梅涅劳斯（Menelaus）定理证明证明一：过点A作AGBC交DF的延长线于G,则 AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG 。三式相乘得：（AF/FB）X（BD/DC）X（CE/EA） = （AG/BD）X（BD/DC）X（DC/AG）=1证明二：过点 C 作 CPDF 交 AB 于 P,则 BD/DC二FB/PF , CE/EA=PF/AF所以有 AF/FBXBD/DCXCE/EA=AF/FBXFB/PFXPF/AF=1它的逆定理也成立：若有三点 F、D、E分别在 ABC的边AB、BC、CA 或其延长线上，且满足（AF/FB）X（BD/DC）X（CE/EA）=1,则 F、D、E三点共 线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。证明三：过ABC三点向三边引垂线AABBCC，所以 AD： DB=AA : BB，BE： EC=BB : CC，CF： FA=CC : AA所以（AF/FB）X（BD/DC）X（CE/EA）=1证明四：连接BF。（AD： DB）（ BE： EC）（ CF:FA）=（SADF：SBDF） （SABEF：SACEF） （SABCF：SABAF）=（SADF：SBDF） （SABDF：SACDF） （SACDF：SAADF）塞瓦定理A塞瓦(Giovanni Ceva , 16481734 )意大利水利工程师，数学家。塞 瓦定理载于塞瓦于1678年发表的直线论一书，也有书中说塞瓦定理是 塞瓦重新发现。具体内容塞瓦定理在厶ABC内任取一点0,直线 AO、BO、C0 分别交对边于 D、E、F,则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证法简介(I) 本题可利用梅涅劳斯定理证明：ADC被直线BOE所截，(CB/BD) *(DO/OA) *(AE/EC)=1 而由 ABD 被直线 COF 所截，(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 F：即得：(BD/DC) *( CE/EA) *(AF/FB)=1(II) 也可以利用面积关系证明VBD/DC=SABD/SACD=SBOD/SCOD=(SABD -SBOD)/(SACD -SC OD)=SAOB/SAOC 同理 CE/EA =SBOC/ SAOB AF/FB=SAOC/SBOC X X 得 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点：设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F,根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB) *(BE:EC) *(CF:FA)二(CD *ct gA )/(CD*ctgB ) *(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(BF*ctgA)=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。可用塞瓦定理证明的其他定理；三角形三条中线交于一点(重心)：如图5 D , E分别为BC , AC中点 所以 BD=DC AE=EC 所以 BD/DC=1 CE/EA=1且因为AF=BF所以AF/FB必等于1所以AF=FB所以三角形三条中线 交于一点