向量的内积长度及正交性ppt课件

向量的内积、长度及正交性 本章主要讨论方阵的特征值与特征向量、方阵的类似对角化和二次型的化简问题 其中涉及向量的内积、长度及正交等知识 本节先引见这些知识 上页下页铃终了前往首页上页下页铃结束返回首页v向量的内积v 设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令vx yx1y1x2y2 xnynvx y称为向量x与y的内积 阐明 内积是两个向量之间的一种运算 其结果是一个实数 用矩阵记号表示 当x与y都是列向量时 有x yxTy下页上页下页铃结束返回首页v向量的内积v 设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令vx yx1y1x2y2 xnynvx y称为向量x与y的内积 v内积的性质v 设x y z为n维向量 为实数 那么 v (1)x yy x v (2)x yx y v (3)xy zx zy z v (4)当x0时 x x0 当x0时 x x0 v (5)x y2x xy y 施瓦茨不等式 下页上页下页铃结束返回首页v向量的长度 令 22221 ,|nxxx xxx|x|称为n维向量x的长度(或范数)v向量的长度的性质v 设x y为n维向量 为实数 那么 v (1)非负性 当x0时|x|0 当x0时|x|0 v (2)齐次性|x|x|v (3)三角不等式|xy|x|y|下页上页下页铃结束返回首页v向量间的夹角|,arccosyxyx称为n维向量x与y的夹角 当x0 y0时 当x y0时 称向量x与y正交 显然 假设x0 那么x与任何向量都正交 v定理1 v 假设n维向量a1 a2 ar是一组两两正交的非零向量 v那么a1 a2 ar线性无关 下页上页下页铃结束返回首页 例1 知3维向量空间R3中两个向量a1(1 1 1)T a2(1 2 1)T正交 试求一个非零向量a3使a1 a2 a3两两正交 解 设a3(x1 x2 x3)T 那么a3应满足a1Ta30 a2Ta30即a3应满足齐次线性方程组 00121111321xxx 取a3(1 0 1)T即合所求得根底解系(1 0 1)T 由 010101 030111 121111rrA010101 030111 121111rrA010101 030111 121111rrA 下页上页下页铃结束返回首页注 当|x|1时 称x为单位向量 v规范正交基 v 设n维向量e1 e2 er是向量空间V(VRn)的一个基 假设e1 e2 er两两正交 且都是单位向量 那么称e1 e2 er是V的一个规范正交基 例如 向量组 是R4的一个规范正交基 0021211e 0021212e 2121003e 2121004e 下页上页下页铃结束返回首页v规范正交基 v 设n维向量e1 e2 er是向量空间V(VRn)的一个基 假设e1 e2 er两两正交 且都是单位向量 那么称e1 e2 er是V的一个规范正交基 v向量在规范正交基中的坐标v 假设e1 e2 er是V的一个规范正交基 那么V中任一向量a应能由e1 e2 er线性表示 并且vaa e1e1a e2e2 a ererv 现实上 设a1e12e2 rer 那么eiTaieiTeii即ieiTa a ei 下页上页下页铃结束返回首页阐明 要找一组两两正交的单位向量e1 e2 er 使e1 e2 er与a1 a2 ar等价 这样一个问题 称为把a1 a2 ar这个基规范正交化 v施密特正交化方法v 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组 下页上页下页铃结束返回首页v施密特正交化方法v 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组 容易验证b1 b2 br两两正交 且b1 b2 br与a1 a2 ar等价 把b1 b2 br单位化 即得V的一个规范正交基111|1bbe 222|1bbe rrrbbe|1 11ab 1112122,bbbabab 111122221111,rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab 下页上页下页铃结束返回首页 例2 设a1(1 2 1)T a2(1 3 1)T a3(4 1 0)T 试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化 解 令b1a11113512164131,1112122bbbabab10121113512131014,22221113133bbbabbbbabab再令 e1 e2 e3即为所求即为所求 12161|111bbe1113512164131,1112122bbbabab 10121113512131014,22221113133bbbabbbbabab 12161|111bbe12161|111bbe11131|222bbe11131|222bbe11131|222bbe10121|333bbe10121|333bbe 下页上页下页铃结束返回首页 例3 知a1(1 1 1)T 求一组非零向量a2 a3 使a1 a2 a3两两正交 a2 a3应满足方程a 1Tx0 即x1x2x30 它的根底解系为1(1 0 1)T 2(0 1 1)T把根底解系正交化 即得所求 亦即取 解 10112 a 1212110121110,1112122 a1212110121110,1112122 a 下页上页下页铃结束返回首页v正交阵v 假设n阶矩阵A满足ATAE(即A1AT)那么称A为正交矩阵 简称正交阵 方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单位向量 且两两正交 n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn的一个规范正交基 正交矩阵举例 2121000021212121212121212121P 下页上页下页铃结束返回首页v正交阵v 假设n阶矩阵A满足ATAE(即A1AT)那么称A为正交矩阵 简称正交阵 v正交矩阵的性质v (1)假设A为正交阵 那么A1AT也是正交阵 且|A|1 v (2)假设A和B都是正交阵 那么AB也正交阵 v正交变换v 假设P为正交矩阵 那么线性变换yPx称为正交变换 设yPx为正交变换 那么有|xxxxxyyyTTTTPP 这阐明 经正交变换线段的长度坚持不变(从而三角形的外形坚持不变)这是正交变换的优良特性 终了