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第第2章章 测量误差分析与处理测量误差分析与处理研究误差的意义在于：研究误差的意义在于：1.正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以便减小和消除误差；以便减小和消除误差；2.正确认识误差和实验数据，合理计算所得结正确认识误差和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到最接近于真值的果，以便在一定条件下得到最接近于真值的数据；数据；3.正确组成测量系统，合理选择仪器和测量方正确组成测量系统，合理选择仪器和测量方法，以便在最经济条件下得到最理想的结果。法，以便在最经济条件下得到最理想的结果。第一节第一节 测量误差的概念测量误差的概念 一、一、测量误差的来源测量误差的来源（1）测量装置的误差）测量装置的误差 （2）环境误差）环境误差 （3）方法误差）方法误差（4）人员误差）人员误差 二、二、测量误差的分类测量误差的分类 按照测量结果中存在的误差的特点与性质不按照测量结果中存在的误差的特点与性质不同，测量误差可分为同，测量误差可分为系统误差系统误差、随机误差随机误差和和粗大粗大误差误差 三、测量误差的表示三、测量误差的表示 误差误差+真值真值=测得值测得值 测量误差通常采用测量误差通常采用绝对误差和相对误差绝对误差和相对误差两种方式两种方式来表示。来表示。常见的绝对误差可以用真误差、剩余误差、最大常见的绝对误差可以用真误差、剩余误差、最大绝对误差、算术平均误差、标准误差、或然误差、绝对误差、算术平均误差、标准误差、或然误差、极限误差等方法表示。极限误差等方法表示。绝对误差与根据需要和方便的取值之比值称为相绝对误差与根据需要和方便的取值之比值称为相对误差。对应不同相比的取值，相对误差可用实对误差。对应不同相比的取值，相对误差可用实际相对误差、示值相对误差、引用相对误差、最际相对误差、示值相对误差、引用相对误差、最大相对误差、分贝误差等方法表示。大相对误差、分贝误差等方法表示。第二节第二节 直接测量误差的分析与处理直接测量误差的分析与处理 一、一、随机误差的分析与处理随机误差的分析与处理1.随机误差的定义和分布特点随机误差的定义和分布特点（1）定义）定义 在相同的条件下对同一被测量进行多次重复测量，在相同的条件下对同一被测量进行多次重复测量，误差的大小和符号的变化没有一定规律，且不可误差的大小和符号的变化没有一定规律，且不可预知，这类误差称为随机误差。预知，这类误差称为随机误差。随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素综合作用的结果。小因素综合作用的结果。（2）分布的特点）分布的特点 有界性有界性 单峰性单峰性 对称性对称性 抵偿性抵偿性 2.随机误差的正态分布特征随机误差的正态分布特征 理论和实践都证明了大多数的随机误差都理论和实践都证明了大多数的随机误差都服从正态分布的规律，其分布密度函数为：服从正态分布的规律，其分布密度函数为：)2(2221)(ef)2)(2221)(xexf01lim1niinn 和和确定之后，正态分布就完全确定了。正态分布密度函确定之后，正态分布就完全确定了。正态分布密度函数的曲线如图所示。从该曲线可以看出，正态分布很好地数的曲线如图所示。从该曲线可以看出，正态分布很好地反映了随机误差的分布规律。反映了随机误差的分布规律。（1）真值）真值 设设x1、x2、xn 为为n次测量所得的值，则次测量所得的值，则算术平均值为算术平均值为 由随机误差的抵偿性可知，有由随机误差的抵偿性可知，有故故 时时 nxnxxxxniin121iixniiniinx1101lim1niinnnx(2)均方根误差均方根误差 均方根误差的定义式为均方根误差的定义式为 可以证明，均方根误差的估计值计算公式为：可以证明，均方根误差的估计值计算公式为：niinniinxnn1212)(1lim1limniiniivnxxn121211)(11(3)算术平均值的均方根误差算术平均值的均方根误差 如果在相同的条件下将同一被测量分成如果在相同的条件下将同一被测量分成m 组，对组，对每组重复测量每组重复测量n次，则每组测量值都有一个平均值。由次，则每组测量值都有一个平均值。由于随机误差的存在，这些算术平均值也各不相同，而是于随机误差的存在，这些算术平均值也各不相同，而是围绕真值有一定的分散性，即算术平均值与真值间也存围绕真值有一定的分散性，即算术平均值与真值间也存在着随机误差。用表示算术平均值的均方根误差，由概在着随机误差。用表示算术平均值的均方根误差，由概率论中方差运算法则可以求出率论中方差运算法则可以求出 在有限次测量中，以表示算术平均值均方根误差的在有限次测量中，以表示算术平均值均方根误差的估计值，有估计值，有 nxnx3.随机误差的工程计算随机误差的工程计算 随机误差出现的性质决定了人们不可能准确地获得随机误差出现的性质决定了人们不可能准确地获得单个测量值的真误差的值。我们所能做的只能是在一定单个测量值的真误差的值。我们所能做的只能是在一定的概率意义下估计随机误差数值的范围，或者求得随机的概率意义下估计随机误差数值的范围，或者求得随机误差出现在给定区间的概率。误差出现在给定区间的概率。对于服从正态分布的测量误差，出现于区间对于服从正态分布的测量误差，出现于区间 内的概内的概率为率为 考虑到正态分布密度函数的对称性，出现于区间考虑到正态分布密度函数的对称性，出现于区间 的概率为的概率为 d21)()2/(22ebaPbaba,aa,d212)()()2/(022eaPaaPa 令令 ，则，则 ，函数函数 称为概率积分，不同的称为概率积分，不同的z对应不同对应不同 的。的。若某随机误差在若某随机误差在 范围内出现的概率为范围内出现的概率为2 ，则随机误差超出此区间的概率为则随机误差超出此区间的概率为 za/az)(2d22)()(2/02zzezPaPzz)(z)(zz)(z)(21z例例2-1 计算计算z分别等于分别等于1、2、3时对应的置信概率时对应的置信概率P。解：如图所示，当解：如图所示，当 z=1时，区间为时，区间为-，此时，此时当当 z=2时，区间为时，区间为-2，2，此时此时316828.0d22)(2/110zeP2219545.0d22)2(2/2202zeP当当 z=3时，区间为时，区间为-3，3，此时，此时37019973.0d22)3(2/3302zeP 在一般测量中，测量次数很少超过几十次，在一般测量中，测量次数很少超过几十次，因此可以认为大于因此可以认为大于 的误差是不可能出现的，的误差是不可能出现的，通常把这个误差称为单次测量的极限误差，即通常把这个误差称为单次测量的极限误差，即 当当z=3时，对应的概率时，对应的概率P=99.73%。几个概念：几个概念：把区间（把区间（）称为置信区间，对）称为置信区间，对应的概率应的概率 称为置信概率，称为置信概率，称为称为置信限，置信限，z称为置信因子，称为置信因子，称为显著性称为显著性水平或置信水平。水平或置信水平。33lmzz,)(ZZPPzP1测量结果的表示方法测量结果的表示方法 若以单次测量值表示测量结果若以单次测量值表示测量结果X，有，有 X=单次测量值单次测量值置信区间半长置信区间半长 (P=置信概率置信概率)例如：例如：X=单次测量值单次测量值3 (P=99.73)X=单次测量值单次测量值2 (P=95.45)若以算术平均值表示测量结果若以算术平均值表示测量结果X，有，有 X=算术平均值算术平均值置信区间半长置信区间半长 (P=置信概率置信概率)例如：例如：X=3 (P=99.73)X=2 (P=95.45)xx 在实际测量中的子样容量通常很小（例如在实际测量中的子样容量通常很小（例如n 则认为该测量列中含有周期性系统误差。则认为该测量列中含有周期性系统误差。4.系统误差的一般处理原则系统误差的一般处理原则（1）从产生误差根源上消除误差）从产生误差根源上消除误差 用排除误差源的方法消除系统误差是最理想的方法。用排除误差源的方法消除系统误差是最理想的方法。它要求测量人员，对测量过程中可能产生系统误差的各个它要求测量人员，对测量过程中可能产生系统误差的各个环节作仔细分析，并在正式测试前就将误差从产生根源上环节作仔细分析，并在正式测试前就将误差从产生根源上加以消除或减弱到可忽略的程度。由于具体条件不同，在加以消除或减弱到可忽略的程度。由于具体条件不同，在分析查找误差源时，并无一成不变的方法，但以下几方面分析查找误差源时，并无一成不变的方法，但以下几方面是应予考虑的：是应予考虑的：所用基准件、标准件（如量块、刻尺等）是否准确所用基准件、标准件（如量块、刻尺等）是否准确可靠；可靠；所用量具仪器是否处于正常工作状态，是否经所用量具仪器是否处于正常工作状态，是否经过检定，并有有效周期的检定证书；过检定，并有有效周期的检定证书；仪器的调整、测仪器的调整、测件的安装定位和支承装卡是否正确合理；件的安装定位和支承装卡是否正确合理；所采用的测所采用的测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差；量方法和计算方法是否正确，有无理论误差；测量的测量的环境条件是否符合规定要求，如温度、振动、尘污、气流环境条件是否符合规定要求，如温度、振动、尘污、气流等；等；注意避免测量人员带入主观误差如视差、视力疲注意避免测量人员带入主观误差如视差、视力疲劳、注意力不集中等。劳、注意力不集中等。（2）用修正方法消除系统误差）用修正方法消除系统误差 这种方法是预先将测这种方法是预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，取与误差大小相量器具的系统误差检定出来或计算出来，取与误差大小相同而符号相反的值作为修正值，将测得值加上相应的修正同而符号相反的值作为修正值，将测得值加上相应的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量结果。值，即可得到不包含该系统误差的测量结果。（3）在实际测量时，尽可能采用有效的测量方法，）在实际测量时，尽可能采用有效的测量方法，以消除或减弱系统误差对测量结果的影响。以消除或减弱系统误差对测量结果的影响。(a)采用对置法可消除恒值系统误差。采用对置法可消除恒值系统误差。(b)采用对称观测法可消除累进系统误差。采用对称观测法可消除累进系统误差。(c)采用半周期法，可以很好地消除周期性系统误差。采用半周期法，可以很好地消除周期性系统误差。对周期性误差，可以相隔半个周期进行两次测量，取两对周期性误差，可以相隔半个周期进行两次测量，取两次读数平均值，即可有效地消除周期性系统误差。次读数平均值，即可有效地消除周期性系统误差。例如仪器度盘安装偏心、测微表针回转中心与刻度盘中例如仪器度盘安装偏心、测微表针回转中心与刻度盘中心的偏心心的偏心 等引起的周期性误差，皆可用半周期法予以剔除。等引起的周期性误差，皆可用半周期法予以剔除。三、粗大误差的分析与处理三、粗大误差的分析与处理1.粗大误差的定义及产生的原因粗大误差的定义及产生的原因 粗大误差是指明显歪曲了测量结果而使该次测量失粗大误差是指明显歪曲了测量结果而使该次测量失效的误差，也称为疏失误差。含有粗大误差的测量值称效的误差，也称为疏失误差。含有粗大误差的测量值称为坏值或异常值。为坏值或异常值。产生粗大误差的原因很多，主要有：产生粗大误差的原因很多，主要有：主观原因主观原因 测量者在测量时粗心大意、操作不当或过于测量者在测量时粗心大意、操作不当或过于疲劳而造成错误的读数或记录，这是产生粗大误差的主疲劳而造成错误的读数或记录，这是产生粗大误差的主要原因。要原因。客观原因客观原因 测量条件意外的改变（如外界振动、机械冲测量条件意外的改变（如外界振动、机械冲击、电源瞬时大幅度波动等），引起仪表示值的改变。击、电源瞬时大幅度波动等），引起仪表示值的改变。对粗大误差，除了设法从测量结果中发现和鉴别而对粗大误差，除了设法从测量结果中发现和鉴别而加以剔除外，重要的是要加强测量的工作责任心和严格加以剔除外，重要的是要加强测量的工作责任心和严格的科学态度。此外，还要保证测量条件的稳定。的科学态度。此外，还要保证测量条件的稳定。2.2.判别粗大误差的准则判别粗大误差的准则 (1)3 (1)3 准则（莱伊特准则）准则（莱伊特准则）如果在测量列中，发现有大于如果在测量列中，发现有大于3 3 的残余误差的残余误差的测得值，即的测得值，即 则可以认为它含有粗大误差，应予以剔除。则可以认为它含有粗大误差，应予以剔除。实际使用时，标准误差取其估计值，且按莱伊特准则实际使用时，标准误差取其估计值，且按莱伊特准则剔除含有粗差的坏值后，应重新计算新测量列的算术平均剔除含有粗差的坏值后，应重新计算新测量列的算术平均值及标准误差，判定在余下的数据中是否还有含粗大误差值及标准误差，判定在余下的数据中是否还有含粗大误差的坏值。的坏值。注意：该准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则，注意：该准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则，它是以测量次数充分大为前提，但通常测量次数比较少，它是以测量次数充分大为前提，但通常测量次数比较少，因此该准则只是一个近似的准则。因此该准则只是一个近似的准则。在测量次数较少时，在测量次数较少时，最好不要选用该准则。最好不要选用该准则。3iv 【例】例】对某量进行对某量进行1515次等精度测量，测得值如下表所列，次等精度测量，测得值如下表所列，设这些测得值已消除了系统误差，试判别该测量列中是否含有粗设这些测得值已消除了系统误差，试判别该测量列中是否含有粗大误差的测得值。大误差的测得值。表 2-11v序号12345678910111213141520.4220.4320.4020.4320.4220.4320.3920.3020.4020.4320.4220.4120.3920.3920.40+0.016+0.026-0.004+0.026+0.016+0.026-0.014-0.104-0.004+0.026+0.016+0.006-0.014-0.014-0.0040.0002560.0006760.0000160.0006760.0002560.0006760.0001960.0108160.0000160.0006760.0002560.0000360.0001960.0001960.000016+0.009+0.019-0.011+0.019+0.009+0.019-0.021-0.011+0.019+0.009-0.001-0.021-0.021-0.0110.0000810.0003610.0001210.0003610.0000810.0003610.0004410.0001210.0003610.0000810.0000010.0004410.0004410.000121003374.01512 iiv404.20151nlxii01496.01512iiv0151iiv2vv2vl 由表可得由表可得 根据根据 准则，第八测得值的残余误差为：准则，第八测得值的残余误差为：即它含有粗大误差即它含有粗大误差,故将此测得值剔除。再根据剩下的故将此测得值剔除。再根据剩下的1414个个测得值重新计算，得：测得值重新计算，得：由表知，剩下的由表知，剩下的1414个测得值的残余误差均满足个测得值的残余误差均满足 ,故可以认为这些测得值不再含有粗大误差。故可以认为这些测得值不再含有粗大误差。404.20 x033.01401496.0112nvnii099.0033.0333099.0104.08v411.20 x016.013003374.0112 nvnii 3iv2格拉布斯准则格拉布斯准则 设对某量作多次等精度独立测量，得到一测量设对某量作多次等精度独立测量，得到一测量列：列：x1，x2，xn。当。当 xi 服从正态分布时，计服从正态分布时，计算得到算得到 niixnx11xxviiniivn1211将将xi按大小顺序排列成顺序统计量按大小顺序排列成顺序统计量)()2()1(nxxx 计算首、尾测得值的格拉布斯准则数计算首、尾测得值的格拉布斯准则数)1()1(xxg)()(xxgnn 取定置信水平取定置信水平(一般为一般为0.05或或0.01)，根据子，根据子样容量样容量n和置信水平和置信水平，从表中查出相应的格拉布，从表中查出相应的格拉布斯准则临界值斯准则临界值 。若。若 ，即判，即判断该测得值含有粗大误差，应予以剔除。断该测得值含有粗大误差，应予以剔除。注意当注意当 和和 都大于都大于 ，应先剔除，应先剔除大大 者，再重新计算者，再重新计算 和和 ，这时子样容量为，这时子样容量为（），再进行判断，直至余下的测得值），再进行判断，直至余下的测得值中不再发现坏值。中不再发现坏值。),(0ng),(0)(nggi)1(g)(ng),(0ngx1n 按测得值的大小，顺序排列得按测得值的大小，顺序排列得 今有两测得值今有两测得值 ，可怀疑，但由于可怀疑，但由于 故应先怀疑故应先怀疑 是否含有粗大误差，计算是否含有粗大误差，计算 查表查表2-122-12得得 则则 故表故表2-112-11中第八个测得值中第八个测得值 含有粗大误差，应予剔除。含有粗大误差，应予剔除。剩下的剩下的1414个数据，再重复上述步骤，判别个数据，再重复上述步骤，判别 是否含有粗大误差。是否含有粗大误差。解：解：故可判别故可判别 不包含粗大误差，而各不包含粗大误差，而各 皆小于皆小于1.181.18，故可认为其余，故可认为其余测得值也不含粗大误差。测得值也不含粗大误差。,30.20)1(x43.20)15(x)1(x)15(x104.030.20404.20)1(xx026.0404.2043.20)15(xx)1(x15.3033.030.20404.20)1(g41.2)05.0,15(0g41.2)05.0,15(15.30)1(gg8x)15(x，411.20 x016.018.1016.0411.2043.20)15(g)15(x)(ig还用上例测得值，试判别该测量列中的测得值是否含有粗大误差。还用上例测得值，试判别该测量列中的测得值是否含有粗大误差。第三节第三节 间接测量误差的分析与处理间接测量误差的分析与处理 一、间接测量中系统误差的传递一、间接测量中系统误差的传递 在间接测量中，函数关系的一般形式为在间接测量中，函数关系的一般形式为),(21mxxxfy式中式中 为各个直接测量值；为各个直接测量值；y为间接为间接测量值。测量值。对于以上函数，其增量可用函数的全微分表示，对于以上函数，其增量可用函数的全微分表示，则有则有 mxxx,21mmxxfxxfxxfy2211 上式为间接测量中系统误差的传递公式上式为间接测量中系统误差的传递公式 二、二、间接测量中随机误差的传递间接测量中随机误差的传递),(21mxxxfyxjxiijjjiixmxxyxfxfxfxfxfm22222222121 若各直接测量值是相互独立的，相关系数若各直接测量值是相互独立的，相关系数 为零，则式可以简化为为零，则式可以简化为ijmixixmxxyimxfxfxfxf122222222212122221mDDD式中，iiixfD称称 为局部误差。为局部误差。上式为随机误差传递的基本公式。上式为随机误差传递的基本公式。三、误差分配三、误差分配 常按下列步骤求解：常按下列步骤求解：1按等作用原则分配误差，即令。注意当有的误差已经按等作用原则分配误差，即令。注意当有的误差已经确定而不能改变时，应先从给定的允许总误差中除掉，然确定而不能改变时，应先从给定的允许总误差中除掉，然后再对其余误差项进行误差分配。后再对其余误差项进行误差分配。2根据测量的难易程度，对各局部误差进行调整，即对根据测量的难易程度，对各局部误差进行调整，即对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现测量的误差难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现测量的误差项尽可能缩小，而对其余误差项不予调整。项尽可能缩小，而对其余误差项不予调整。3验算调整后的总误差。若计算的实际总误差超出给定的验算调整后的总误差。若计算的实际总误差超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再予缩小误差；允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再予缩小误差；若实际总误差较小，可适当扩大难以测量的误差项的误差。若实际总误差较小，可适当扩大难以测量的误差项的误差。22221myDDD四、微小误差取舍准则微小误差取舍准则 测量过程中包含的误差，有的数值较小，计算测量结果的测量过程中包含的误差，有的数值较小，计算测量结果的总误差时可不予考虑，这种误差称为微小误差。微小误差总误差时可不予考虑，这种误差称为微小误差。微小误差的取舍准则是被舍去的误差必须小于或等于测量结果总标的取舍准则是被舍去的误差必须小于或等于测量结果总标准差的准差的1/3至至1/10。按照微小误差取舍准则，在计算总误差或误差分配时，若按照微小误差取舍准则，在计算总误差或误差分配时，若发现有微小误差，可不考虑该误差对总误差的影响。选择发现有微小误差，可不考虑该误差对总误差的影响。选择高一级精度的标准器具时，其误差一般应为被检器具允许高一级精度的标准器具时，其误差一般应为被检器具允许总误差的总误差的1/101/3。
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