三角形经典题50道附答案

三角形经典题三角形经典题 5050 道附答案道附答案1.1.已知：已知：AB=4AB=4，AC=2AC=2，D D 是是 BCBC 中点，中点，111749AD111749AD是整数，求是整数，求 ADADA AB BD DC C解：延长解：延长 ADAD 到到 E,E,使使 AD=DEAD=DED D 是是 BCBC 中点中点BD=DCBD=DC在在ACDACD 和和BDEBDE 中中AD=DEAD=DEBDE=BDE=ADCADCBD=DCBD=DCACDACDBDEBDEAC=BE=2AC=BE=2在在ABEABE 中中AB-BEAB-BEAEAEAB+BEAB+BEAB=4AB=4即即 4-24-22AD2AD4+24+21 1ADAD3 3AD=2AD=22.2.已知：已知：D D 是是 ABAB 中点，中点，ACB=90ACB=90，求证：，求证：2 2CD1AB2A AD DC CB B延长延长 CDCD 与与 P P，使，使 D D 为为 CPCP 中点。连接中点。连接 AP,BPAP,BPDP=DC,DA=DBDP=DC,DA=DBACBPACBP 为平行四边形为平行四边形又又ACB=90ACB=90平行四边形平行四边形 ACBPACBP 为矩形为矩形AB=CP=1/2ABAB=CP=1/2AB3.3.已知：已知：BC=DEBC=DE，B=B=E E，C=C=D D，F F 是是CDCD 中点，求证：中点，求证：1=1=2 2A A2 21 1B BE EC CF FD D证明：连接证明：连接 BFBF 和和 EFEF BC=ED,CF=DF,BC=ED,CF=DF,BCF=BCF=EDFEDF3 3 三角形三角形 BCFBCF 全等于三角形全等于三角形 EDF(EDF(边角边边角边)BF=EF,BF=EF,CBF=CBF=DEFDEF连接连接 BEBE在三角形在三角形 BEFBEF 中中,BF=EF,BF=EF EBF=EBF=BEFBEF。ABC=ABC=AEDAED。ABE=ABE=AEBAEB。AB=AEAB=AE。在三角形在三角形 ABFABF 和三角形和三角形 AEFAEF 中中AB=AE,BF=EF,AB=AE,BF=EF,ABF=ABF=ABE+ABE+EBF=EBF=AEB+AEB+BEF=BEF=AEFAEF 三角形三角形 ABFABF 和三角形和三角形 AEFAEF 全等。全等。BAF=BAF=EAF(EAF(1=1=2)2)。4.4.已知：已知：1=1=2 2，CD=DECD=DE，EF/ABEF/AB，求证：，求证：EF=ACEF=AC4 4A A2 21 1F FB B过过 C C 作作 CGCGEFEF 交交 ADAD 的延长线于点的延长线于点 G GCGCGEFEF，可得，可得，EFDEFDCGDCGDDEDEDCDCFDEFDEGDCGDC（对顶角）（对顶角）EFDEFDCGDCGDEFEFCGCGCGDCGDEFDEFD又，又，EFEFABAB，EFDEFD1 11=1=2 2CGDCGD2 2 AGCAGC 为等腰三角形，为等腰三角形，ACACCGCG又又 EFEFCGCGEFEFACACE ED DC C5 55.5.已知：已知：ADAD 平分平分BACBAC，AC=AB+BDAC=AB+BD，求证：，求证：B=2B=2C CA A证明：延长证明：延长 ABAB 取点取点 E E，使，使 AEAEACAC，连接，连接ADAD 平分平分BACBACEADEADCADCADAEAEACAC，ADADADADAEDAEDACDACD（SASSAS）E EC CACACAB+BDAB+BDAEAEAB+BDAB+BDAEAEAB+BEAB+BEBDBDBEBEBDEBDEE EABCABCE+E+BDEBDEABCABC2 2E EABCABC2 2C CDEDE6 66.6.已知：已知：ACAC 平分平分BADBAD，CECEABAB，B+B+D=180D=180，求证：，求证：AE=AD+BEAE=AD+BE证明：证明：在在 AEAE 上取上取 F F，使，使 EFEFEBEB，连接，连接 CFCFCECEABABCEBCEBCEFCEF9090EBEBEFEF，CECECECE，CEBCEBCEFCEFB BCFECFEB BD D180180，CFECFECFACFA180180D DCFACFAACAC 平分平分BADBADDACDACFACFACACACACACADCADCAFCAFC（SASSAS）7 7ADADAFAFAEAEAFAFFEFEADADBEBE7.7.已知：已知：AB=4AB=4，AC=2AC=2，D D 是是 BCBC 中点，中点，ADAD 是是整数，求整数，求 ADADA AB BD DC C解：延长解：延长 ADAD 到到 E,E,使使 AD=DEAD=DED D 是是 BCBC 中点中点BD=DCBD=DC在在 ACDACD 和和 BDEBDE 中中AD=DEAD=DEBDE=BDE=ADCADCBD=DCBD=DCACDACDBDEBDEAC=BE=2AC=BE=2在在 ABEABE 中中AB-BEAB-BEAEAEAB+BEAB+BEAB=4AB=48 8即即4-24-22AD2AD4+24+21 1ADAD3 3AD=2AD=28.8.已知：已知：D D 是是 ABAB 中点，中点，ACB=90ACB=90，求证：，求证：CD12ABA AD DC CB B解：延长解：延长 ADAD 到到 E,E,使使 AD=DEAD=DED D 是是 BCBC 中点中点BD=DCBD=DC在在 ACDACD 和和 BDEBDE 中中AD=DEAD=DEBDE=BDE=ADCADCBD=DCBD=DCACDACDBDEBDEAC=BE=2AC=BE=2在在 ABEABE 中中9 9AB-BEAB-BEAEAEAB+BEAB+BEAB=4AB=4即即4-24-22AD2AD4+24+21 1ADAD3 3AD=2AD=29.9.已知：已知：BC=DEBC=DE，B=B=E E，C=C=D D，F F 是是CDCD 中点，求证：中点，求证：1=1=2 2A A2 21 1B BE EC CF FD D证明：连接证明：连接 BFBF 和和 EFEF。BC=ED,CF=DF,BC=ED,CF=DF,BCF=BCF=EDFEDF。三角形三角形 BCFBCF 全等于三角形全等于三角形 EDF(EDF(边角边边角边)。BF=EF,BF=EF,CBF=CBF=DEFDEF。连接连接 BEBE。在三角形在三角形 BEFBEF 中中,BF=EF,BF=EF。EBF=EBF=BEFBEF。又又 ABC=ABC=AEDAED。ABE=ABE=AEBAEB。1010 AB=AEAB=AE。在三角形在三角形 ABFABF 和三角形和三角形 AEFAEF 中，中，AB=AE,BF=EF,AB=AE,BF=EF,ABF=ABF=ABE+ABE+EBF=EBF=AEB+AEB+BEF=BEF=AEFAEF。三角形三角形 ABFABF 和三角形和三角形 AEFAEF 全等。全等。BAF=BAF=EAF(EAF(1=1=2)2)。10.10.已知：已知：1=1=2 2，CD=DECD=DE，EF/ABEF/AB，求证：，求证：EF=ACEF=ACA A2 21 1F FB B过过 C C 作作 CGCGEFEF 交交 ADAD 的延长线于点的延长线于点 G GCGCGEFEF，可得，可得，EFDEFDCGDCGDDEDEDCDCFDEFDEGDCGDC（对顶角）（对顶角）EFDEFDCGDCGDEFEFCGCG1111E ED DC CCGDCGDEFDEFD又又 EFEFABABEFDEFD1 11=1=2 2CGDCGD2 2AGCAGC 为等腰三角形，为等腰三角形，ACACCGCG又又 EFEFCGCGEFEFACAC11.11.已知：已知：ADAD 平分平分BACBAC，AC=AB+BDAC=AB+BD，求，求证：证：B=2B=2C CA AC CB BD D证明：延长证明：延长 ABAB 取点取点 E E，使，使 AEAEACAC，连接，连接 DEDEADAD 平分平分BACBACEADEADCADCADAEAEACAC，ADADADADAEDAEDACDACD（SASSAS）E EC CACACAB+BDAB+BDAEAEAB+BDAB+BD1212AEAEAB+BEAB+BEBDBDBEBEBDEBDEE EABCABCE+E+BDEBDEABCABC2 2E EABCABC2 2C C12.12.已知：已知：ACAC 平分平分BADBAD，CECEABAB，B+B+D=180D=180，求证：，求证：AE=AD+BEAE=AD+BE在在 AEAE 上取上取 F F，使，使 EFEFEBEB，连接，连接 CFCFCECEABABCEBCEBCEFCEF9090EBEBEFEF，CECECECE，CEBCEBCEFCEFB BCFECFEB BD D180180，CFECFECFACFA180180D DCFACFA1313ACAC 平分平分BADBADDACDACFACFAC又又ACACACACADCADCAFCAFC（SASSAS）ADADAFAFAEAEAFAFFEFEADADBEBE12.12.如图，四边形如图，四边形 ABCDABCD 中，中，ABABDCDC，BEBE、CECE 分别平分分别平分ABCABC、BCDBCD，且点且点 E E 在在 ADAD上。求证：上。求证：BC=AB+DCBC=AB+DC。在在 BCBC 上截取上截取 BF=ABBF=AB，连接，连接 EFEFBEBE 平分平分ABCABCABE=ABE=FBEFBE1414又又BE=BEBE=BEABEABEFBEFBE（SASSAS）A=A=BFEBFEAB/CDAB/CDA+A+D=180D=180 BFE+BFE+CFE=180CFE=180 D=D=CFECFE又又DCE=DCE=FCEFCECECE 平分平分BCDBCDCE=CECE=CEDCEDCEFCEFCE（AASAAS）CD=CFCD=CFBC=BF+CF=AB+CDBC=BF+CF=AB+CD13.13.已知：已知：AB/EDAB/ED，EAB=EAB=BDEBDE，AF=CDAF=CD，EF=BCEF=BC，求证：，求证：F=F=C CE EF FD DC CA AB BABABEDED，得得：EAB+EAB+AED=AED=BDE+BDE+ABD=180ABD=180 度，度，1515EAB=EAB=BDEBDE，AED=AED=ABDABD，四边形四边形 ABDEABDE 是平行四边形。是平行四边形。得：得：AE=BDAE=BD，AF=CD,EF=BCAF=CD,EF=BC，三角形三角形 AEFAEF 全等于三角形全等于三角形 DBCDBC，F=F=C C。14.14.已知：已知：AB=CDAB=CD，A=A=D D，求证：，求证：B=B=C CA AB BD DC C证明：设线段证明：设线段 AB,CDAB,CD 所在的直线交于所在的直线交于 E E，（当（当ADBCADBCADBC 时，时，E E 点是射线点是射线 AB,DCAB,DC 的交点）的交点）。则：则：AEDAED 是等腰三角形。是等腰三角形。AE=DEAE=DE而而 AB=CDAB=CDBE=CE(BE=CE(等量加等量，或等量减等量）等量加等量，或等量减等量）BECBEC 是等腰三角形是等腰三角形B=B=C.C.161615.15.P P 是是BACBAC 平分线平分线 ADAD 上一点，上一点，ACABACAB，求证：求证：PC-PBAC-ABPC-PBDECEDE。当。当AEBAEB 越小，则越小，则 DEDE 越小。越小。证明：证明：过过 D D 作作 AEAE 平行线与平行线与 ACAC 交于交于 F F，连接，连接 FBFB4747E EB B4848AB=DC,AC=DBAB=DC,AC=DB，BC=BCBC=BCABCABCDCBDCB，ABC=ABC=DCBDCB又又BE=CEBE=CE，AB=DCAB=DCABEABEDCEDCEAE=DEAE=DE5050如图如图 9 9 所示，所示，ABCABC 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ACBACB9090，ADAD 是是 BCBC 边上的中线，过边上的中线，过 C C作作 ADAD 的垂线，的垂线，交交 ABAB 于点于点 E E，交，交ADAD 于点于点 F F，求证：求证：ADCADCBDEBDEC CF FD DE EB B图图 9 9作作 CGCGAB,AB,交交 ADAD 于于 H,H,A A则则ACH=45ACH=45,BCH=45BCH=45 CAH=90CAH=90-CDA,CDA,BCE=90BCE=90-CDACDACAH=CAH=BCEBCE又又AC=CB,AC=CB,ACH=ACH=B=45B=45 4949ACHACHCBE,CBE,CH=BECH=BE又又DCH=DCH=B=45B=45,CD=DB,CD=DBCFDCFDBEDBEDADC=ADC=BDEBDE5050